\documentclass[oneside,leqno]{book} \usepackage{amsmath}%required \usepackage{graphicx}%required for illustrations \usepackage[german, french]{babel}%recommended % requires illustration files fig[j].png, j=1,2,..6 % If you run into any kind of trouble with these graphics % please try the version with LaTeX pictures. \begin{document} \thispagestyle{empty} \small The Project Gutenberg etext of Sechs Vortr\"age, by Henri Poincar\'e \bigskip This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org \bigskip Title: Sechs Vortr\"age über ausgew\"ahlte Gegenst\"ande aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik \bigskip Author: Henri Poincar\'e \bigskip Release Date: March 5, 2005 [EBook \#15267] \bigskip Language: German and French \bigskip Character set encoding: TeX \bigskip *** START OF PROJECT GUTENBERG'S SECHS VORTR\"AGE *** \bigskip Produced by Joshua Hutchinson, K.F. Creiner and the Online Distributed Proofreading Team. This file was produced from images generously made available by Cornell University. \normalsize \newpage \selectlanguage{german} \frontmatter \thispagestyle{empty} Mathematische Vorlesungen an der Universit\"at G\"ottingen: IV \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip \begin{center} {\large SECHS VORTR\"AGE \\ \"UBER AUSGEW\"AHLTE GEGENST\"ANDE \\} \bigskip {\LARGE AUS DER REINEN MATHEMATIK\\ UND DER MATHEMATISCHEN PHYSIK \\} \bigskip\bigskip \normalsize auf Einladung der Wolfskehl-Kommission \\ der K\"oniglichen Gesellschaft der Wissenschaften \\ gehalten zu G\"ottingen vom 22.--28. April 1909 \\ \bigskip von\\ \bigskip \Large HENRI POINCAR\'E \\ \bigskip \normalsize Mitglied der Franz\"osischen Akademie \\ Professor an der Facult\'e des Sciences \\ der Universit\"at Paris \bigskip\bigskip\bigskip \normalsize Mit 6 in den Text gedruckten Figuren \vfill {\large Leipzig und Berlin \\ Druck und Verlag von B. G. Teubner \\ \bigskip 1910 } \end{center} \newpage \thispagestyle{empty} \mainmatter \selectlanguage{french} \section*{Pr{\'e}face} L'Universit\'e de G\"ottingen a bien voulu m'inviter \`a traiter devant un savant auditoire diverses questions d'Analyse pure, de Physique math\'ematique, d'Astrono\-mie th\'eorique et de Philosophie math\'ematique; les conf\'erences que j'ai faites \`a cette occasion ont \'et\'e recueillies par quelques \'etudiants qui ont eu la bont\'e de les r\'ediger en corrigeant les nombreuses offenses que j'avais faites \`a la grammaire allemande. Je leur en exprime ici toute ma reconnaissance. Il convient \'egalement que je m'excuse aupr\`es du public de la bri\`evet\'e avec laquelle ces sujets sont trait\'es. Je ne disposais pour exposer chacun d'eux que d'un temps tr\`es court, et je n'ai pu la plupart du temps que donner une id\'ee g\'en\'erale des resultats, ainsi que des principes qui m'ont guid\'e dans les d\'e\-monstrations, sans entrer dans les d\'etails m\^emes de ces d\'emonstrations. \selectlanguage{german} \newpage \thispagestyle{empty} \setcounter{page}{0} \section*{Inhaltsverzeichnis} \textbf{Erster Vortrag.}\hfill Seite \noindent \"Uber die Fredholmschen Gleichungen \hfill \pageref{erster} \bigskip \noindent\textbf{Zweiter Vortrag.} \noindent Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf die Flutbewegung des \\ Meeres \hfill \pageref{zweiter} \bigskip \noindent\textbf{Dritter Vortrag.} \noindent Anwendung der Integralgleichungen auf Hertzsche Wellen \hfill \pageref{dritter} \bigskip \noindent\textbf{Vierter Vortrag.} \noindent \"Uber die Reduktion der Abelschen Integrale und die Theorie der Fuchsschen \\ Funktionen \hfill \pageref{vierter} \bigskip \noindent\textbf{F\"unfter Vortrag.} \noindent \"Uber transfinite Zahlen \hfill \pageref{fuenfter} \bigskip \noindent\textbf{Sechster Vortrag.} \noindent La m\'ecanique nouvelle \hfill \pageref{sechster} \bigskip ${}$\vfill \newpage \begin{center} \bigskip\bigskip\bigskip\label{erster} {\Large Erster Vortrag} \bigskip\bigskip\bigskip {\Large \"UBER DIE FREDHOLMSCHEN GLEICHUNGEN} \end{center} \newpage Die Integralgleichung \label{Integral2Art} \[ \varphi (x)=\lambda \int\limits_a^b f(x,y) \varphi(y) dy + \psi(x) \tag{1} \] wird bekanntlich aufgel\"ost durch die Integralgleichung derselben Art \[ \varphi (x)=\psi(x) + \lambda \int\limits_a^b \psi(y) G(x,y)dy, \tag{1a} \] wobei \[ G(x,y)=\frac{N(x,y;\lambda \,|\, f)}{D(\lambda \,|\, f)} \] gesetzt ist. $N$ und $D$ sind, wie aus der \textsc{Fredholm}schen Theorie\label{Fredholm1} bekannt ist, zwei ganze transzendente Funktionen in bezug auf $\lambda$. Um ihre Entwicklung explizite hinschreiben zu k\"onnen, bezeichne man, wie \textsc{Fredholm}, mit $f\left( \begin{smallmatrix} x_1, & x_2, & \ldots & x_n\\ y_1, & y_2, & \ldots & y_n \end{smallmatrix} \right)$ diejenige $n$-reihige Determinante, deren allgemeines Element $f(x_i,y_k)$ ist. Setzt man dann \[ a_n=\int\limits_a^b \int\limits_a^b \ldots \int\limits_a^b f( \begin{smallmatrix} x_1, & x_2, & \ldots & x_n\\ x_1, & x_2, & \ldots & x_n \end{smallmatrix}) dx_1 \ldots dx_n, \] so hat man \[ D(\lambda) = \sum_0^{\infty} \frac{(-\lambda)^n}{n!} a_n. \] Diese Gleichung formen wir um, indem wir die durch "`Iteration"' aus $f(x, y)$ entstehenden Kerne heranziehen. Setzen wir zun\"achst \[ f(x_\alpha,x_\beta)f(x_\beta,x_\gamma)\cdots f(x_\lambda,x_\mu)f(x_\mu,x_\alpha) = f(x_\alpha,x_\beta, \cdots x_\lambda, x_\mu), \] so ist klar, da{\ss} $f( \begin{smallmatrix} x_1, & x_2, & \ldots & x_n\\ x_1, & x_2, & \ldots & x_n \end{smallmatrix} )$ die Form hat \[ \sum \pm \prod f(x_\alpha, \ldots x_\mu), \] wie sofort aus der Entwicklung der Determinante hervorgeht. Sei nun \[ b_k= \int_a^b \cdots \int_a^b f(x_\alpha, \cdots x_\mu)dx_\alpha \cdots dx_\mu , \] wobei $k$ die Anzahl der Integrationsvariabeln $x_\alpha, \ldots x_\mu$ bedeutet, so k\"onnen wir offenbar auch setzen \[ b_k=\int\limits_a^b f_k(x,x)dx, \] wenn unter \[ f_k(x,y)=\int\limits_a^b \dotsi \int\limits_a^b f(x, x_\alpha) f(x_\alpha, x_\beta) \cdots f(x_\lambda, y) dx_\alpha \cdots dx_\lambda \] der ``$k$-fach iterierte Kern'' verstanden wird. \label{itKerne1} Wir haben den obigen Relationen zufolge jetzt \[ a_n=\sum \pm \prod b_k. \] Beachten wir nun, da{\ss} gewisse unter den in einem Produkt $\prod b_k$ enthaltenen $b_k$ einander gleich werden k\"onnen, da{\ss} ferner gewisse der Produkte $\prod b_k$ selbst einander gleich sein werden, n\"amlich solche, die durch eine Permutation der $x_i$ auseinander entstehen, so ergibt eine kombinatorische Betrachtung f\"ur $a_n$ einen Ausdruck von der Form \[ a_n=\sum_{a\alpha+b\beta+c\gamma+\ldots=n} \frac{n!}{a^\alpha b^\beta c^\gamma \cdots a! b! c! \cdots} [(-1)^{\alpha+1}b_\alpha]^a [(-1)^{\beta +1}b_\beta ]^b [(-1)^{\gamma+1}b_\gamma]^c \cdots \] und also \[ D(\lambda)=\sum_{a,b,c,\ldots} \frac{1}{a!b!c! \cdots} \left(-\frac{\lambda^\alpha b_\alpha}{\alpha}\right)^a \left(-\frac{\lambda^\beta b_\beta }{\beta }\right)^b \left(-\frac{\lambda^\gamma b_\gamma}{\gamma}\right)^c \cdots \] d.~h.\ \[ D(\lambda)=\prod_1^\infty e^{-\frac{\lambda^\alpha b_\alpha}{\alpha}}, \tag{2} \] also \begin{align*} \log D(\lambda) &= -\sum \frac{\lambda^\alpha b_\alpha}{\alpha}, \tag{2a} \\ \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} &= -\sum \lambda^{\alpha-1} b_\alpha. \tag{2b} \end{align*} Den Z\"ahler $N(x,y;\lambda)$ der Funktion $G(x, y;\lambda)$ kann man auf analoge Weise durch die Gleichung \[ N(x,y;\lambda)=D(\lambda) \cdot \sum \lambda^h f_{h+1}(x,y) \tag{3} \] definieren. Diese Gleichungen, welche sich \"ubrigens schon bei \textsc{Fredholm} finden, sind n\"utzlich als Ausgangspunkt f\"ur viele Betrachtungen, wie sich nun an einigen Beispielen zeigen wird. Die \textsc{Fredholm}sche Methode ist unmittelbar g\"ultig nur f\"ur solche Kerne $f(x, y)$, die endlich bleiben. Wird der Kern an gewissen Stellen unendlich, \label{unendlKern1} so kann dennoch der Fall eintreten, da{\ss} ein iterierter Kern,\label{itKerne2} etwa $f_n(x, y)$, endlich bleibt. Dann l\"a{\ss}t sich die Integralgleichung mit dem iterierten Kerne nach \textsc{Fredholm} behandeln, und \textsc{Fredholm} zeigt, da{\ss} die urspr\"ungliche Integralgleichung (1) sich auf diese zur\"uckf\"uhren l\"a{\ss}t. Die Aufl\"osung wird wieder durch eine Formel der Gestalt (1a) gegeben, nur ist jetzt \[ G=\frac{N_1(x,y;\lambda)}{D_n(\lambda)} \] zu setzen, wobei \[ D_n(\lambda)=D(\lambda^n\,|\, f_n) \] und \[ N_1(x, y;\lambda) = D_n(\lambda)\cdot\sum \lambda^h f_{h+1}(x, y) \] ist. Dabei sind $N_1$ und $D_n$ wieder ganze transzendente Funktionen von $\lambda$; jedoch zeigt es sich, da{\ss} sie einen gemeinsamen Teiler besitzen; wir wollen zusehen, wie sich dies aus unseren Formeln (2) bis (3) ergibt und wie wir eine Bruchdarstellung der meromorphen Funktion $G$ erhalten, bei der Nenner und Z\"ahler ganze Funktionen ohne gemeinsamen Teiler sind. Aus unserer Annahme \"uber die iterierten Kerne folgt, da{\ss} die Koeffizienten $b_n$, $b_{n+1},\ldots$ endlich sind. Bilden wir nun in Anlehnung an Gleichung (2a) die Reihe \[ K(\lambda)=-\lambda^n\frac{b_n}{n}-\lambda^{n+1}\frac{b_{n+1}}{n+1}- \cdots, \] so wird dieselbe konvergieren. Jetzt setzen wir \[ G(x,y;\lambda)=\frac{e^K \sum \lambda^hf_{h+1}}{e^K} \] und behaupten, in dieser Formel die gew\"unschte Darstellung zu haben. Um dies zu beweisen, haben wir zu zeigen, da{\ss} $e^K$ und $e^K \cdot \sum \lambda^{h+1}f_{h+1}$ ganze Funktionen sind. Zu diesem Zwecke bilden wir $\frac{dK}{d\lambda}$. Man berechnet leicht \[ -\frac{dK(\lambda)}{d\lambda}= \lambda^{n-1}\int\limits_a^b\frac{N_1(x,x)}{D_n(\lambda)}dx+ \sum\limits_{k=1}^{k=n-1}\lambda^{n+k-1} \iint\limits_a^b\frac{N_1(x,y)}{D_n}f_k(x,y)\,dx\,dy. \] Hieraus schlie{\ss}t man zun\"achst, da{\ss} $\frac{dK}{d\lambda}$ eine meromorphe Funktion von $\lambda$ ist; denn sie besitzt h\"ochstens Pole in den Nullstellen von $D_n(\lambda)$, d.~h.\ in den Stellen $\lambda=\alpha \cdot \lambda_i$ wo $\alpha$ eine $n$-te Einheitswurzel und $\lambda_i$ ein Eigenwert des Kernes $f_n$ ist. Man kann nun zeigen, da{\ss} in diesen m\"oglichen Unendlichkeitsstellen das \textsc{Cauchy}sche Residuum von $\frac{dK}{d\lambda}$ gleich 1 oder 0 ist, je nachdem $\alpha=1$ oder $\alpha \neq 1$ genommen wird. Die hierzu geh\"orige Rechnung wollen wir jetzt nicht durchf\"uhren; man benutzt dabei den Umstand, da{\ss} das f\"ur $\lambda = \lambda_k$ genommene Residuum von $\frac{N_1(x,y)}{D_n}$ gleich $\varphi_k(x)\psi_k(y)$ ist, wo $\varphi_k$, $\psi_k$, die zu $\lambda=\lambda_k$ geh\"origen Eigenfunktionen, den Gleichungen \begin{align*} \int\limits_a^b \varphi_k(x) f_p(y,x)dx &= \lambda_k^{-p}\varphi_k(y)\\ \int\limits_a^b \psi_k(z) f_p(z,y)dz &= \lambda_k^{-p}\psi_k(y) \end{align*} gen\"ugen. Hieraus folgt, da{\ss} $e^{K(\lambda)}$ eine ganze transzendente Funktion ist, die nur an den Stellen $\lambda=\lambda_i$ verschwindet. Betrachtet man ebenso den Z\"ahler von $G$, so sieht man zun\"achst, da{\ss} er eine meromorphe Funktion von $\lambda$ wird, die h\"ochstens an den Stellen $\lambda = \alpha\lambda_i$ unendlich werden kann. Die Betrachtung der Residuen zeigt jedoch, da{\ss} dies nicht geschieht, und somit, da{\ss} der Z\"ahler $e^K \sum\lambda^h f_{k+1}$ ebenfalls eine ganze transzendente Funktion ist. Damit ist die Reduktion des \textsc{Fredholm}schen Bruches geleistet. Die Reihenentwicklung f\"ur Z\"ahler und Nenner des \textsc{Fredholm}schen Bruches in dieser reduzierten Gestalt erhalten wir, indem wir auf die Bildungsweise von $K(\lambda)$ zur\"uckgehen; setzen wir den Nenner \[ e^{K(\lambda)}=\sum(-\lambda)^n \frac{a'_n}{n!}, \] so haben wir \[ a'_n=\sum_{a\alpha+b\beta+c\gamma+\cdots=n}\pm b_\alpha^a \, b_\beta^b \, b_\gamma^c\,\cdots, \] wobei zu setzen ist \[ \begin{array}[t]{ll} b_\alpha = 0 & \text{ f\"ur } \alpha 2$ gelten m\"ussen, da das Geschlecht der Funktion $D(\lambda)$ einem \textsc{Hadamard}schen Satze zufolge kleiner als 2 ist.\label{Hadamard} Den Beweis mitzuteilen fehlt jetzt die Zeit. F\"ur den Z\"ahler des \textsc{Fredholm}schen Bruches habe ich die Betrachtung nicht durchgef\"uhrt. Noch einige Worte \"uber die \label{Integral1Art} Integralgleichung 1.~Art! Auf gewisse derartige Integralgleichungen kann man, wenn man sie zuvor auf Integralgleichungen der 2.~Art zur\"uckf\"uhrt, die \textsc{Fredholm}sche Methode direkt anwenden. Es liege z.~B.\ die Gleichung \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y)[e^{ixy} + \lambda f(x,y)] dy = \psi(x) \qquad (-\infty < x < +\infty) \tag{1} \] vor, in der $\psi(x)$ die gegebene, $\varphi(x)$ aber die gesuchte Funktion ist, w\"ahrend der Bestandteil $f(x, y)$ des Kerns eine gegebene Funktion ist, die gewissen, weiter unten angegebenen beschr\"ankenden Voraussetzungen unterworfen ist. F\"ur die gesuchte Funktion $\varphi(y)$ machen wir den Ansatz \[ \varphi(y) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) e^{-izy} dz, \] aus dem nach dem \textsc{Fourier}schen Integraltheorem, \label{FourierIntegral} falls $\Phi(x)$ die Bedingungen f\"ur dessen G\"ultigkeit erf\"ullt, umgekehrt \[ 2\pi \Phi(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) e^{ixy} dy \] folgt. Danach verwandelt sich (1) in \[ 2\pi \Phi(x) + \lambda \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) f(x,y) e^{-izy} dz\, dy = \psi(x) \] oder \[ 2\pi \Phi(x) + \lambda \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) K(x,z) dz = \psi(x), \] wenn \[ K(x, z) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) e^{-izy} dy \tag{2} \] gesetzt wird, und damit sind wir bereits bei einer Integralgleichung 2.~Art angelangt. Der Kern~(2) gestattet die Anwendung der \textsc{Fredholm}schen Methode z.~B.\ dann, wenn $f(x, y)$ und $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$ gleichm\"a{\ss}ig in $x$ f\"ur $y = \pm\infty$ gegen $0$ konvergieren und die Ungleichung \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} < \frac{M}{1 + y^2} \] statthat, in der $M$ eine von $x$ und $y$ unabh\"angige Konstante bedeutet. Von $\psi(x)$ gen\"ugt es etwa, anzunehmen, da{\ss} es nur endlichviele Maxima und Minima besitzt und im Intervall $-\infty \cdots +\infty$ absolut integrierbar ist. Wir k\"onnen dieselbe Methode auf eine Reihe \[ \psi(x) = \sum_{(m)} A_m\left[ e^{imx} + \lambda\theta_m(x) \right] \] anwenden; das Problem ist hier also, wenn $\psi(x)$ und die Funktionen $\theta_m(x)$ gegeben sind, die Koeffizienten $A_m$ so zu berechnen, da{\ss} die hingeschriebene Entwicklung g\"ultig ist. Handelte es sich soeben um eine Erweiterung des \textit{Fourierschen Integraltheorems}, so haben wir es jetzt mit einer Verallgemeinerung der \textit{Fourierschen Reihe} \label{FourierReihe} zu tun. Setzen wir $\varphi(z)$ in der Form \[ \varphi(z) = \sum_{(m)} A_m e^{imz}; \quad 2\pi A_m = \int\limits_0^{2\pi} \varphi(z) e^{-imz} dz \] an, so bekommen wir \[ \psi(x) = \varphi(x) + \frac{\lambda}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \varphi(z) \cdot \sum_{(m)} e^{-imz} \theta_m(x) \cdot dz. \] Von der Reihe, welche hier als Kern fungiert, m\"ussen wir voraussetzen, da{\ss} sie absolut und gleichm\"a{\ss}ig konvergiert, d.~h.\ wir m\"ussen annehmen, da{\ss} \[ \sum_{(m)} \left\lvert \theta_m(x) \right\rvert \tag{3} \] gleichm\"a{\ss}ig konvergiert. Setzen wir beispielsweise \[ \lambda = 1,\quad \theta_m(x) = e^{i\mu_m x} - e^{imx}, \] so erhalten wir eine Entwicklung der Form \[ \psi(x) = \sum_{(m)} A_m e^{i\mu_m x}. \] Die Bedingung (3) ist erf\"ullt, wenn wir die absolute Konvergenz von \[ \sum_{(m)} (\mu_m - m) \] voraussetzen. Endlich betrachten wir noch die Gleichung \[ \int\limits_0^{2\pi} \varphi(y) [e^{ixy} + \lambda f(x, y)]dy = \psi(x), \quad (-\infty < x < +\infty) \tag{4} \] welche sich von (1) dadurch unterscheidet, da{\ss} das Integral nicht in unendlichen, sondern in endlichen Grenzen zu nehmen ist. In diesem Fall darf $\psi(x)$ nicht willk\"urlich gew\"ahlt werden: es mu{\ss}, falls $f(x, y)$ holomorph ist, sicher eine ganze transzendente Funktion sein, wenn die Gleichung~(4) eine Aufl\"osung besitzen soll. Dagegen d\"urfen die Werte~$\psi(m)$ dieser Funktion~$\psi$ f\"ur alle ganzen Zahlen $m$ im wesentlichen willk\"urlich angenommen werden. Setze ich n\"amlich \[ \varphi(z) = \sum_{(m)} A_m e^{-imz}, \quad\text{wo}\quad 2\pi A_m = \int_0^{2\pi} \varphi(y) e^{imy} dy \quad\text{ ist,} \] so verwandelt sich (4), f\"ur $x = m$ genommen, in \[ 2\pi A_m + \lambda \sum_{(p)} A_p \int\limits_0^{2\pi} e^{-ipy} f(m, y) dy = \psi(m). \] Wir gelangen so zu einem System unendlich vieler linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, \label{linGl} wie sie von \textsc{Hill}, H. v. \textsc{Koch}, \textsc{Hilbert} \label{Hill}\label{Koch}\label{Hilbert1}u.~a.\ untersucht worden sind. Die L\"osung dieses Systems ist, falls wir f\"ur die Reihe \[ \sum_{(p, m)} \int\limits_0^{2\pi} e^{-ipy} f(m, y) dy \tag{5} \] die Voraussetzung absoluter und gleichm\"a{\ss}iger Konvergenz machen, der \textsc{Fredholm}schen L\"osung der Integralgleichungen durchaus analog und stellt sich wie diese als meromorphe Funktion des Parameters~$\lambda$ dar. Die gleichm\"a{\ss}ige und absolute Konvergenz von (5) ist aber, wie sich durch partielle Integration ergibt, sichergestellt, falls die Summe \[ \sum_{(m)} f''(m, z) \] oder das Integral \[ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f''(x, z) dx \] absolut und gleichm\"a{\ss}ig konvergiert. Man sieht die \"Ahnlichkeit und den Unterschied der beiden F\"alle (1) und (4) deutlich: je nachdem die Integrationsgrenzen unendlich oder endlich sind --- oder auch, je nachdem der Kern in den Integrationsgrenzen keine oder eine gen\"ugend hohe Singularit\"at aufweist ---, darf man die ``gegebene'' Funktion im wesentlichen willk\"urlich w\"ahlen oder ihr nur eine zwar unendliche, jedoch \textit{diskrete} Reihe von Funktionswerten vorschreiben. Es w\"are wohl nicht ohne Interesse, den hier zur Geltung kommenden Unterschied mit Hilfe der Iteration der Kerne n\"aher zu betrachten. \newpage \begin{center} \bigskip\bigskip\bigskip\label{zweiter}\setcounter{equation}{0} {\Large Zweiter Vortrag} \bigskip\bigskip\bigskip\bigskip {\Large ANWENDUNG \bigskip DER THEORIE DER INTEGRALGLEICHUNGEN \bigskip AUF DIE FLUTBEWEGUNG DES MEERES} \end{center} \newpage Ich will heute \"uber einige Anwendungen der Integralgleichungstheorie auf die Flutbewegung berichten, die ich im letzten Semester gelegentlich einer Vorlesung \"uber diese Erscheinung gemacht habe. \label{Flutproblem} Die Differentialgleichungen des Problems sind die folgenden: \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l l} \mbox{a) }& k^2 \sum\frac{\partial}{\partial x} \left( h_1 \frac{\partial \varphi}{\partial x} \right) + k^2 \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial h_2}{\partial y} - \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial h_2}{\partial x}\right) = \zeta, \\ \mbox{b) }& g \cdot \zeta = - \lambda^2 \varphi + \mathit{\Pi} + W. \end{array}\right. \end{equation} Wir stellen uns dabei vor, da{\ss} die Kugeloberfl\"ache der Erde etwa durch stereographische Projektion konform auf die $(x,y)$-Ebene bezogen sei; dann bedeute $k(x,y)$ das \"Ahnlichkeitsverh\"altnis der Abbildung zwischen Ebene und Kugel. Die L\"osung des Flutproblems denken wir uns durch periodische Funktionen der Zeit $t$ gegeben, und wir nehmen speziell an, da{\ss} unsere Gleichungen (1) einem einzigen periodischen Summanden von der Form $A \cos (\lambda t+ \alpha)$ entsprechen, soda{\ss} also $\lambda$ in unseren Gleichungen die Schwingungsperiode bestimmt; es ist bequem, statt des Kosinus komplexe Exponentialgr\"o{\ss}en einzuf\"uhren und also etwa anzunehmen, da{\ss} alle unsere Funktionen die Form \[ e^{i\lambda t} \cdot f(x,y) \] haben; der reelle und imagin\"are Teil dieser komplexen L\"osungen stellt uns dann die physikalisch brauchbaren L\"osungen dar. $\varphi(x, y)$ ist definiert durch \[ -\lambda^2 \varphi = V-p, \] wo $V$ das hydrostatische Potential,\label{hydroPot} $p$ der Druck ist. Ist $h$ die Tiefe des Meeres, so definieren wir \begin{align*} h_1 &= - \frac{ h\lambda^2}{-\lambda^2 + 4\omega^2 \cos^2\vartheta}, \\ h_2 &= - \frac{2\omega i\cos\vartheta}{\lambda} h_1, \qquad(i = \sqrt{-1}) \end{align*} wo $\vartheta$ die Colatitude\label{Colatitude} des zu $(x,y)$ geh\"origen Punktes der Erde, $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit der Erde bedeutet. $\zeta(x, y)$ ist die Differenz zwischen der Dicke der mittleren und der gest\"orten Wasserschicht, d.\,h.\ $\zeta > 0$ entspricht der Ebbe, $\zeta < 0$ der Flut. $g$ ist die Beschleunigung der Schwerkraft, $W$ das Potential der St\"orungskr\"afte, $\mathit{\Pi}$ ist das Potential, welches von der Anziehung der Wassermassen von der Dicke $\zeta$ herr\"uhrt. Ist z.~B. \begin{align*} \zeta &= \sum A_n X_n,\\ \intertext{so wird} \mathit{\Pi} &= \sum \frac{4\pi A_n}{2n+1} X_n, \end{align*} wo die $X_n$ die Kugelfunktionen sind. Die Einheiten sind so gew\"ahlt, da{\ss} die Dichte des Wassers gleich $1$, der Radius der Erdkugel gleich $1$ ist. Die Gr\"o{\ss}e $\mathit{\Pi}$ kann man meistens vernachl\"assigen; tut man dies, so erh\"alt man sofort f\"ur $\varphi$ eine partielle Differentialgleichung 2.\ Ordnung. Um aus derselben $\varphi$ zu bestimmen, mu{\ss} man gewisse Grenzbedingungen vorschreiben. Wir unterscheiden da zwei F\"alle: 1.\ Der Rand des Meeres ist eine vertikale Mauer; dann wird \[ \frac{\partial\varphi}{\partial n} + \frac{2\omega i}{\lambda} \cos\vartheta \cdot \frac{\partial\varphi}{\partial s} = 0, \] wobei $\frac{\partial\varphi}{\partial n}$, $\frac{\partial\varphi}{\partial s}$ die normale bzw.\ tangentiale Ableitung von $\varphi$ ist. 2.\ Der Rand des Meeres ist nicht vertikal; dann ist dort \[ h = 0,\quad \text{also} \quad h_1 = h_2 = 0. \] Die Grenzbedingung lautet hier, da{\ss} $\varphi$ am Rande regul\"ar und endlich bleiben soll. Um auf diese Probleme die Methoden der Integralgleichungen anwenden zu k\"onnen, erinnern wir uns zun\"achst der allgemeinen \"Uberlegungen, wie sie \textsc{Hilbert} \label{Hilbert2} und \textsc{Picard}\label{Picard} f\"ur Differentialgleichungen anstellen. Sei \[ D(u) = f(x,y) \] eine partielle Differentialgleichung 2.\ Ordnung f\"ur $u$, die elliptischen Typus hat, so ist eine, gewisse Grenzbedingungen erf\"ullende, L\"osung $u$ darstellbar in der Form \[ u = \int f'G \:d\sigma', \] wobei $G(x,y;x',y')$ die zu diesen Randbedingungen geh\"orige \textsc{Green}sche Funktion\label{Green} des Differentialausdruckes $D(u)$ ist; $f'$ ist $f(x',y')$, $d\sigma' = dx' \cdot dy'$, und das Integral ist \"uber dasjenige Gebiet der $(x',y')$-Ebene zu erstrecken, f\"ur welches die Randwertaufgabe gestellt ist. Um die \textsc{Green}sche Funktion zu berechnen und so die Randwertaufgabe zu l\"osen, setze man \[ D(u) = D_0(u) + D_1(u), \] wo \[ D_1(u) = a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu \] ein linearer Differentialausdruck ist. Nehmen wir nun an, wir kennen die \textsc{Green}\-sche Funktion $G_0$ von $D_0(u)$, so haben wir die L\"osung von \[ D(\varphi) = f \] in der Form \[ \varphi = \int G_0 \left( f' - a'\frac{\partial\varphi'}{\partial x'} - b'\frac{\partial\varphi'}{\partial y'} - c'\varphi' \right) d\sigma' . \] Schaffen wir hieraus durch partielle Integrationen die Ableitungen $\frac{\partial\varphi'}{\partial x'}$, $\frac{\partial\varphi'}{\partial y'}$ heraus, so werden wir direkt auf eine Integralgleichung zweiter Art f\"ur $\varphi$ gef\"uhrt, die wir nach der \textsc{Fredholm}schen Methode \label{Fredholm2} behandeln k\"onnen, wenn ihr Kern nicht zu stark singul\"ar wird. Bei unserem Probleme der Flutbewegung tritt nun gerade dieser Fall ein; der Kern wird so hoch unendlich, \label{unendlKern2} da{\ss} die \textsc{Fredholm}schen Methoden versagen; ich will Ihnen jedoch zeigen, in welcher Weise man diese Schwierigkeiten \"uberwinden kann. Betrachten wir erst den Fall der ersten Grenzbedingung \[ \frac{\partial\varphi}{\partial n} + C\frac{\partial\varphi}{\partial s} = 0, \] wo $C$ eine gegebene Funktion von $x, y$ ist. Die Differentialgleichung, die sich bei Vernachl\"assigung von $\mathit{\Pi}$ ergibt, hat die Form \[ A\Delta\varphi + D_1 = f, \] und wir stehen daher vor der Aufgabe, die Gleichung \[ \Delta\varphi = F \] mit unserer Randbedingung zu integrieren. Diese Aufgabe ist \"aquivalent mit der, eine im Innern der Randkurve regul\"are Potentialfunktion $V$, die am Rande die Bedingung $\frac{\partial V}{\partial n} + C\frac{\partial V}{\partial s} = 0$ erf\"ullt, als Potential einer einfachen Randbelegung zu finden. Bezeichnet $s$ die Bogenl\"ange auf der Randkurve von einem festen Anfangspunkte bis zu einem Punkte~$P$, $s'$~die bis zum Punkte $P'$, so erh\"alt man f\"ur $V$ eine Integralgleichung; jedoch wird der Kern $K(s,s')$ derselben f\"ur $s = s'$ von der ersten Ordnung unendlich, und es ist daher in dem Integrale \[ \int_A^B K(x,y) f(y) dy \] der sogenannte \textsc{Cauchy}sche Hauptwert zu nehmen, der definiert ist als das arithmetische Mittel aus den beiden Werten, die das Integral erh\"alt, wenn ich es in der komplexen $y$-Ebene unter Umgehung des Punktes $y = x$ das eine mal auf einem Wege $AMB$ oberhalb, das andere mal auf einem Wege $AM'B$ unterhalb der reellen Achse f\"uhre. Anstatt die Methoden zu benutzen, die \textsc{Kellogg} \label{Kellog} zur Behandlung solcher unstetiger Kerne angibt, will ich einen andern Weg einschlagen. Wir betrachten neben der Operation \[ S\big(f(x)\big) = \int K(x,y)f(y)dy \] die iterierte \[ S^2\big(f(x)\big) = \iint K(x,z)K(z,y)f(y)dz\,dy, \] bei der ebenfalls das Doppelintegral als \textsc{Cauchy}scher Hauptwert zu nehmen ist; dies soll folgenderma{\ss}en verstanden werden: wir betrachten f\"ur die Variable $z$ die Wege $AMB$, $AM'B$, f\"ur $y$ die Wege $APB$, $AP'B$, die zueinander liegen m\"ogen, wie in der Figur angedeutet ist. Dann bilden wir die 4 Integrale, die sich ergeben, wenn ich einen Weg f\"ur $z$ mit einem f\"ur $y$ kombiniere; \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics*[scale=0.3,keepaspectratio]{fig1.png} \end{center} \end{figure} \begin{tabular}{lrrrr} $z:$ &$AMB$, &$AM'B$, &$AMB$, &$AM'B$ \\ $y:$ &$APB$, &$APB$, &$AP'B$, &$AP'B$, \\ \end{tabular} \noindent und nehmen aus diesen 4 Integralen das arithmetische Mittel. Ziehen wir noch 2 Wege $AQB$, $AQ'B$ wie in der Figur, so sehen wir, da{\ss} sich in der ersten Wegkombination der Weg $AMB$ f\"ur $z$ ersetzen l\"a{\ss}t durch $AQB + AMBQA$, in der zweiten $AM'B$ durch $AQ'B$, in der dritten $AMB$ durch $AQB$ und in der vierten $AM'B$ durch $AQ'B + AM'BQ'A$, soda{\ss} wir jetzt die folgenden Wegkombinationen haben: \begin{tabular}{lll} {\centering $z$} & \quad & {\centering $y$} \\ $AQB + AMBQA$ & & $APB$ \\ $AQ'B$ & & $APB$ \\ $AQB$ & & $AP'B$ \\ $AQ'B + AM'BQ'A$ & & $AP'B$. \end{tabular} F\"uhren wir jetzt die Integrale aus und wenden den Residuenkalk\"ul auf die geschlossenen Wege an, so zeigt sich, da{\ss} unsere Operation $S^2\big(f(x)\big)$, die einer Integralgleichung 1.~Art zugeh\"ort, \"ubergeht in eine Operation, welche durch die linke Seite einer Integralgleichung 2.~Art gegeben ist, deren Kern \"uberall endlich bleibt; wenn wir zuerst die vier Kombinationen von den Wegen $AQB$ und $AQ'B$ mit den Wegen $APB$ und $AP'B$ nehmen, so bekommen wir ein doppeltes Integral, welches nicht unendlich werden kann, da auf diesen Wegen $x \ne y$ und $y \ne z$. Betrachten wir jetzt die beiden Wegkombinationen $AMBQA$, $APB$ und $AM'BQ'A$, $AP'B$, oder $AMBQA$, $APB$ und $AQ'BM'A, BP'A$, so ist leicht zu sehen, da{\ss} $z$ eine geschlossene Kurve $AMBQA$ oder $AQ'BM'A$ um $y$ beschreibt, und da{\ss} gleichzeitig $y$ eine geschlossene Kurve $APBP'A$ um $x$ beschreibt. Wir d\"urfen also die Residuenmethode anwenden, und wir bekommen ein Glied, wo die unbekannte Funktion ohne Integralzeichen auftritt, wie in der linken Seite einer Integralgleichung zweiter Art. Indem wir so auf eine durchaus regul\"are Integralgleichung 2.\ Art gef\"uhrt werden, die der \textsc{Fredholm}schen Methode zug\"anglich ist, haben wir die Schwierigkeit bei unserem Problem \"uberwunden. Nur ein Punkt bedarf noch der Erl\"auterung: wenn $x$ und $y$ gleichzeitig in einen der Endpunkte $A, B$ des Intervalles hineinfallen, so versagen zun\"achst die obigen Betrachtungen, und es scheint, als w\"aren wir f\"ur diese Stellen der Endlichkeit unseres durch Iteration gewonnenen Kernes nicht sicher. Dieses Bedenken wird jedoch bei unserm Problem dadurch beseitigt, da{\ss} der Rand des Meeres, der das Integrationsintervall darstellt, geschlossen ist, woraus sich ergibt, da{\ss} die Punkte $A, B$ keine Ausnahmestellung einnehmen k\"onnen. Durch diese \"Uberlegungen ist also der Fall der vertikalen Meeresufer erledigt. Wir betrachten den zweiten und schwierigeren Fall, da{\ss} das Ufer des Meeres keine vertikale Mauer ist. Dann ist am Rande \[ h = h_1 = h_2 = 0. \] Da die Glieder 2.\ Ordnung unserer Differentialgleichung f\"ur $\varphi$ durch den Ausdruck \[ h_1\Delta\varphi \] gegeben sind, so ist die Randkurve jetzt eine singul\"are Linie f\"ur die Differentialgleichung. Au{\ss}erdem werden $h_1, h_2$ gem\"a{\ss} ihrer Definition f\"ur die durch die Gleichung \[ 4\omega^2\cos^2\vartheta = \lambda^2 \] gegebene \textit{kritische geographische Breite} \label{kritischegeographische} $\vartheta$ unendlich. Um trotz dieser Singularit\"aten, welche das Unendlichwerden des Kerns $K$ zur Folge haben, das Problem durchzuf\"uhren, bin ich gezwungen gewesen, das reelle Integrationsgebiet durch ein komplexes zu ersetzen, indem ich $y$ in eine komplexe Ver\"anderliche $y + iz$ verwandle; $x$ hingegen bleibt reell. \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics*[scale=0.4]{fig2.png} \end{center} \end{figure} Wir deuten $xyz$ als gew\"ohnliche rechtwinklige Koordinaten in einem dreidimensionalen Raum und zeichnen den Durchschnitt $AB$ einer Ebene $x = \text{konst.}$ mit dem in der $(x,y)$-Ebene gelegenen Meeresbecken. Entspricht $C$ der kritischen geographischen Breite, so ist es nicht schwer, diese Singularit\"at durch Ausweichen in das komplexe Gebiet zu umgehen. W\"ahlen wir ferner irgend zwei Punkte $D, E$ zwischen $A$ und $B$ und umgeben $A$, von $D$ ausgehend und dorthin zur\"uckkehrend, mit einer kleinen Kurve und verfahren entsprechend bei $B$ --- r\"aumlich gesprochen: umgeben wir die Randkurve mit einem ringf\"ormigen Futteral ---, so stellen wir uns jetzt das Problem, unsere Differentialgleichung so zu integrieren, da{\ss} $\varphi$, wenn wir seine Wert\"anderung l\"angs der den Punkt $A$ umgebenden Kurve verfolgen, mit demselben Wert nach $D$ zur\"uckkehrt, mit dem es von dort ausging. Diese ``ver\"anderte'' Grenzbedingung ist mit der urspr\"unglichen, welche verlangte, da{\ss} $\varphi$ am Rande (im Punkte $A$) endlich bleibt und sich regul\"ar verh\"alt, \"aquivalent. Zwar sind die zu der neuen und der alten Grenzbedingung geh\"origen \textsc{Green}schen Funktionen $G$, $G_1$ nicht identisch, wohl aber die den betreffenden Randbedingungen unterworfenen L\"osungen von \[ D(u) = f. \tag{1} \] Hiervon \"uberzeugen wir uns leichter im Falle nur \textit{einer} Variablen $y$; dann ergeben die Gleichungen \[ u = \int G(y,y')f(y')dy',\quad u_1 = \int G_1(y,y')f(y')dy' \] durch Anwendung des \textsc{Cauchy}schen Integralsatzes, da{\ss} $u - u_1 = 0$ ist. Um jetzt das Problem~(1) zu behandeln, ziehe ich die vorige Methode heran, die hier aber in zwei Stufen zur Anwendung kommt, da unsere ver\"anderte Randbedingung f\"ur die Gleichung $\Delta u = f$ unzul\"assig ist.\footnote{ Diese Randbedingung ist nicht von solcher Art, da{\ss} sie eine bestimmte L\"osung von $\Delta(u) = f$ auszeichnet.} Wir k\"onnen setzen \[ D(u) = \Delta(h_1 u) + D_1(u) + D_2(u); \] dabei soll $D_1(u)$ nur die Glieder 1.~Ordnung $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, D_2(u)$ aber nur $u$ selbst enthalten. Indem wir \[ \Delta(v) = f \] unter der Randbedingung $v = 0$ integrieren, erhalten wir f\"ur $u = \frac{v}{h_1}$ eine am Rande endliche und regul\"are Funktion, f\"ur welche \[ \Delta(h_1 u) \equiv D_0(u) = f \] ist. Darauf integrieren wir \[ D_0(u) + D_2(u) = f \] unter Zugrundelegung der urspr\"unglichen Grenzbedingung nach der gew\"ohn\-lichen Methode. Der in der hierbei zu benutzenden Integralgleichung auftretende Kern ist zwar unendlich, aber von solcher Ordnung, da{\ss} sich die Singularit\"at durch Iteration des Kerns beseitigen l\"a{\ss}t: die partielle Integration, welche Glieder von einer zu hohen Ordnung des Unendlichwerdens einf\"uhren w\"urde, bleibt uns an dieser Stelle erspart. Das damit bew\"altigte Integrationsproblem ist aber der Integration von \[ D_0(u) + D_2(u) = f \] unter der ver\"anderten Grenzbedingung \"aquivalent, und infolgedessen k\"onnen wir jetzt die zweite Stufe ersteigen und auch die L\"osung von \[ D(u) \equiv \big(D_0(u) + D_2(u)\big) + D_1(u) = f \] unter der ver\"anderten Grenzbedingung bestimmen. \bigskip Wir haben bis jetzt das Glied $\mathit{\Pi}$ als so klein vorausgesetzt, da{\ss} wir es ganz vernachl\"assigen durften. Heben wir diese Voraussetzung auf, so entstehen keine wesentlichen neuen Schwierigkeiten. $\mathit{\Pi}$ ist ein von $\zeta$ erzeugtes Anziehungspotential; wir haben also \[ \mathit{\Pi} = \int\frac{\zeta' d\sigma'}{r}, \] wenn $d\sigma'$ ein Fl\"achenelement der Kugel, $\zeta'$ den Wert der Funktion $\zeta$ im Schwerpunkt $(x', y')$ dieses Fl\"achenelementes, $r$ aber die r\"aumlich gemessene Entfernung der beiden Kugelpunkte $(x, y)$; $(x', y')$ bedeutet, und die Integration \"uber die ganze Kugeloberfl\"ache erstreckt wird. Wir k\"onnen auch schreiben \[ \mathit{\Pi} = \int\frac{\zeta' dx' dy'}{k^2 r}. \] Setzen wir dies in unsere Ausgangsgleichungen ein, von denen wir noch die erste mittels Aufstellung der zugeh\"origen \textsc{Green}schen Funktion und unter Ber\"ucksichtigung der Randbedingung aus einer Differential- in eine Integralgleichung verwandeln, so erhalten wir zwei simultane Integralgleichungen f\"ur $\zeta$ und $\varphi$, die mit Hilfe der soeben er\"orterten Methoden aufgel\"ost werden k\"onnen. \newpage \begin{center} \bigskip\bigskip\bigskip\label{dritter} {\Large Dritter Vortrag} \bigskip\bigskip\bigskip {\Large ANWENDUNG DER INTEGRALGLEICHUNGEN \bigskip AUF HERTZSCHE WELLEN} \end{center} \newpage Ich will heute \"uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf \textsc{Hertz}sche Wellen vortragen und insbesondere die \"au{\ss}erst merkw\"urdigen Beugungserscheinungen behandeln, welche bei der drahtlosen Telegraphie eine so wichtige Rolle spielen; ist es doch eine wunderbare Tatsache, da{\ss} die Kr\"ummung der Erdoberfl\"ache, welche eine Fortpflanzung des Lichtes verhindert, f\"ur die Ausbreitung der \textsc{Hertz}schen Wellen kein Hindernis darstellt, da{\ss} dieselben vielmehr auf der Erdoberfl\"ache von Europa bis Amerika zu laufen verm\"ogen. Der Umstand, da{\ss} die \textsc{Hertz}schen Wellen eine viel gr\"o{\ss}ere L\"ange haben als die Lichtwellen, kann allein diese Erscheinung noch nicht erkl\"aren. Eine solche Erkl\"arung ergibt sich vielmehr erst durch Betrachtung der Differentialgleichungen des Problems. Setzen wir die Lichtgeschwindigkeit gleich $1$, und verstehen wir mit \textsc{Maxwell}\label{Lichtgeschwindig}\label{Maxwell} \begin{tabular}{rrrrl} \text{unter} & $\alpha$, & $\beta$, & $\gamma$ & \text{die Komponenten der magnetischen Kraft,\label{Magnet}} \\ \text{unter} & $F,$ & $G,$ & $H$ & \text{die Komponenten des Vektorpotentiales,} \\ \text{unter} & $f,$ & $g,$ & $h$ & \text{die Komponenten der elektrischen Verschiebung,\label{Versch}} \\ \text{unter} & & $\psi$ & & \text{das skalare Potential,\label{skalaresPot}} \\ \text{unter} & $u,$ & $v,$ & $w$ & \text{die Komponenten des Konduktionsstromes, \label{Konduk}} \\ \text{unter} & & $\varrho$ & & \text{die Dichte der Elektrizit\"at, \label{Dichte}} \end{tabular} \noindent so gelten die Gleichungen \[ \alpha = \frac{\partial H}{\partial y} - \frac{\partial G}{\partial x} \] \vspace{5mm} \[ 4\pi f = - \frac{\partial F}{\partial t} - \frac{\partial\psi}{\partial x}, \] \vspace{5mm} \[ 4\pi\left(\mu + \frac{\partial f}{\partial t}\right) = \frac{\partial\gamma}{\partial y} - \frac{\partial\beta}{\partial z}, \] \vspace{5mm} \[ \sum\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial z} = \varrho, \] \[ \sum\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial\psi}{\partial t} = 0, \] und es folgt \begin{align*} 4\pi\cdot\mu &= \frac{\partial^2{F}}{\partial{t^2}}-\Delta F,\\ 4\pi\cdot\varrho &= \frac{\partial^2{\psi}}{\partial{t^2}}-\Delta\psi. \end{align*} Wir betrachten nun eine ged\"ampfte synchrone \label{synchron} Schwingung, indem wir annehmen, da{\ss} alle unsere Funktionen proportional sind mit der Exponentialgr\"o{\ss}e \[ e^{i\omega t} . \] Aus den so zustande kommenden komplexen L\"osungen erhalten wir die physikalischen durch Trennung in reellen und imagin\"aren Bestandteil. Der reelle Teil von $\omega$ gibt die Schwingungsperiode, der imagin\"are die D\"ampfung. Aus unserem Ansatz folgt \begin{align*} \frac{\partial F}{\partial t}&=i \omega \cdot F,\\ \frac{\partial \psi}{\partial t}&=i \omega \cdot \psi, \end{align*} und man kann daher $F$ und $\psi$ als retardierte Potentiale \label{retardPot} darstellen wie folgt: \begin{align*} F &= \int\mu' \frac{e^{-i \omega r}}{r} d\tau',\\ \psi &= \int\varrho' \frac{e^{-i \omega r}}{r} d\tau'; \end{align*} $d\tau'$ ist das Raumelement im $(x', y', z')$-Raume, $\mu'$, $\varrho'$ die Werte von $\mu$, $\varrho$ im Punkte $(x', y', z')$, $r$ die Entfernung der Punkte $(x', y', z')$ und $(x, y, z)$. In den meisten Problemen treten zwei verschiedene Medien auf, der freie \"Ather und die leitenden K\"orper; von den letzteren wollen wir annehmen, da{\ss} sie sich wie vollkommene Leiter verhalten, da{\ss} also in ihrem Innern das Feld verschwindet, die elektrischen Kraftlinien auf ihrer Oberfl\"ache normal stehen, w\"ahrend die magnetischen in dieselbe hineinfallen; dem Umstande, da{\ss} Ladung und Str\"omung nur an der Oberfl\"ache des Leiters vorhanden ist, wollen wir dadurch entsprechen, da{\ss} wir die obigen Ausdr\"ucke f\"ur $F$ und $\psi$ modifizieren, indem wir an Stelle der Raumintegrale Oberfl\"achenintegrale einf\"uhren. Wir schreiben \begin{align*} \psi &= \int \varrho'' \frac{e^{-i \omega r}}{r} d\sigma',\\ F &= \int \mu'' \frac{e^{-i \omega r}}{r} d\sigma', \end{align*} wo $\varrho''$, $\mu''$ jetzt die Fl\"achendichte der Ladung bzw.\ Str\"omung bedeuten und $d\sigma'$ das Fl\"achenelement ist. Wir unterscheiden gew\"ohnlich zwei leitende K\"orper, der eine soll der \"au{\ss}ere, der andere der innere Leiter hei{\ss}en; sie erzeugen das ``\"au{\ss}ere'' resp.~das ``innere'' Feld; das \"au{\ss}ere Feld ist gegeben, das innere gesucht. So ist z.~B., wenn wir das Problem des Empfanges elektrischer Wellen betrachten, der Sender der \"au{\ss}ere, der Empfangsapparat der innere Leiter; beim Probleme der Beugung elektrischer Wellen ist der Erreger der \"au{\ss}ere, die Erdkugel der innere Leiter; bei dem Probleme der Schwingungserzeugung haben wir kein \"au{\ss}eres Feld, der Erreger wird dann als innerer Leiter anzusehen sein. Um nun zum Ansatz einer Integralgleichung zu gelangen, wollen wir unter den oben erkl\"arten Funktionen nur die zum unbekannten inneren Felde geh\"origen verstehen, soda{\ss} z.B. die obigen Integrale nur \"uber die Oberfl\"ache des inneren Leiters zu erstrecken sind; beachten wir nun, da{\ss} die innere Normalkomponente des elektrischen Vektors am inneren Leiter unserer obigen Annahme zufolge verschwinden mu{\ss}, so folgt, wenn $l$, $m$, $n$ die Richtungskosinus der Normale bedeuten, aus unseren Ausgangs-Gleichungen: \[ 4 \pi f = \frac{\partial \psi}{\partial n} + i \omega \left( lF + mG + nH \right) = N, \] wo $N$ die Normalkomponente des \"au{\ss}eren Feldes, also eine bekannte Funktion ist. Bezeichnen wir jetzt die Fl\"achendichte statt mit $\varrho''$ mit $\mu'$, so wird zufolge unseres Ausdruckes f\"ur $\psi$ \[ \frac{\partial \psi}{\partial n} = 2 \pi \mu + \int \mu' \frac{\partial}{\partial n} \left(\frac{ e^{-i \omega r}}{r} \right) d\sigma'. \] Benutzen wir ferner unseren Ausdruck f\"ur $F$ und die entsprechenden f\"ur $G$ und $H$, so hat man \[ i \omega \sum l F = \int \frac{e^{-i \omega r}}{r} i \omega \sum l \mu'' \:d \sigma'. \] Diesen Ausdruck kann man nun in gewissen F\"allen durch partielle Integrationen auf die Form \[ -i \omega \int L \mu' \:d \sigma' \] bringen, wobei $L$ eine bekannte Funktion ist. So haben wir schlie{\ss}lich \[ 2 \pi \mu + \int \mu' \left\{ \frac{\partial}{\partial n} \left( \frac{e^{-i \omega r}}{r} \right) - i \omega L \right\} d \sigma' = N, \] und dies ist die Integralgleichung 2. Art f\"ur $\mu$, auf die wir hinstrebten. Im allgemeinsten Falle bekommt man zwei Integralgleichungen mit zwei Unbekannten, welche z.~B.\ $\mu$ und $\nu$ sein m\"ogen, wo $\mu$ das oben definierte ist; wir setzen $\nu = \frac{dN}{dn}$, wo $\frac{d}{dn}$ die Ableitung in der Normalrichtung bezeichnet und $N$ die Normalkomponente der magnetischen Kraft ist. \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics*[scale=0.3]{fig3.png} \end{center} \end{figure} Die Funktion $L$ l\"a{\ss}t sich dann besonders einfach bilden, wenn der innere Leiter ein Rotationsk\"orper ist und das \"au{\ss}ere Feld Rotationssymmetrie besitzt. Ist $s$, $s'$ die Bogenl\"ange, gemessen vom Endpunkte der Rotationsachse auf einem Meridian bis zu den Punkten $P$, $P'$, ist ferner $\vartheta$ der Winkel zwischen der Normale in $P$ und der Meridiantangente in $P'$, so wird $L$ als Funktion von $\vartheta$, $s$, $s'$ definiert durch die Differentialgleichung \[ \frac{\partial L}{\partial s'} = \frac{e^{-i \omega r}}{r} \cos \vartheta. \] Das Problem des Empfanges elektrischer Wellen l\"a{\ss}t sich auf Grund der obigen Integralgleichung 2.\ Art behandeln. Wollen wir nur das Problem der Erzeugung elektrischer Wellen betrachten, so haben wir das \"au{\ss}ere Feld gleich Null zu setzen, es wird also $N=0$, und wir haben eine homogene Integralgleichung vor uns; in ihr darf jedoch $\omega$ nicht mehr einen willk\"urlichen Parameterwert bedeuten, sondern ist eine zu bestimmende Zahl, die die Rolle der Eigenwerte spielt. Ich schreibe unsere Integralgleichung in der Form \[ 2 \pi \mu + \int K \mu' \:d \sigma' = N \] mit dem Kerne $K$; ich f\"uhre einen unbestimmten Parameter $\lambda$ ein und betrachte die allgemeine Gleichung \[ 2 \pi \mu + \lambda \int K \mu' \:d \sigma' = N . \] Das erste Glied h\"angt von zwei Unbestimmten $\lambda$ und $\omega$ ab. Wenn man die gew\"ohnliche \textsc{Fredholm}sche Methode\label{Fredholm3} anwendet, so erh\"alt man die L\"osung unserer obigen Integralgleichung in Gestalt einer meromorphen Funktion von $\lambda$, deren Nenner eine ganze Funktion von $\lambda$ ist. Man kann nun zeigen, da{\ss} dieser Nenner auch eine ganze Funktion von $\omega$ wird, soda{\ss} also auch hier unsere ausgezeichneten Werte $\omega$ sich als Nullstellen einer ganzen transzendenten Funktion ergeben. Wir wollen aber jetzt das gr\"o{\ss}ere Problem der Beugung ausf\"uhrlicher behandeln. \begin{figure}[htb] \begin{center} \includegraphics*[scale=0.3]{fig4.png} \end{center} \end{figure} Nehmen wir zu diesem Ende an, da{\ss} der innere Leiter eine Kugel, die Erdkugel, vom Radius $\varrho$ ist und das \"au{\ss}ere Feld (dessen normale Komponente $N$ bedeutet) von einem punktf\"ormigen Erreger $S$ herr\"uhrt, dessen Entfernung $D$ vom Mittelpunkt $O$ der Erde nur sehr wenig gr\"o{\ss}er ist als der Radius $\varrho$. Wir w\"ahlen die Richtung $OS$ zur $z$-Achse und bezeichnen die Abweichung der Richtung $OM$, in der $M$ einen variablen Punkt der Kugeloberfl\"ache bedeutet, von $OS$ mit $\varphi$. Die Bedeutung von $\vartheta$, $\xi$, $\varphi'$; $r$, $r'$ ist aus der Figur ersichtlich: \begin{align*} OM = OM' = OM_1 &= \varrho,\\ OS &= D,\\ SM &= r,\\ SM'&=r'. \end{align*} Der Wert der normalen Ableitung $N$ des \"au{\ss}eren Feldes berechnet sich im Punkte $M$, wie leicht zu sehen, nach der Formel \[ 4 \pi N = e^{i \omega \left( t-r \right) } \left[ \frac{i \omega}{r} \sin \vartheta \sin \xi + \left( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{i \omega r^3} \right) \cdot \left( \sin \vartheta \sin \xi + 2 \cos \vartheta \cos \xi \right) \right]. \] Da $\omega$ eine sehr gro{\ss}e Zahl ist --- denn die L\"ange der \textsc{Hertz}schen Wellen ist klein gegen\"uber dem Radius der Erde --- gen\"ugt es meistens, in dieser Formel nur das erste Glied, das in der eckigen Klammer auftritt, beizubehalten. Im vorhergehenden haben wir die Gleichung der \textsc{Hertz}sehen Wellen auf die Form \[ 2 \pi \mu = \int \mu' K d \sigma' + N \] gebracht und haben gezeigt, wie der Kern $K$ berechnet werden kann. Entwickeln wir jetzt $N$ und $K$ nach Kugelfunktionen oder vielmehr, da unser Problem die Symmetrie eines Rotationsk\"orpers mit der Achse $OS$ besitzt, nach \textsc{Legendre}schen Polynomen\label{Legendre} $P_n$, so gewinnen wir aus dieser Integralgleichung die elektrische Fl\"achendichte $\mu$ gleichfalls unter der Form einer nach den Funktionen $P_n$ fortschreitenden Reihe. Es gilt zun\"achst \[ N = \sum K_n P_n; \qquad\qquad \int\limits_0^{\pi} P_n N \sin \varphi \:d \varphi = \frac{2 K_n}{2n+1}. \] $K_n$ ist von der Form \[ \frac{A_n J_n\left( \omega \varrho \right)}{\varrho^2}, \] wo $A_n$ eine nur von $n$, nicht aber von $\varrho$ abh\"angige Zahl ist, und $J_n$ eine mit der \textsc{Bessel}schen \label{Bessel} verwandte Funktion bedeutet. Wir verstehen n\"amlich unter $J_n(x)$ die in der Umgebung von $x = 0$ holomorphe L\"osung der Gleichung \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y \left( 1 - \frac{n \left( n+1 \right)}{x^2} \right) = 0, \] und $I_n(x)$ sei dasjenige Integral derselben Gleichung, welches sich f\"ur gro{\ss}e positive Werte von $x$ angen\"ahert wie $e^{-ix}$ verh\"alt. Da $J_n$, $I_n$ von einander unabh\"angig sind, k\"onnen wir au{\ss}erdem daf\"ur sorgen, da{\ss} \[ {I_n}' {J_n} - {J_n}' {I_n} = 1 \] ist, wenn unter ${J_n}'$, ${I_n}'$ die Ableitungen von $J_n$, $I_n$ verstanden werden. Die L\"osung unserer Integralgleichung lautet jetzt \[ \mu = A \sum \frac{K_n P_n \left( \cos \varphi \right)}{{I_n}' \left( \omega\varrho \right) J_n \left( \omega\varrho \right)}. \] Da aber auch der Ausdruck von $K_n$ im Z\"ahler $J_n \left( \omega \varrho \right)$ als Faktor enth\"alt, und sich infolgedessen dieser Term $J_n \left( \omega \varrho \right)$ heraushebt, ist \[ {I_n}' \left( \omega \varrho \right) = 0 \] die f\"ur die \textit{Eigenschwingungen} charakteristische Gleichung. Um zu \"ubersichtlichen Resultaten zu gelangen, benutzen wir angen\"aherte Formeln. Diese beruhen darauf, da{\ss} $\omega$ sehr gro{\ss}, andererseits aber $\frac{D}{\varrho}-1$ sehr klein ist. Wir st\"utzen uns auf die folgende N\"aherungsformel \[ \int \eta e^{i \omega \theta} dx = \eta e^{i \theta} \sqrt{\frac{2 \pi}{\omega\theta''}} e^{\pm\frac{i \pi}{4}}, \] $\theta$, $\eta$ sind gegebene Funktionen von $x$, $\omega$ eine sehr gro{\ss}e Zahl, $\theta''$ bedeutet die zweite Ableitung von $\theta$, und auf der rechten Seite ist als Argument ein solcher Wert einzusetzen, f\"ur den $\theta$ ein Maximum oder Minimum besitzt; je nachdem der eine oder der andere Fall vorliegt, ist in dem Faktor $e^{\pm \frac{i \pi}{4}}$ das Zeichen $+$ oder das Zeichen $-$ zu nehmen. Hat $\theta$ in dem Intervall, \"uber welches zu integrieren ist, mehrere Maxima oder Minima, so ist der Ausdruck rechts durch eine Summe analog gebildeter Terme zu ersetzen. Durch Anwendung dieser Formel bekommen wir f\"ur die \textsc{Legendre}schen Polynome $P_n \left( \cos \varphi \right)$ die folgenden, f\"ur gro{\ss}e $n$ g\"ultigen angen\"aherten Ausdr\"ucke: \[ P_n = 2 \sqrt \frac{2 \pi}{ n \sin \varphi} \cdot \cos \left( n \varphi+ \frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{4} \right). \] Aus ihnen folgt f\"ur die $K_n$, falls $n<\omega\varrho$, \[ K_n = \frac{2n+1}{8r \sqrt{n}} \left[ e^{i \alpha} + e^{i \alpha'} \right] \frac{i \omega \sin \vartheta \sin \xi} {\sqrt{D \varrho \cos \vartheta \cos \xi}} \sqrt{\frac{\sin \vartheta}{\omega \varrho}} . \] Dabei ist \begin{align*} \alpha &= n\varphi - \omega r + \frac{\varphi}{2} - \frac{\pi}{2},\\ \alpha'&= n\varphi' - \omega r' + \frac{\varphi'}{2} , \end{align*} gesetzt, und f\"ur $\xi$, $\vartheta$, $\varphi$, $\varphi'$, $r$, $r'$ sind die aus der Figur zu entnehmenden Werte einzusetzen, f\"ur welche \begin{align*} \sin \xi = \frac{n}{\omega \varrho} && \left(\xi < \frac{\pi}{2} \right) \end{align*} wird. Die gleiche N\"aherungsformel gilt auch f\"ur $n>\omega \varrho$, falls in der eckigen Klammer $e^{i\alpha} + e^{i\alpha'}$ durch $e^{i\alpha}$ oder $e^{i\alpha'}$ ersetzt wird; die Diskussion dar\"uber, welches der beiden Glieder beizubehalten ist, will ich hier nicht geben. Auch um ${I_n}'J_n$ angen\"ahert zu berechnen, m\"ussen wir die beiden F\"alle $n < \omega\varrho$ und $n > \omega\varrho$ unterscheiden. Im ersten Falle ist \[ {I_n}'J_n = e^{i \frac{\alpha-\alpha'}{2}} \cdot \cos \tfrac{\alpha-\alpha'}{2}, \] im zweiten \[ {I_n}'J_n=\tfrac{1}{2} \] zu setzen. Daraus ergibt sich, da{\ss} sowohl f\"ur $n<\omega\varrho$ als auch f\"ur $n > \omega\varrho$ und gro{\ss}e $n$ \[ \frac{K_n}{{I_n}'J_n} =\frac{\sqrt n}{2r} \: e^{i\alpha} \: \frac{i \sqrt{\omega} \sin \xi {\left( \sin \vartheta \right)^{\tfrac{3}{2}}}}{\varrho \sqrt{D \cos \vartheta \cos \xi}} \ \footnote[1]{Der Ausdruck von $\mu$, kann auch auf eine einfachere Form zur\"uckgef\"uhrt werden, n\"amlich \[ \mu=\frac{-i}{4\pi\omega^2\varrho^2 D^2} \sum{ n \left( n+1 \right) \left( 2n+1 \right) \frac{I_n \left( \omega D \right)} {{I_n}' \left( \omega \varrho \right)} P_n \left( \cos \varphi \right)} \] und diese Formel ist nicht eine angen\"aherte, sondern eine strenge.} \] gilt. In der Summe, durch welche wir $\mu$ dargestellt haben, geben demnach diejenigen Glieder, f\"ur welche nahezu $n = \mu$ ist, den Ausschlag. F\"ur diese gilt n\"aherungsweise \[ \xi=\frac{\pi}{2}\qquad\text{und}\qquad r=\sqrt{2 \varrho D}. \] Da ferner wegen der Kleinheit von $\frac{D}{\varrho}-1$ der Winkel $\varphi$ immer nahezu $= 0$ bleibt, variiert $\alpha$ als Funktion von $n$ nur sehr wenig, wenn $n$ auf die dem Werte $n = \omega$ benachbarten ganzen Zahlen beschr\"ankt wird. Wir d\"urfen also, wenn wir noch die L\"angeneinheit so gew\"ahlt denken, da{\ss} $\varrho=1$ ist, schreiben \[ \mu = C \sum { \frac {\sqrt{\omega} \sin \xi {\left( \sin \vartheta \right)}^{\frac{3}{2}}} {\sqrt{\cos \vartheta \cos \xi}} } \cdot \frac{1}{\sqrt{\sin \psi}} \left( \cos n\psi+\frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4} \right). \] Dabei ist $\mu$ der Wert der elektrischen Oberfl\"achendichte im Punkte $M_1$ (s.~die Figur). Aus \begin{align*} \sin\xi=\frac{n}{\omega},&& \sin\vartheta=\frac{n}{\omega D};&& \cos\xi=\sqrt{1-\frac{n^2}{\omega^2}},&& \cos\vartheta=\sqrt{1-\frac{n^2}{D^2\omega^2}} \end{align*} bekommen wir \[\frac {\sin \xi {\left( \sin\vartheta \right)}^{\frac{3}{2}}} {\sqrt{\cos\vartheta\cos\xi}} = \frac{ \frac{n}{\omega} \cdot {\left(\frac{n}{\omega D}\right)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{D}} {\sqrt[4]{\left(1+\frac{n}{\omega}\right)\left( 1+\frac{n}{D\omega}\right)}} \cdot \frac{\sqrt{\omega}} {\sqrt[4]{\omega-n}\cdot \sqrt[4]{\omega \left( D - 1 \right) }} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1+\frac{\omega-n}{\omega \left( D - 1 \right)}}}, \] soda{\ss} in der N\"ahe von $n = \omega$ der linke Ausdruck von derselben Gr\"o{\ss}enordnung ist wie \[ \frac{\sqrt[4]{\omega}}{\sqrt[4]{D-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{n-\omega}}. \] F\"uhren wir diese Ann\"aherung in unsere Formel f\"ur $\mu$ ein und ersetzen \\$\cos{\left( n \psi+\frac{\psi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)}$ zun\"achst durch $e^{i\left(n\psi+ \frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}$, so kommen wir auf die Reihe \[ \frac{\omega^{\tfrac{3}{4}}e^{i\left(\frac{\psi}{2}- \frac{\pi}{4}\right)}}{\sqrt{\sin\psi}\cdot\sqrt[4]{D-1}} \cdot \sum_{\left(n\right)} {\frac{e^{i n \psi}}{\sqrt[4]{n-\omega}}}. \] Schreiben wir \[ S=\sum_{\left(n\right)}{\frac{e^{i n \psi}}{\sqrt{n-\omega}}}, \] so k\"onnen wir \begin{align*} &&&&\int\limits_{\nu}^{\nu+1}{S e^{-i \omega \psi} d \omega}&& \text{($\nu$ ganzzahlig}) \end{align*} als einen Mittelwert der Reihe $S$ betrachten, und ich will $S$ durch diesen Mittelwert ersetzen. Ein solches Verfahren ist gewi{\ss} berechtigt, wenn es uns nur daran liegt, die Gr\"o{\ss}enordnung von $S$ festzustellen, umsomehr als in Wirklicheit von einer Antenne nicht blo{\ss} Schwingungen einer einzigen Wellenl\"ange, sondern ein ganzes kontinuierliches Spektrum von Schwingungen ausgeht. Wir erhalten \begin{align*} \int\limits_{\nu}^{\nu+1}{S e^{-i \omega \psi} d \omega} &=\sum_{\left(n\right)}{\int\limits_{\nu}^{\nu+1}{ \frac{e^{i\left(n-\omega\right)\psi}} {\sqrt[4]{n-\omega}} d \omega }}\\ &=-\int\limits_{-\omega}^{\infty}{ \frac{e^{i q \psi}}{\sqrt[4]{q}} }d q, \end{align*} und da $\omega$ sehr gro{\ss} ist, wird dieses Integral mit $\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \displaystyle\frac{e^{i q \psi}}{\sqrt[4]{q}}d q$ im wesentlichen \"ubereinstimmen. Auf \"ahnliche Weise zeigt man, da{\ss} der Mittelwert von \[ \sum{\frac{e^{-i n \psi}}{\sqrt[4]{n-\omega}}} \] gegen den von $S$ zu vernachl\"assigen ist. Damit gewinnen wir das Resultat, da{\ss} \[ \mbox{$\mu$ von der Gr\"o{\ss}enordnung $\frac{\sqrt[4]{\omega^3}}{\sqrt[4]{D-1}}$}\quad \] und also \[ \mbox{$\frac{\mu}{N}$ von der Gr\"o{\ss}enordnung $\frac{1}{\sqrt[4]{\omega\left(D-1\right)}}$} \] ist. Die Beugung ist daher um so gr\"o{\ss}er, je n\"aher die Quelle $S$ der Erdoberfl\"ache gelegen ist und je l\"anger die entsendeten Wellen sind. Auf diese Weise wird die zun\"achst staunenerregende Tatsache verst\"andlich, da{\ss} es mit Hilfe der in der drahtlosen Telegraphie verwendeten \textsc{Hertz}schen Wellen gelingt, vom europ\"aischen Kontinent z.~B. bis nach Amerika zu telegraphieren. Wenn man nicht den mittleren Wert der Reihe betrachten will, welcher von einem Integral dargestellt wird, sondern den wirklichen Wert dieser Reihe, so hat man eine Diskussion durchzuf\"uhren, welche auf einem wohlbekannten \textsc{Abel}schen Satz\label{AbelscherSatz} beruht, und deren Resultate etwas komplizierter, aber sonst ganz \"ahnlich den vorliegenden sind. \vspace{5pt} \selectlanguage{french} \textbf{Note.} Je me suis aper\c{c}u que les derni\`eres conclusions doivent \^etre modifi\'ees. Les formules approch\'ees dont j'ai fait usage ne sont plus vraies lorsque $n$ est tr\`es voisin de $\omega \varrho$. Elles doivent \^etre alors remplac\'ees par d'autres, o\`u figure une transcendante enti\`ere satisfaisant \`a l'\'equation diff\'erentielle \[ y''= xy \] Mais les termes qui doivent \^etre ainsi modifi\'es sont en petit nombre et j'avais cru d'abord que le r\'esultat final n'en serait pas modifi\'e. Un examen plus approfondi m'a montr\'e qu'il n'en est rien. La somme des termes modifi\'es est comparable \`a celle des autres termes dont j'avais tenu compte et qui est donn\'ee par la formule pr\'ec\'edente; il en r\'esulte une compensation presque compl\`ete de sorte que la valeur de $\mu$ donn\'ee par les formules d\'efinitives est notablement plus petite que celle qui r\'esulterait des formules pr\'ec\'edentes. \selectlanguage{german} \newpage \begin{center} \bigskip\bigskip\bigskip\label{vierter} {\Large Vierter Vortrag} \bigskip\bigskip\bigskip {\Large \"UBER DIE \bigskip REDUKTION DER ABELSCHEN INTEGRALE \bigskip UND DIE \bigskip THEORIE DER FUCHSSCHEN FUNKTIONEN} \end{center} \newpage Meine Herren! Ich habe die Absicht, Ihnen heute \"uber die Reduktion der \textsc{Abel}schen Integrale im Zusammenhang mit der Theorie der automorphen und insbesondere der \textsc{Fuchs}schen Funktionen vorzutragen. \label{AbelscheIntegrale} Ein System von \textsc{Abel}schen Funktionen von $p$ Variabeln und $2p$ Perioden hei{\ss}t \textit{reduzibel}, wenn es sich auf ein System von $q$ Variabeln und $2q$ Perioden $(q