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% The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à
% la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf                     %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and   %
% most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions%
% whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms  %
% of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at  %
% www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you     %
% will have to check the laws of the country where you are located before %
% using this eBook.                                                       %
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% Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions
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% Author: Ernst Leonard Lindelöf                                          %
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% Release Date: August 24, 2009 [eBook #29781]                            %
% Most recently updated: December 19, 2021                         %
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% Language: French                                                        %
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% Character set encoding: UTF-8                                           %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS ***  %
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\def\ebook{29781}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% pxfonts:  Palatino. Required; size, pagination differ from cmr.  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% babel:    French hyphenation rules. Required.                    %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% soul:     Spaced out and underlined text. Optional.              %%
%%                                                                  %%
%% footmisc: Enhanced footnotes. Required.                          %%
%% manyfoot: Multiple footnote series. Required.                    %%
%% perpage:  Restart footnote numbering on each page. Required.     %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%% extramarks: Part of fancyhdr                                     %%
%%                                                                  %%
%% tabularx: Enhanced tabular environment. Required.                %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%%                                                                  %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments: A few pages require visual inspection.      %%
%%                                                                  %%
%% Things to Check:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% Advertisement on PDF page 5 is on one page:    OK                %%
%% Second titlepage on PDF page 7 is on one page: OK                %%
%% Catalogue on PDF page 147 is on one page:      OK                %%
%% Table des Matières on PDF page 145 is recto:   OK                %%
%%                                                                  %%
%% Spellcheck: .................................. OK                %%
%% Smoothreading pool: ......................... Yes                %%
%%                                                                  %%
%% lacheck: ..................................... OK                %%
%%   False positives:                                               %%
%%   bad character in label                                         %%
%%   Do not use @ in LaTeX macro names (five instances)             %%
%%   punctuation mark "!" [in] math mode                            %%
%%   possible unwanted space at "{" (22 instances)                  %%
%%                                                                  %%
%% Lprep/gutcheck: .............................. OK                %%
%% ToC page numbers: ............................ OK                %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 159                                                   %%
%% PDF page size: US Letter                                         %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 8 PDF                                                    %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Two underfull hboxes.                                          %%
%% * One overfull vbox, one slightly overfull hbox.                 %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Formatting notes:                                                %%
%%                                                                  %%
%% * The file is set up to use Palatino (pxfonts). The next three   %%
%%   items need attention if this changes.                          %%
%%                                                                  %%
%% * In some cases, delimiters have been explicitly sized for       %%
%%   pxfonts. (Search for \bigl, \Big, \biggl, \Biggl.)             %%
%%                                                                  %%
%% * A few in-line formulas are \smash-ed to avoid large or uneven  %%
%%   line skips. (Search for \smash.)                               %%
%%                                                                  %%
%% * Exponents are handled with the \Pow and \Powfr macros. Both    %%
%%   enlarge the superscript for readability; the latter handles    %%
%%   exponents containing fractions, which are raised and kerned.   %%
%%                                                                  %%
%% * Major sectional units can be found by searching for a string   %%
%%   of three consecutive asterisks (***). PPer comments and typo   %%
%%   markers can be found by searching for two asterisks.           %%
%%                                                                  %%
%% * The publisher's mark (gauthier_villars), illustrations (016,   %%
%%   072, 103, 105), thought breaks (tb, tb2), and the residue sum  %%
%%   symbol (residue_sum_glyph)---are provided as pdf files.        %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% April, 2008: adhere (Andrew D. Hwang)                            %%
%%              texlive2007, GNU/Linux                              %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3 (Run pdflatex three times)                       %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2009: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 29781-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%                                                                       %%
%% December 2021: okrick.                                                %%
%%         MiKTeX Console 4.3, Windows 10 Home                           %%
%%         TeXworks 0.6.6 used to generate PDF output.                   %%
%%                                                                       %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles
% N.B. global french, letterpaper options
\documentclass[leqno,12pt,french,letterpaper]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05] %% DP standard encoding
\usepackage{soulutf8}
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
\usepackage[french]{babel}[2005/11/23]

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Required for displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{pxfonts}[2005/01/03] %% Palatino

\usepackage[multiple]{footmisc}[2005/03/17] %% \dagger flags changes in text
\usepackage[para]{manyfoot}[2005/09/11]
\usepackage{perpage}[2006/07/15] %% footnote numbering restarts on each page

% for residuesum, thoughtbreaks, publisher's mark, and figures
\usepackage{graphicx}[1999/02/16]

% for advertisements, tables of contents
\usepackage{tabularx}[1999/01/07]

% for titlepage
\IfFileExists{soul.sty}{% load soul package for letterspaced headings
  \usepackage{soul}[2003/11/17]
  }{% else make \so a no-op
  \providecommand\so[1]{##1}
}

% for running heads,
\usepackage{fancyhdr}

% but we'll handle the hrule at page top when we need it
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Note sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
  \bigskip

  Des modifications mineures ont été apportées à la présentation,
  l'orthographe, la ponctuation, et aux notations mathématiques.}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon
  \bigskip

  Ce fichier est optimisée pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformater pour être imprimer. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon
    \bigskip

    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% The printed book's text block is well-approximated by hscale=0.57,
% but the geometry package default value hscale=0.7 is painstakingly
% chosen to minimize the number and size of bad line breaks in
% Palatino, and is not uncomfortable to read, ~65 chars per line.
%
% The vscale value is the package default, specified explicitly to guard
% against changes to geometry.sty.
%
% Add the option "centering" for symmetric margins (tested, no problems).
% N.B. global letterpaper option above
\usepackage[body={5.95in,7.7in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions},
  pdfauthor={Ernst Leonard Lindelöf},
  pdfkeywords={Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Historical Mathematical Monographs collection},
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
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  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
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  bookmarksopenlevel=1,
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  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

% Re-crop screen-formatted version
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\hypersetup{pdfpagescrop= 65 90 547 752}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMANDS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% Cross-referencing: labels and refs
\newcommand{\Pagelabel}[1]{%
  \phantomsection
  \label{#1}
}

% ``equation tag'', labels equation with Roman section and equation number
\newcommand{\EqnTag}[3]{%
  \tag{#3}%
  % e.g. \label{eqn:IV.III.12} = equation 12 in Chapter IV, Section III
  \Pagelabel{eqn:#1.#2.#3}
}

% Errata (four)
\newcommand{\Erratum}[1]{\Pagelabel{err#1}}
\newcommand{\ErrNote}[1]
  {\hyperref[err#1]{Page~\oldstylenums{\pageref{err#1}}}}
\newcommand{\Change}{\quad\longrightarrow\quad}


% ``equation reference'', e.g., \Eref{IV}{III}{12} -> \EqnTag{IV}{III}{12}
\newcommand{\Eref}[3]{\hyperref[eqn:#1.#2.#3]{\upshape(#3)}}

% ``section reference''
\newcommand{\Sref}[1]{{\upshape\ref{paragraph:#1}}}

% page~n, making the preceding word part of the hyperlink:
% \Pgref{page}{page142} or \Pgref{p.}{17}
\newcommand{\Pgref}[2]{%
  \hyperref[#2]{#1~{\protect\upshape\oldstylenums{\pageref{#2}}}}%
}

%% Sectioning: Chapter, Section, Paragraph divisions
\newcounter{Chapter}
\renewcommand{\theChapter}{\Roman{Chapter}}

% \Chapter{Roman Num}{Title}
% Must be preceded by an explicit \cleardoublepage if needed; chapter I is
% preceded by a half-title heading on the same page.
\newcommand{\Chapter}[2]{%
  \refstepcounter{Chapter}

  % drop anchors
  \Pagelabel{chapter:#1}
  \phantomsection
  \pdfbookmark[0]{Chapitre #1}{chapter:#1}

  % set up running heads
  \thispagestyle{empty}
  \fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{#2}}}}
  \fancyhead[CE]{\small{\textsc{chapitre~\MakeLowercase{\theChapter.}}}}

  % page formatting
  \begin{center}
    \rule{\textwidth}{0.5pt}     \\[12ex]
    \textbf{\Large CHAPITRE~#1.} \\[2ex]

    \textbf{\small #2} \\[3ex]

    \rule[1ex]{0.2\textwidth}{0.5pt}
  \end{center}
}

% Chapter-like, but has no counter, sets up running heads differently
\newcommand{\Preface}{%
  % set up running head, cf. \Chapter
  \thispagestyle{empty}
  \fancyhead[C]{\small\textsc{\MakeLowercase{PRÉFACE.}}}

  % anchor
  \phantomsection
  \pdfbookmark[0]{Préface}{Preface}

  % page formatting
  \begin{center}
    \rule{\textwidth}{0.5pt}     \\[12ex]
    \textbf{\LARGE PRÉFACE.}

    \rule{0.2\textwidth}{0.5pt}  \\[6ex]
  \end{center}
  \Pagelabel{Preface}
}

% \Section
\newcommand{\Section}[3]{%
  \subsection*{\centering\normalfont\upshape\normalsize #2. --- \itshape #3}
  \phantomsection
  \pdfbookmark[1]{Section #1.#2}{section:#1.#2}
  \Pagelabel{section:#1.#2}
}

% \Paragraph: numbered units
\newcounter{Parno}
\newcommand{\Paragraph}[1]{%
  \refstepcounter{Parno}%
  % [** PP: Post-tag skip smaller than \paragraph spacing]
  \indent\textbf{#1}\hspace{0.25em}
  \Pagelabel{paragraph:\theParno}
}


% Miscellaneous referrable units: \Figure, \Theorem

% Non-floating figure ``environment''
\newcommand{\Figure}[2]{%
  \begin{center}
    \begin{minipage}{3in}
      \begin{center}
        Fig.~#1. \\[1ex]
        \includegraphics{./images/#2}
        \Pagelabel{figure:#1}
      \end{center}
    \end{minipage}
  \end{center}
}


% Set paragraph in italics after small skip, make label; does not
% print ``Theorem'' or otherwise mark the italicized passage.
\newcommand{\Theorem}[2]{%
  \smallskip

  \Pagelabel{theorem:#1}
  \textit{#2}
}


% Surround footnote markers with upright parentheses
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1}
\makeatother


% Top-level footnote numbers restart on each page
\MakePerPage{footnote}

% for Change notes
\DeclareNewFootnote[para]{Ch}[roman]
\newcommand{\Changenotemark}{\FootnotemarkCh{\dag}}

\newcommand{\Changenotetext}[1]
  {\FootnotetextCh{\dag}{\ \textit{Voir \hyperref[Notes]{Note~#1}.}}}

% Space between Section number and title in ToC; otherwise retaining
% F-rounds' manual formatting.
\newlength{\Tocskip}
\setlength{\Tocskip}{1.5em}
\newcommand{\TocBox}[1]{\makebox[\Tocskip][r]{#1}}


% Glyphs 'n things:
%   \residuesum (scripty Sigma),
%   \dint (medium-sized integral sign for paragraph mode),
%   \smfrac, \fnfrac (medium-sized \dfracs for paragraph mode, footnotes),
%   \Tbreak, bigTreak (fancy thoughtbreak symbols)

% A good copy of the glyph was cut from a scanned page (043.png),
% converted to a bmp with ImageMagick, to esp with potrace, and
% finally to pdf with epstopdf.
\newsavebox{\resglyph}
\savebox{\resglyph}[12pt]{%
  \raisebox{-1ex}{%
    \hbox{\includegraphics[width=12pt]{./images/residue_sum_glyph}}
    \kern -6pt% May require adjustment for non-Palatino font
  }
}
\newcommand{\residuesum}{\usebox{\resglyph}}

% Displaystyle sums, integrals, and fractions appear repeatedly in
% paragraph mode and in footnotes, causing rather poor line spacing.
% To ameliorate the effect, we define a medium-sized integral sign
% (\dint) and medium-sized dfracs (\smfrac, \fnfrac) for paragraph
% mode and footnotes, respectively. \smfrac is also used in displayed
% math when the rest of the line is of normal text height, or when an
% ordinary displaystyle fraction would be too large.

\newsavebox{\displayint}
\savebox{\displayint}[8pt]{\scalebox{0.75}{$\displaystyle\int$}}
\newcommand{\dint}{\usebox{\displayint}}

\newcommand{\smfrac}[2]{\mbox{\footnotesize$\dfrac{#1}{#2}$}}
\newcommand{\fnfrac}[2]{\mbox{\scriptsize$\dfrac{#1}{#2}$}}

% Thoughtbreaks are implemented as graphics
\newcommand{\Tbreak}{%
  \begin{center}
    \includegraphics{./images/tb}
  \end{center}
}

\newcommand{\bigTbreak}{%
  \begin{center}
    \vspace{0pt plus 0.5fil}
    \includegraphics{./images/tb2}
    \vfil
  \end{center}
}


% Miscellaneous math conveniences

\DeclareMathOperator{\arc}{arc}
\DeclareMathOperator{\cosec}{cos\acute{e}c} %The accented coséc
\DeclareMathOperator{\fsec}{s\acute{e}c} %The accented séc
\DeclareMathOperator{\tang}{tang}

% ToC dotfill
\newcommand\Dotfill{\null\nobreak\dotfill\kern.7em}

% Common abbrev.
\newcommand{\eps}{\varepsilon}

% \newcommand{\nos}{n\up{os}\,}

% \Segment{a}{b}: Book's a---b notation
\newcommand{\Segment}[2]{#1\;\rule[0.5ex]{18pt}{0.5pt}\;#2}

% Absolute value (crudely) sensitive to argument's height
\newcommand{\Labs}{\left\lvert}
\newcommand{\Rabs}{\right\rvert}
\newcommand{\Abs}[1]{\Labs#1\Rabs}

\renewcommand{\tabularxcolumn}[1]{>{\hangindent1em\hangafter=1}b{#1}}

% {#1}^{#2} with enlarged #2, for use with fraction-containing exponents
\newcommand{\Powfr}[2]{{#1}^{\kern -2pt\raisebox{1ex}{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}}}

\newcommand{\Pow}[2]{{#1}^{\mbox{\scriptsize\ensuremath{\smash[b]{#2}}}}}


% Title page appears twice, so centralize it in a command
\newcommand{\mytitlepage}{%
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS

\textsc{\footnotesize publiée sous la direction de M.~Émile Borel.}

\rule{2in}{0.5pt}
\vspace*{4ex}

\normalsize LE \\[4ex]
\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex]
\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex]
\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS} \\[4ex]
{\small PAR} \\[4ex]
{\scshape\textbf{Ernst LINDELÖF}},

\textsc{\scriptsize PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS}.
\vspace*{4ex}

\includegraphics{./images/gauthier_villars}
\vspace*{5ex}

\textbf{\Large PARIS},
\medskip

\textbf{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE}

\so{\textbf{\scriptsize DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE}},

\so{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.}

\rule{0.025\textwidth}{0.5pt}

\textbf{\normalsize 1905}
\end{center}
}

% ``half'' title page, for 005.png and start of Chapter I
\newcommand{\myhalftitlepage}{%
\begin{center}
\normalsize LE \\[4ex]
\textbf{\Huge CALCUL DES RÉSIDUS} \\[4ex]
\textbf{ET SES APPLICATIONS} \\[4ex]
\textbf{\Large À LA THÉORIE DES FONCTIONS.} \\[4ex]
\end{center}
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\pagestyle{empty}

\pagenumbering{Roman}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\Pagelabel{PGBoilerplate}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate}{Project Gutenberg Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{alltt}
The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à
la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf

This eBook is for the use of anyone anywhere in the United States and   
most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions
whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms  
of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at  
www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you     
will have to check the laws of the country where you are located before 
using this eBook.                                                       


Title: Le calcul des résidus et ses applications à
la théorie des fonctions

Author: Ernst Leonard Lindelöf

Release Date: August 24, 2009 [eBook #29781]
Most recently updated: December 29, 2021

Language: French

Character set encoding: UTF-8

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS ***
\end{alltt}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill
\clearpage

%%%% CREDITS %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{alltt}
Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the
Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
Revised by Richard Tonsing.
(This file was produced from images generously made
available by Cornell University Digital Collections)
\end{alltt}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\small
\subsection*{\centering \TransNote}

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}
\vfil

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter

\allowhyphens
\pagenumbering{roman}
\pagestyle{empty}
\selectlanguage{french}

\normalsize

%% -----File: 002.png---
%[Blank Page]
%% -----File: 003.png---

% [*** Titlepage]
\enlargethispage{36pt}

\mytitlepage
\clearpage

%% -----File: 004.png---
% [Blank Page]
%% -----File: 005.png---

% [*** Half titlepage]
\null\vfill
\myhalftitlepage
\vfill
\clearpage

%% -----File: 006.png---

% [*** Advertisement page]
\enlargethispage{24pt}

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{center}
\textbf{\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS}.

\vspace{2ex}
\rule{.2\textwidth}{.5pt}
\vspace{3ex}

\small COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS.
\medskip

\scriptsize PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M.~ÉMILE BOREL.

\vspace{2ex}
\rule{.2\textwidth}{.5pt}
\vspace{2ex}
\end{center}

{\small
\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{Xr}
\textbf{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des
ensembles et applications}), par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\dotfill.& 3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les fonctions entières}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1900\dotfill.& 3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les séries divergentes}, par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1901\dotfill.&  4~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de
France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Robert d'Adhémar},
1902\dotfill.&  3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de
France par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel} et rédigées par M.~\textit{Ludovic Zoretti}, 1903\dotfill.& 3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives},
professées au Collège de France par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\dotfill.&  3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de
France par M.~\textsc{René} \bsc{Baire} et rédigées par M.~\textit{A.~Denjoy}, 1905\dotfill.&   3~fr.\ 50
\\
\textbf{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements
en séries de polynomes}, professées à l'École Normale,
par M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}, rédigées par \textit{Maurice Fréchet} avec des Notes de
M.~P.~\textsc{Painlevé} et de M.~H.~\textsc{Lebesgue}, 1905\dotfill.&   4~fr.\ 50
\end{tabularx}

\vspace{2ex}
\begin{center}
\scriptsize EN PRÉPARATION:
\end{center}

\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}{X}
%[**F1: Gives the same hanging indent as in the previous list]
\textbf{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs
variables complexes}, par M.~\textsc{Pierre} \bsc{Cousin}. \\
\textbf{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par
M.~\textsc{Émile} \bsc{Borel}. \\
\textbf{Leçons sur les correspondances entre variables réelles}, par M.~\textsc{Jules}
\bsc{Drach}. \\
\textbf{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par
M.~\textsc{Otto} \bsc{Blumenthal}. \\
\textbf{Leçons sur les séries trigonométriques}, par M.~\textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}. \\
\textbf{Leçons sur la fonction $\zeta(s)$ de Riemann et son application à la théorie
des nombres premiers}, par M.~\textsc{Helge} \bsc{von Koch}.
\end{tabularx}
} % [** PP: End of \small]

% [Illustration]
\Tbreak
\end{minipage}

\cleardoublepage

%% -----File: 007.png---

% [*** Titlepage with ``all rights reserved'']
\enlargethispage{24pt}

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\mytitlepage

\noindent\null{\hfill\scriptsize(\textbf{Tous droits réservés}.)\hfill}
\end{minipage}

%% -----File: 008.png---
% [Blank Page]
%% -----File: 009.png---Folio V-------


% [*** Preface]

\cleardoublepage
% global initialization
\pagestyle{fancy}
\fancyfoot{}
\fancyhead{}
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {\fancyhead[RO,LE]{\textsc{\thepage}}}
  {\fancyhead[R]{\textsc{\thepage}}}

\setlength{\headheight}{14.5pt}

\Preface

Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des
fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes
et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy,
parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des
résidus. Il n'est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce
Calcul classique et d'étudier systématiquement le rôle qu'il joue
dans la théorie des fonctions proprement dite. C'est ce que nous
avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans
une certaine mesure l'accès des parties modernes de l'Analyse.

Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue
les principes et thé\-o\-rèmes généraux dont nous aurons à faire usage,
en cherchant d'ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé.
Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris
quelques Mémoires peu répandus que M.~Mittag-Leffler a généreusement
mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les
dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous
a paru d'autant plus nécessaire qu'on rencontre souvent, dans la
littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet.

Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul
des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites
restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner
qu'une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même
de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n'ont pu
%% -----File: 010.png---Folio VI-------
trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la
méthode qu'il a employée pour obtenir des séries analogues à celle
de Fourier, méthode dont on trouve une très belle exposition au
Tome~II du \textit{Traité d'Analyse} de M.~Picard.

Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires.
Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher
toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, à
un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre
plus d'ordre et d'unité dans cette partie si intéressante de l'Analyse.

Comme application de ces formules, nous en déduisons, au
quatrième Chapitre, une grande partie des expressions et des
développements trouvés, à différentes époques et par différentes
méthodes, pour la fonction~$gamma$ et pour la fonction de
Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux
relatifs à la série de Stirling.

Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques
résultats modernes relatifs au prolongement analytique et à l'étude
asymptotique des fonctions définies par un développement de
Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches
en applications et qui semblent présenter un caractère définitif.
Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des
questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre
exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir
le sujet.

Nous tenons à exprimer ici nos vifs remercîments à M.~Émile
Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant
les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux
conseils.

\begin{quote}\small
Helsingfors, le 13~novembre 1904.
\end{quote}

\bigTbreak
\cleardoublepage

%% -----File: 011.png---Folio VII-------

% [*** Index -- abbreviated table of contents]

\pagestyle{empty}
\null\vfil
\begin{center}
\Pagelabel{Index}
\textbf{\LARGE INDEX.}
\vspace*{2ex}

\rule{0.1\textwidth}{0.5pt}
\vspace*{2ex}

{\small
\newlength{\tablelength}
\setlength{\tablelength}{\linewidth}
\newlength{\lastcol}
\settowidth{\lastcol}{Pages. }
\addtolength{\tablelength}{-\lastcol}

\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}}
%\multicolumn{4}{@{}c@{}}{\large TABLES DES MATIÈRES.}
\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre~\TocBox{I.}}\ ---\ Principes et théorèmes fondamentaux}\dotfill}&{\pageref{chapter:I}}\\[2ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre~\TocBox{II.}}\ ---\ Applications diverses du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:II}}\\[2ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre~\TocBox{III.}}\ ---\ Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}\dotfill}&{\pageref{chapter:III}}\\[2ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre~\TocBox{IV.}}\ ---\ Les fonctions $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill}&{\pageref{chapter:IV}}\\[2ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre~\TocBox{V.}}\ ---\ Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}\dotfill}&\raisebox{-3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[8ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[ToC]{\textsc{Table des matières}}\dotfill}&{\pageref{ToC}}
\end{tabular}
} % [** PP: End of \small]

\vspace*{9ex}
\bigTbreak
\end{center}

\vfil

%% -----File: 012.png---Folio VIII-------
%[Blank Page]


%% -----File: 013.png---Folio 1-------

% [*** Main matter]

\mainmatter

\pagestyle{fancy}

\pagenumbering{arabic}
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {\fancyhead[RO,LE]{\oldstylenums{\thepage}}}
  {\fancyhead[R]{\oldstylenums{\thepage}}}

\myhalftitlepage


% [*** Chapter I]
% half-title above, no clearpage
\Chapter{I}{PRINCIPES ET THÉORÈMES FONDAMENTAUX.}

\Paragraph{1.} Soient deux fonctions réelles des variables réelles $x$, $y$,
$u(x,y)$ et $v(x, y)$, continues et uniformes dans un domaine connexe
$T$, ainsi que leurs dérivées du premier ordre, et vérifiant les
relations
\[
\frac{\partial u}{\partial x} =  \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x},
\EqnTag{I}{I}{1}
\]
pour tout point de ce domaine. On dit que l'expression
\[
f(z) \equiv u(x,y) + i\,v(x, y)
\EqnTag{I}{I}{2}
\]
représente une \textit{fonction analytique de la variable complexe}
$z \equiv x+iy$ qui est \textit{holomorphe} dans le domaine~$T$.

Désignons par $\Delta u$, $\Delta v$ les accroissements que prennent $u(x,y)$,
$v(x,y)$ lorsqu'on passe d'un point $x,y$ de $T$ à un point voisin
$x + \Delta x$, $y + \Delta y$, et posons $h = \sqrt{\Delta \Pow{x}{2}+\Delta\Pow{y}{2}}$; on obtient aisément,
en se servant des relations~\Eref{I}{I}{1},
\[
\Delta u + i\,\Delta v =
\left(\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}\right)
(\Delta x + i\Delta y) + h\,(h),
\]
%% -----File: 014.png---Folio 2-------
ou bien, en posant $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$, d'où $\Abs{\Delta z} = h$,
\[
f(z + \Delta z) - f(z)
  = \left (\frac{\partial u}{\partial x} +
          i\frac{\partial v}{\partial x}\right)\Delta z
  + \Delta z\, (\Delta z),
\]
($h$), ($\Delta z$) tendant vers zéro avec $h$, $\Delta z$. La dernière égalité nous
apprend que \textit{la fonction~$f(z)$ admet, pour chaque point du
domaine~$T$, une dérivée} \textsc{unique}
\[
f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x}
     + i\frac{\partial v}{\partial x},
\]
\textit{qui reste continue dans}~$T$.

Inversement, étant donnée une fonction quelconque de~$z$, continue
et uniforme dans~$T$ et admettant, en chaque point de ce domaine,
une dérivée unique qui y reste continue, on constate immédiatement
qu'elle peut se mettre sous la forme~\Eref{I}{I}{2}, $u(x, y)$~et
$v(x,y)$ jouissant des propriétés énoncées au début: c'est donc
une fonction analytique de $z$, holomorphe dans le domaine~$T$.

Cette seconde définition met en évidence que, si $f(z)$~et~$\varphi(z)$
sont des fonctions analytiques, holomorphes dans un domaine
donné, il en est de même de leurs somme, différence et produit,
ainsi que de leur quotient, si le dénominateur ne s'annule pas
dans le domaine.

\Paragraph{2.} Il nous semble commode de rattacher les propriétés fondamentales
des fonctions analytiques au théorème suivant:

\Theorem{I.I.1}{Toute fonction analytique~$f(z)$, uniforme et holomorphe
dans un domaine~$T$ à connexion simple, est la dérivée d'une
autre fonction~$F(z)$ jouissant des mêmes propriétés. Cette fonction
intégrale~$F(z)$ est déterminée à une constante additive
près.}

En posant $F(z) = U(x, y) + i\,V(x,y)$, la condition donnée:
$F'(z)=f(z)$, ou bien $dF(z)=f(z)\,dz$, entraîne les deux suivantes:
\[
\left\{
\begin{aligned}
dU &= u\, dx - v\, dy,\\
dV &= v\, dx + u\, dy.
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{I}{I}{3}
\]

On est donc ramené à démontrer l'existence, dans le domaine~$T$,
d'une fonction intégrale continue et uniforme d'une \textit{différentielle
%% -----File: 015.png---Folio 3-------
totale}
\[
M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy,
\EqnTag{I}{I}{4}
\]
les expressions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$ étant elles-mêmes continues
et uniformes dans~$T$, ainsi que leurs dérivées premières, et vérifiant
en chaque point de ce domaine la \textit{condition d'intégrabilité}
\[
\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} =
\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}.
\]

On voit d'abord que, s'il existe deux fonctions intégrales jouissant
des propriétés indiquées, leur différence se réduira nécessairement
à une constante. En effet, les dérivées de cette différence
étant nulles en chaque point de~$T$, elle gardera une valeur constante
sur tout segment de droite intérieur à~$T$ et parallèle à l'un
ou l'autre des axes de coordonnées. Or deux points pris arbitrairement
dans~$T$ peuvent toujours être reliés par une ligne composée
de semblables segments.

Ayant fixé à l'intérieur de~$T$ un point $x_0, y_0$, imaginons que,
pour atteindre un autre point $x, y$ du même domaine, on chemine
de $x_0,y_0$ parallèlement à l'axe des~$x$ jusqu'au point $x,y_0$, puis
parallèlement à l'axe des~$y$ jusqu'au point considéré $x,y$. Cette
ligne brisée sera comprise tout entière dans~$T$ si l'on suppose le
point $x,y$ intérieur à une certaine portion de ce domaine que
nous désignerons par~$T_0$.

Cela posé, en admettant qu'il existe une fonction continue et
uniforme dont la différentielle totale soit égale à~\Eref{I}{I}{4} et qui, au
point $x_0,y_0$, se réduise à une constante donnée~$A$, la valeur de
cette fonction en un point quelconque $x,y$ du domaine~$T_0$ sera
évidemment représentée par l'expression
\[
F_0(x,y)\equiv A + \int_{x_0}^x M(x,y_0)\, dx
                 + \int_{y_0}^y N(x,y)\,   dy,
\]
obtenue en ajoutant à la valeur initiale~$A$ les accroissements que
prendra la fonction intégrale sur chacun des deux segments rectilignes
qui relient les points $x_0,y_0$ et $x,y$.

Inversement, ayant formé l'expression ci-dessus, on constate
immédiatement qu'elle définit, dans le domaine~$T_0$, une fonction
intégrale continue et uniforme de la différentielle~\Eref{I}{I}{4}. En effet, la
%% -----File: 016.png---Folio 4-------
chose est évidente pour ce qui concerne l'uniformité et la continuité
et, en différentiant, on trouve de suite
\[
\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial y} = N(x,y),
\]
puis, en utilisant la condition d'intégrabilité,
\[
\frac{\partial F_0(x,y)}{\partial x}
  = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial N}{\partial x}\, dy
  = M(x, y_0) + \int^{y}_{y_0} \frac{\partial M}{\partial y}\, dy
  = M(x,y).
\]

Le domaine~$T_0$, où est définie l'expression $F_0(x,y)$, s'obtient
en menant dans~$T$ certaines coupures parallèles à l'axe des~$y$ (dans
la figure ci-dessous, où $P_0$~désigne le point $x_0,y_0$ et où $T_0$~est l'aire
couverte de hachures, ce sont les coupures $AA'$, $BB'$ et~$CC'$).
Le domaine~$T$ étant, par hypothèse, à connexion simple, chacune de
ces coupures en séparera une portion où, jusqu'à présent, la fonction
intégrale n'est pas définie.

%[Illustration:  Fig. 1.]
\Figure{1}{016}

À l'intérieur de~$T_0$, choisissons maintenant un point $x_1, y_1$ distinct
de $x_0, y_0$ (dans la figure c'est le point~$P_1$), et formons l'expression
\[
F_1(x,y)\equiv F_0(x_1,y_1) + \int^{x}_{x_1} M(x,y_1)\, dx
                            + \int^{y}_{y_1} N(x,y)\, dy,
\]
analogue à $F_0(x, y)$ et prenant la même valeur que cette expression
au point $x_1, y_1$. En raisonnant comme ci-dessus, on démontre
que $F_1(x, y)$ représente une fonction intégrale continue et uniforme
de la différentielle~\Eref{I}{I}{4} dans une certaine portion~$T_1$ du domaine~$T$,
qui aura en commun avec~$T_0$ une aire~$T_{0,1}$, comprenant
le point $x_1, y_1$.

Je dis qu'on a $F_1 (x, y) = F_0 (x, y)$ pour tout point de l'aire~$T_{0,1}$.
%% -----File: 017.png---Folio 5-------
En effet, d'après ce que nous avons dit plus haut, la différence des
expressions $F_1$ et~$F_0$ gardera dans cette aire une valeur constante,
et, comme elles prennent la même valeur au point $x_1, y_1$, cette
valeur constante est $0$.

Or, si l'on a choisi convenablement le point $x_1, y_1$, le domaine~$T_1$
renfermera aussi certaines aires extérieures à~$T_0$ et qui en sont
séparées par l'une des coupures (dans la figure, c'est l'aire comprise
entre $CC'$ et~$DD'$). L'expression $F_1(x, y)$ sert alors à \textit{prolonger}
la fonction intégrale au delà des limites du domaine $T_0$,
où elle était définie primitivement.

En continuant ce procédé, on pourra étendre de proche en proche
le domaine d'existence de la fonction intégrale et, par un choix
convenable des points $x_0, y_0$; $x_1, y_1$;~$\dotsc$, on arrivera même, en
général, à représenter cette fonction, dans tout le domaine~$T$, par
un nombre fini d'expressions $F_0(x,y)$, $F_1(x,y)$,~$\dotsc$. Il n'en est
plus ainsi dans les cas où le contour de~$T$ présente des singularités
d'un certain genre, mais cela a peu d'importance, car, dans la suite,
nous resterons essentiellement dans l'intérieur de ce domaine.

En retournant maintenant aux conditions~\Eref{I}{I}{3}, nous pouvons
affirmer qu'elles définissent dans le domaine~$T$ des fonctions continues
et uniformes $U(x,y)$, $V(x,y)$, déterminées à des constantes
additives près, et, par suite, l'expression
\[
F(z)\equiv U(x,y) + i\,V(x,y)
\]
nous donne bien une fonction intégrale de~$f(z)$, uniforme et
holomorphe dans le domaine donné et renfermant une constante
arbitraire.

\Paragraph{3.} Prenons à l'intérieur du domaine~$T$ deux points quelconques,
$z_0\equiv x_0 + iy_0$ et $z\equiv x + iy$, et joignons-les par un chemin continu~$S$,
n'ayant aucun point commun avec le contour de~$T$; puis
choisissons sur ce chemin une suite de points, $z_1,~z_2, \dotsc,~z_n$, se
succédant dans la direction de~$z_0$ à~$z$. On appelle \textit{intégrale définie
de la fonction~$f(z)$, prise le long du chemin~$S$ de~$z_0$ à~$z$}, et
l'on dénote par
\[
\int^{z}_{z_0(S)} f(z)\, dz
\]
%% -----File: 018.png---Folio 6-------
la limite vers laquelle tend la somme
\[
\sum^{n}_0 f(z_\nu)(z_{\nu+1} - z_\nu),\qquad (z_{n+1}=z),
\]
lorsque~$n$ croît indéfiniment, en même temps que la distance entre
deux points consécutifs~$z_\nu$ quelconques tend vers zéro.

Or, en posant
$z_\nu = x_\nu + iy_\nu$,
$u_\nu = u(x_\nu, y_\nu)$,
$v_\nu = v(x_\nu, y_\nu)$,
la somme en question s'écrit
\[
    \sum^{n}_{0}\bigl[u_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu)
                    - v_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr]
%
+ i \sum^{n}_{0}\bigl[v_\nu (x_{\nu+1} - x_\nu)
                    + u_\nu (y_{\nu+1} - y_\nu)\bigr]
\]
et, lorsque~$n$ augmente indéfiniment, cette expression tend vers la limite
\[
   \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (u\,dx - v\,dy)
+i \int^{x,y}_{x_0,y_0(S)} (v\,dx + u\,dy),
\]
laquelle, en vertu des égalités~\Eref{I}{I}{3}, se réduit à son tour à
\[
U(x,y) - U(x_0,y_0) + i\, \bigl[V(x,y) - V(x_0,y_0)\bigr],
\]
c'est-à-dire à $F(z)-F(z_0)$. Toutes ces conclusions découlent
immédiatement de la notion d'intégrale curviligne, si l'on admet
que le chemin~$S$ se compose d'un nombre fini d'arcs de courbes
continues à tangente continue, hypothèse qui suffit complètement
aux besoins de la théorie des fonctions.

Nous avons donc trouvé
\[
\int^{z}_{z_0(S)}f(z)\,dz = F(z) - F(z_0),
\EqnTag{I}{I}{5}
\]
et cette égalité renferme deux résultats d'une importance capitale:
comme le second membre ne dépend que des limites $z_0$ et~$z$ de
l'intégrale, il en résulte d'abord que:

\Theorem{I.I.2}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$, prise entre des limites fixes, ne
change pas de valeur, de quelque manière qu'on fasse varier
le chemin d'intégration, à condition que ce chemin reste
constamment intérieur à un domaine où la fonction~$f(z)$ est
holomorphe.}
%% -----File: 019.png---Folio 7-------

D'autre part, si les extrémités $z_0$ et~$z$ du chemin~$S$ se rapprochent
jusqu'à se confondre, le second membre de l'égalité~\Eref{I}{I}{5}
tendra vers zéro, d'où celle nouvelle conclusion:

\Theorem{I.I.3}{L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ s'évanouit toutes les fois qu'on prend
pour chemin d'intégration un contour fermé, compris dans
un domaine simplement connexe où la fonction~$f(z)$ est holomorphe\footnotemark.}
\footnotetext{On rattache généralement ce théorème à la formule
\[
\iint_T \left(\frac{\partial N}{\partial x}
            - \frac{\partial M}{\partial y}\right)\, dx\,dy
  = \int_C (M\,dx + N\,dy),
\]
les fonctions $M(x,y)$ et~$N(x,y)$, ainsi que leurs dérivées premières, étant
continues et uniformes dans le domaine~$T$ et sur son contour~$C$.

Dans son \textit{Mémoire sur les intégrales définies} de l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres complètes},
série~I, t.~1), Cauchy s'est servi de cette formule dans le cas où le domaine
est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées.
C'est la même méthode qu'a adoptée Kronecker dans une Note insérée
dans les \textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin},~1880,
p.~688, et qu'on trouve développée dans le Chapitre~III de ses Leçons sur les
intégrales définies, publiées par M.~Netto.

D'autre part, on trouve dans le \textit{Mémoire sur les rapports qui existent entre
le calcul des résidus et le calcul des limites}, que Cauchy avait présenté à
l'Académie de Turin le~27 novembre~1831 et dont un extrait assez étendu a été
publié dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XVI,~1831, p.~116--128, une démonstration
du théorème ci-dessus, fondée sur les mêmes principes et \textit{parfaitement générale}.

Enfin, dans une Note du~3 août~1846, intitulée \textit{Sur les intégrales qui s'étendent
à tous les points d'une courbe fermée} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~X, p.~70), Cauchy
a généralisé notablement les résultats qu'il avait obtenus antérieurement.}
% [** End of footnote]

Supposons maintenant la fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe
dans un domaine~$T$ à connexion multiple, et soient $C$, $C'$ des contours
fermés, intérieurs à~$T$ et pouvant se réduire l'un à l'autre
par une déformation continue, sans sortir jamais de ce domaine.
Je dis qu'on aura
\[
\int_C f(z)\,dz = \int_{C'} f(z)\,dz.
\]

En effet, si $C$~et~$C'$ se coupent, les parties de ces contours comprises
entre deux points d'intersection consécutifs correspondent
à la même valeur de l'intégrale $\dint f(z)\, dz$, en vertu du théorème
%% -----File: 020.png---Folio 8-------
de la \Pgref{page}{theorem:I.I.2}, d'où résulte l'égalité ci-dessus. Si les courbes $C$ et~$C'$
sont intérieures l'une à l'autre et si on les joint par une coupure,
les deux bords de celle-ci formeront avec lesdites courbes le contour
complet d'un domaine simplement connexe où~$f(z)$ est holomorphe.
L'intégrale $\dint f(z)\,dz$ étendue à ce contour est donc égale
à \textit{zéro} et, comme les parties de l'intégrale relatives aux deux bords
de la coupure se détruisent, on en déduit bien l'égalité voulue.
Donc:

\Theorem{I.I.4}{Si la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe dans un
domaine donné~$T$ à connexion quelconque, l'intégrale
$\dint f(z)\,dz$, étendue à un contour fermé situé dans~$T$, garde
une valeur invariable lorsque ce contour se déforme d'une
manière continue, en restant constamment intérieur à~$T$.}

\Paragraph{4.} Soient~$f(z)$ une fonction analytique, holomorphe dans un
domaine~$T$ à connexion simple, $C$~une courbe fermée située
dans~$T$ et ne se coupant pas elle-même, $x$~un point intérieur à~$C$
et~$c$ un cercle de centre~$x$ et intérieur à~$C$. Le théorème ci-dessus
nous donne
\[
\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz = \int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz,
\]
les contours $C$ et~$c$ étant parcourus tous deux dans le sens direct.
Or, si l'on pose $z-x = r\,\Pow{e}{i\varphi}$, $r$~étant le rayon du cercle~$c$, cette
dernière intégrale prendra la forme
\[
i\int_0^{2\pi} f(x + r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi,
\]
d'où l'on conclut qu'elle tend vers $2\pi i\,f(x)$ lorsque~$r$ s'annule.
Comme elle est, d'autre part, indépendante de~$r$, toujours en
vertu du même théorème, sa valeur sera précisément $2\pi i\,f(x)$. Par
suite, l'égalité ci-dessus nous donne la formule fondamentale
\[
f(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz,
\EqnTag{I}{I}{6}
\]
qui aura lieu pour tout point~$x$ intérieur à~$C$.

%% -----File: 021.png---Folio 9-------

On en conclut d'abord, par la définition même de la dérivée,
que la fonction~$f(x)$ admet dans son domaine d'holomorphie des
dérivées de tous les ordres et que l'on a, à l'intérieur de~$C$,
\Erratum{1}
\[
\Pow{f}{(\nu)}(x)
  = \frac{\nu!}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{\nu+1}}.
\EqnTag{I}{I}{7}
\]

Prenons maintenant un point quelconque,~$a$, intérieur à~$C$ et
distinct de~$x$, et posons
\[
\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{z-a - (x-a)}
  = \sum_{0}^{n-1}
    \frac{\Pow{(x-a)}{\nu}}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}}
    + \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{1}{z-x}.
\]

La formule~\Eref{I}{I}{6} deviendra, en tenant compte de l'égalité~\Eref{I}{I}{7},
\[
f(x) = \sum_{0}^{n-1}
  \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu}
  + \frac{1}{2\pi i} \int_C
    \Pow{\left(\frac{x-a}{z-a}\right)}{n} \frac{f(z)}{z-x}\,dz.
\EqnTag{I}{I}{8}
\]

Soient $M$ le maximum de~$\Abs{f(z)}$ sur~$C$, $S$~la longueur totale de ce
contour, $R$~la plus courte distance du point~$a$ à~$C$, $R'$~un nombre
positif inférieur à~$R$, et supposons $\Abs{x-a}\leqq R'$. Le dernier terme
de l'égalité ci-dessus aura son module inférieur à
\[
\frac{MS}{2\pi(R - R')} \Pow{\left(\frac{R'}{R}\right)}{n},
\]
et comme cette quantité s'annule lorsque~$n$ croît indéfiniment, on
arrive à cette conclusion que, pour $\Abs{x-a}\leqq R'$, la fonction~$f(x)$
est représentée par son \emph{développement de Taylor}
\[
% [** PP: \nu in superscript changed to (\nu)]
f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!}
  \Pow{(x-a)}{\nu}.\quad\Changenotemark
\]
\Changenotetext{1}

Comme $R'$ était un nombre quelconque inférieur à~$R$ et~$C$ un
contour quelconque compris dans~$T$, cette égalité subsiste dans le
cercle de centre~$a$ et tangent intérieurement au contour de~$T$\footnotemark.
\footnotetext{Cauchy a établi pour la première fois ce théorème dans son \textit{Mémoire sur
la Mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé Calcul des limites}, qu'il
présenta à l'Académie de Turin le 11~octobre 1831, et dont un résumé fut inséré
la même année dans le \textit{Bulletin de Férussac}, t.~XV, p.~260--269. La partie la plus
importante de ce travail, qui marque un des plus grands progrès qui aient jamais
été réalisés dans l'Analyse, se trouve reproduite dans le Tome~II des \textit{Exercices
d'Analyse} (1841).

Quant aux formules \Eref{I}{I}{6} et~\Eref{I}{I}{7}, il y avait longtemps que Cauchy les avait
tirées du calcul des résidus, dans le cas particulier où le contour~$C$ se réduit à un
cercle de rayon \emph{un}. \emph{Voir}, par exemple, \textit{Bulletin de la Société Philomathique},
1822; \textit{Annales de Gergonne}, t.~XVII, p.~114, et un article de la première
année (1826) des \textit{Exercices de Mathématiques} (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI,
p.~270--271).

D'ailleurs, ces formules avaient déjà été remarquées par d'autres auteurs,
notamment par Frullani et Poisson, qui y étaient arrivés \emph{en partant de la série
de Taylor}. Mais, dans cet ordre d'idées, on doit surtout citer Parseval, auteur
peu connu de notre temps, mais dont les travaux vraiment remarquables:
\emph{Méthode générale pour sommer, par le moyen des intégrales définies, la
suite donnée par Lagrange, et Mémoire sur les séries et sur l'intégration
complète d'une équation aux différences partielles linéaires du second ordre,
à coefficients constants} (\textit{Mémoires présentés par divers savants}, série~I,
t.~I, 1806) ont exercé une grande influence sur les analystes du commencement
du siècle dernier, et tout particulièrement sur Cauchy (\emph{voir}, par exemple,
\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, p.~275).

Les remarques qui précèdent pourront servir à compléter ou à corriger, sur
différents points, les intéressants articles que vient de publier M.~Stäckel sur
l'histoire de la Théorie des fonctions (\textit{Bibliotheca Mathematica}, série~III, t.~I,
p.109--128 et t.~II, p.~111--121).}
%[** End of footnote]

%% -----File: 022.png---Folio 10-------

\Paragraph{5.} Passons au \emph{théorème de Laurent}. Nous supposons la
fonction~$f(z)$ uniforme et holomorphe à l'intérieur et sur le contour
de la couronne comprise entre deux cercles concentriques, $C$ et~$c$,
de centre~$a$. Prenons dans cette couronne un point arbitraire,~$x$,
et joignons $C$~et~$c$ par une coupure ne passant pas par ce point.
On aura un domaine simplement connexe où $f(z)$~est holomorphe,
contour compris, et l'on pourra donc appliquer la formule~\Eref{I}{I}{6} en
y étendant l'intégrale au contour complet de ce domaine. Or,
comme~$f(z)$ est uniforme dans la couronne envisagée, les intégrales
relatives aux deux bords de la coupure se détruisent, de
sorte que nous trouvons
\[
f(x)=
\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz -
\frac{1}{2\pi i}\int_c \frac{f(z)}{z-x}\, dz,
\]
les contours $C$ et~$c$ étant tous deux parcourus dans le sens direct.

En raisonnant comme ci-dessus, on trouve d'abord \emph{pour tout
point~$x$ intérieur au cercle~$C$},
\[
\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-x}\,dz
  = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu},
\]
%% -----File: 023.png---Folio 11-------
avec
\[
A_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)\, dz}{\Pow{(z-a)}{\nu+1}}.
\]

En vertu du théorème de la \Pgref{page}{theorem:I.I.4}, il est permis de prendre
pour contour d'intégration dans cette dernière intégrale, soit l'une
des circonférences $C$ et~$c$, soit une courbe fermée quelconque,~$L$,
intérieure à~$C$ et enveloppant~$c$, et ne se coupant pas elle-même.

D'autre part, en écrivant
\[
-\frac{1}{z-x} \equiv \frac{1}{x-a-(z-a)}
  = \sum^n_1 \frac{\Pow{(z-a)}{\nu-1}}{\Pow{(x-a)}{\nu}}
    + \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{1}{x-z},
\]
et en observant que, si $\Abs{x-a}$ est supérieur au rayon du cercle~$c$,
l'intégrale
\[
\frac{1}{2\pi i}\int_c
  \Pow{\left( \frac{z-a}{x-a} \right)}{n} \frac{f(z)\, dz}{x-z}
\]
s'évanouit pour $n = \infty$, on trouve le développement
\[
-\frac{1}{2\pi i}\int_c\frac{f(z)}{z-x}\, dz
  = \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}},
\]
où
\[
B_\nu = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\Pow{(z-a)}{\nu-1}\,dz,
\EqnTag{I}{I}{9}
\]
et qui reste valable \emph{pour tout point~$x$ extérieur au cercle~$c$}.

On aura, dès lors, dans la couronne comprise entre $C$ et~$c$,
\[
f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}
     + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{(x-a)}{\nu}},
\EqnTag{I}{I}{10}
\]
égalité qui constitue précisément le théorème de Laurent.

\Paragraph{6.} Admettons, en particulier, que la fonction~$f(z)$ est uniforme
et holomorphe pour tout point du cercle~$C$, excepté le centre~$a$. Le
raisonnement qui précède restera vrai quelque petit qu'on prenne le
rayon du cercle~$c$, et les valeurs des coefficients $A_\nu$, $B_\nu$ seront
toujours les mêmes. Donc, la fonction~$f(x)$ sera représentée par
le développement~\Eref{I}{I}{10} pour tout point~$x$ intérieur à~$C$ et distinct
du point~$a$.

%% -----File: 024.png---Folio 12-------

Quant au caractère que présente la fonction~$f(x)$ dans le voisinage
du point~$a$, deux cas sont \textit{a priori} possibles: ou il existe un
entier~$n$ tel que, dans le cercle~$C$, le module du produit $\Pow{(x-a)}{n}f(x)$
reste inférieur à un nombre fini,~$M$, ou bien un tel entier n'existe
pas.

Considérons d'abord le premier cas, et admettons que~$n$ est précisément
le plus petit entier satisfaisant à la condition indiquée. En
faisant $\nu = n + k$ et en prenant pour contour d'intégration un
cercle de centre $a$ et de rayon $r$, on déduit de l'égalité~\Eref{I}{I}{9}
\[
\Abs{B_{n+k}} < M\, \Pow{r}{k},
\]
et, comme $M\,\Pow{r}{k}$ s'annule avec~$r$, pour $k\geqq 1$, tandis que les valeurs
des coefficients~$B$ ne dépendent pas de~$r$, il en résulte que
$B_{n+1} = B_{n+2} = \dotsb = 0$. Donc, le développement~\Eref{I}{I}{10} ne comprend
qu'\textit{un nombre fini de termes à puissances négatives}\footnotemark:
\footnotetext{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~I, t.~XI, 1851, p.~384.}
\[
f(x) = \frac{B_n}{\Pow{(x-a)}{n}\vphantom{\Pow{(x-a)}{n-1}}} +
       \frac{B_{n-1}}{\Pow{(x-a)}{n-1}}+ \dotsb +
       \frac{B_1}{x-a}
     + \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{(x-a)}{\nu}.
\]
On aura d'ailleurs $B_n\neq 0$, sans quoi le produit $\Pow{(x-a)}{n-1}f(x)$
resterait fini dans le voisinage du point~$a$, contrairement à l'hypothèse.---On
dit, dans ce cas, que le point~$a$ est \textit{un pôle d'ordre}~$n$
pour la fonction~$f(x)$.

Inversement, si~$a$ est un pôle de~$f(x)$, il existe évidemment un
entier~$n$ jouissant de la propriété indiquée plus haut. Donc, dans
le cas où un tel entier n'existe pas, la partie fractionnaire du
développement~\Eref{I}{I}{10} comprendra une infinité de termes, et réciproquement.
Alors, le point~$a$ est dit \textit{point singulier essentiel}
pour la fonction donnée.

Le coefficient~$B_1$ de la première puissance négative dans le développement~\Eref{I}{I}{10}
s'appelle \textit{le résidu de la fonction~$f(x)$ relatif
au point singulier $x = a$}\footnotemark.
\footnotetext{Ce terme a été employé par Cauchy pour la première fois, à ce qu'il semble,
dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 28~décembre 1825 (voir
p.~XIII de l'analyse des travaux de l'Académie pendant l'année 1825, par Fourier),
puis dans les \textit{Exercices de Mathématiques}. Mais la notion de résidu est au fond
identique à celle d'\textit{intégrale singulière} que Cauchy avait introduite dans son
Mémoire de 1814, et qui se trouve exposée avec beaucoup de précision dans ses
\textit{Leçons sur le Calcul infinitésimal} de l'année 1823 (\textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~IV
34\ieme{}~leçon).

Cauchy est bien des fois revenu sur les notions fondamentales du Calcul des
résidus, cherchant à les préciser et à les simplifier autant que possible. \textit{Voir}, en
particulier, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~XI, 1851, p.~306--314; t.~XII, 1855, p.~300--301
et 1857, p.~433--444.} % [** End of footnote]
D'après~\Eref{I}{I}{9}, on a
\[
B_1 =\frac{1}{2\pi i} \int_L f(z)\, dz,
\]
%% -----File: 025.png---Folio 13-------
$L$ étant un contour fermé simple intérieur à~$C$ et enveloppant le
point~$a$. Si $a$~est un pôle simple, on aura aussi cette autre définition:
\Pagelabel{page13}
\[
B_1 = \lim_{x=a}(x-a)f(x).
\]

Remarquons encore que le résidu~$B_1$ s'évanouit si~$f(z)$ est la
dérivée d'une fonction qui reste uniforme dans le voisinage du
point~$a$, ce qui résulte immédiatement de l'égalité~\Eref{I}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:I.I.5}.

\Paragraph{7.} Supposons maintenant la fonction~$f(x)$ holomorphe et uniforme
dans la région du plan qui est extérieure à un certain cercle~$c$
ayant l'origine comme centre. On aura \textit{pour tout point de cette
région}
\[
f(x) = \sum^{\infty}_0 A_\nu \Pow{x}{\nu}
     + \sum^{\infty}_1 \frac{B_\nu}{\Pow{x}{\nu}}
\EqnTag{I}{I}{11}
\]
avec
\[
A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L \frac{f(z)}{\Pow{z}{\nu+1}}\, dz, \qquad
B_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z) \Pow{z}{\nu-1}\, dz,
\]
$L$ étant un contour fermé simple enveloppant le cercle~$c$. En effet,
en vertu du théorème de Laurent, cette égalité a lieu dans la couronne
comprise entre~$c$ et un cercle concentrique~$C$, enveloppant
le contour~$L$ et d'ailleurs aussi grand qu'on voudra.

Nous avons ici encore à distinguer deux cas:

Admettons d'abord qu'il existe un entier~$n$ tel que le module
$\Abs{\Pow{z}{-n}f(z)}$ reste inférieur à une limite finie, quelque grand
que soit~$\Abs{z}$, et soit d'ailleurs $n$ le plus petit entier satisfaisant à
cette condition. On en conclut, par un raisonnement analogue à
celui du \no\Sref{6}, $A_{n+1}=A_{n+2}=\dotsb =0$, $A_{n}\neq 0$, de sorte que~$\Pow{x}{n}$ est
%% -----File: 026.png---Folio 14-------
la puissance la plus élevée de~$x$ qui figure dans le
développement~\Eref{I}{I}{11}. On convient de dire, dans ce cas, que \textit{le point à l'infini
est pour~$f(x)$ un pôle d'ordre~$n$}. Si, en particulier, $\Abs{f(z)}$ reste
au-dessous d'une limite finie, à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$,
le développement~\Eref{I}{I}{11} ne comprendra aucune puissance positive
de~$x$; alors \textit{la fonction~$f(x)$ est holomorphe à l'infini}.

Dans le cas où il n'existe pas d'entier~$n$ vérifiant la condition
indiquée, le développement~\Eref{I}{I}{11} comprendra au contraire une
infinité de termes à puissances positives, et le point à l'infini est
dit \textit{point singulier essentiel} pour~$f(x)$.

On convient d'appeler \textit{résidu de la fonction~$f(x)$ relatif au
point~$\infty$} l'expression
\Pagelabel{page14}
\[
-B_1 = \frac{1}{2\pi i}\int_L f(z)\, dz,
\]
l'intégrale étant prise le long du contour~$L$ dans le sens \textit{indirect}
par rapport à l'origine ou, ce qui revient au même, dans le sens
direct par rapport au point~$\infty$. Remarquons que \textit{ce résidu est nul
dans le cas où le produit $z\,f(z)$ tend uniformément vers zéro
avec~$\smfrac{1}{z}$}, c'est-à-dire où l'inégalité $\Abs{z\,f(z)} < \eps$, quelque petit qu'on
se donne~$\eps$, est vérifiée dès que~$\Abs{z}$ dépassera une certaine limite
finie. En effet, en prenant pour contour~$L$ un cercle ayant l'origine
comme centre et dont le rayon est supérieur à cette même limite,
on trouvera $\Abs{B_1} < \eps$, d'où il suit $B_1 = 0$.

\Paragraph{8.} Soit une fonction analytique~$f(z)$ qui, dans un domaine
donné à connexion simple, est uniforme et ne présente qu'un
nombre fini de points singuliers, $a_1$,~$a_2$, $\dots,~a_n$, en étant d'ailleurs
holomorphe sur le contour~$C$ de ce domaine. Entourons les points~$a$
de petites courbes fermées, $c_1, c_2, \dots, c_n$, extérieures les unes aux
autres mais intérieures à~$C$, et joignons chacune de ces courbes
avec~$C$ par une coupure. Un raisonnement analogue à celui du
\no\Sref{5} nous donnera
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz
  = \sum_1^n \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz,
\]
tous les contours étant parcourus dans le sens direct. Or le second
%% -----File: 027.png---Folio 15-------
membre est égal à la somme des résidus de la fonction~$f(z)$ relatifs
à ses points singuliers intérieurs au contour~$C$, et, en désignant
avec Cauchy cette somme par $\residuesum_C\bigl(f(z)\bigr)$, %*Crazy integral
on pourra donc écrire
l'égalité précédente sous la forme
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_C f(z)\, dz = \residuesum_C \bigl(f(z)\bigr).
\EqnTag{I}{I}{12}
\]
C'est la formule sur laquelle repose tout le calcul des résidus\footnotemark.
\footnotetext{Sous cette forme générale, la formule~\Eref{I}{I}{12} a été établie par Cauchy dans
le Mémoire du 27~novembre 1831 et publiée la même année dans le \textit{Bulletin de
Férussac} (Cf.~la note p.~7).}

Dans le cas où la fonction~$f(z)$ est uniforme et holomorphe
dans la région extérieure au contour~$C$, le premier membre de~\Eref{I}{I}{12}
est égal au résidu de cette fonction au point~$\infty$ pris avec le signe
\textit{moins}, d'où cette proposition:

\Theorem{I.I.5}{La somme de tous les résidus d'une fonction analytique,
uniforme dans tout le plan et n'ayant qu'un nombre fini de
points singuliers, est égale à zéro.}

Soit, en particulier, une fonction~$f(z)$, holomorphe dans tout le
plan et dont le module reste inférieur à une certaine quantité finie,
quel que soit~$z$, et considérons l'expression
\[
F(z) \equiv \frac{f(z)}{(z-x)(z-y)}\ \raisebox{0.3ex}{,}
\]
$x$ et~$y$ étant deux points distincts pris au hasard. Comme $z\,F(z)$
tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, le résidu de~$F(z)$ à l'infini
est égal à zéro, d'après la remarque faite \Pgref{page}{page14}. En vertu de la
proposition ci-dessus, il en est donc de même de la somme des
résidus de~$F(z)$ relatifs aux points $x$ et~$y$ et, comme cette somme
s'écrit
$\smfrac{f(x)-f(y)}{x-y}$, il en résulte $f(x)=f(y)$. Donc \textit{la
fonction~$f(z)$ se réduit à une constante}\footnotemark.
\footnotetext{Cf.~\bsc{Cauchy}, \textit{{\OE}uvres complètes}, série~I, t.~VIII.\ 1844, p.~366--375. Dans
cette Note, Cauchy démontre également qu'une fonction~$f(z)$, holomorphe dans
tout le plan et telle qu'on ait $\Abs{\fnfrac{f(z)}{\Pow{z}{n}}} < M$ à partir d'une certaine valeur de~$\Abs{z}$,
se réduit à un polynôme d'un degré~$\leqq n$. Plus tard (\textit{Ibid}.,\ t.~XI, 1851, p.~376--380),
il a tiré de la formule~\Eref{I}{I}{13} du texte l'expression générale d'une fonction uniforme
n'ayant qu'un nombre fini de points singuliers, et montré, en particulier, que
toute fonction n'ayant d'autres singularités que des pôles se réduit à une fraction
rationnelle.} % [** End of footnote]

%% -----File: 028.png---Folio 16-------

En reprenant les hypothèses et les notations adoptées au début
de ce numéro, appliquons maintenant la formule~\Eref{I}{I}{12} à la fonction
\[
\frac{f(z)}{z-x}\ \raisebox{0.3ex}{,}
\]
$x$ étant un point quelconque intérieur au contour~$C$ et distinct des
points $a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$. Le résidu de cette fonction au point~$x$ est
égal à~$f(x)$. Pour trouver le résidu relatif à~$a_\nu$, écrivons
\[
f(z) = G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right) + H_\nu(z - a_\nu),
\]
$G_\nu$ désignant la partie fractionnaire et~$H_\nu$ la partie entière du développement
de~$f(z)$ suivant les puissances de~$z-a_\nu$. Comme~$H_\nu$
est holomorphe au point~$a_\nu$, on voit d'abord que $\smfrac{f(z)}{z-x}$ aura en ce
point le même résidu que l'expression
\[
\Phi (z) \equiv \frac{1}{z-x} G_\nu \left(\frac{1}{z - a_\nu}\right).
\]
Or celle-ci n'a d'autres points singuliers que $z = x$ et~$z = a_\nu$,
et, comme $z\,\Phi(z)$ tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{z}$, son
résidu à l'infini est nul. En vertu de la proposition démontrée
\Pgref{page}{theorem:I.I.5}, le résidu cherché est donc égal au résidu de~$\Phi(z)$ au
point~$x$ pris avec le signe \textit{moins}, c'est-à-dire à
$-G_\nu \left(\smfrac{1}{x - a_\nu}\right)$,
et par suite la formule~\Eref{I}{I}{12} nous donnera
\[
f(x) = \sum^n_1 G_\nu \left( \frac{1}{x - a_\nu} \right)
     + \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-x}\, dz,
\EqnTag{I}{I}{13}
\]
autre formule fondamentale du Calcul des résidus dont Cauchy a
fait un usage continuel dans ses recherches.

\Paragraph{9.} Nous devons rappeler le principe fondamental du
%% -----File: 029.png---Folio 17-------
prolongement analytique, dont nous aurons constamment à faire usage
dans cet Ouvrage.

\Theorem{I.I.6}{Si les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$ sont holomorphes dans une
aire connexe~$T$, et si l'égalité $f_1(x)=f_2(x)$ est vérifiée sur un
segment de courbe arbitrairement petit~$\gamma$ intérieur à~$T$, elle
subsistera pour tout point de cette aire\footnotemark.}
\footnotetext{Dans une Note de Cauchy du 17~février 1845 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~IX, p.~39)
on trouve le principe en question énoncé en ces termes:

\Theorem{I.I.7}{Supposons que deux fonctions de~$x$ soient toujours égales entre elles pour
des valeurs de~$x$ très voisines d'une valeur donnée. Si l'on vient à faire
varier~$x$ par degrés insensibles, ces deux fonctions seront encore égales tant
qu'elles resteront l'une et l'autre fonctions continues de~$x$ \emph{(c'est-à-dire \emph{holomorphes},
d'après la terminologie actuelle)}.}

Cauchy avait été conduit à ce résultat, qu'il énonce d'ailleurs aussi pour les
fonctions de plusieurs variables, en généralisant une proposition établie par Cellérier,
dans une \textit{Note relative à la théorie des imaginaires}, qui semble n'avoir
jamais été publiée (Cf.~le Rapport de Cauchy, \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844,
p.~160--162).

Cependant Cauchy n'a pas tiré d'applications de son principe, et c'est à Riemann
et à Weierstrass que revient l'honneur d'avoir les premiers mis en évidence
l'importance et la fertilité de la notion de prolongement analytique.}
% [** End of footnote]

D'un point~$a$ du segment~$\gamma$ comme centre, décrivons un cercle~$C$
ayant pour rayon la plus courte distance de ce point au contour
de l'aire~$T$. À l'intérieur de ce cercle, les fonctions $f_1(x)$ et~$f_2(x)$
sont représentées par leurs développements de Taylor:
\[
f_1(x) = \sum \Pow{A}{(1)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}, \quad
f_2(x) = \sum \Pow{A}{(2)}_\nu \Pow{(x-a)}{\nu}.
\]
Je dis que ces développements sont identiques, c'est-à-dire que
l'on a $\Pow{A}{(1)}_\nu = \Pow{A}{(2)}_\nu$ pour chaque indice~$\nu$.

Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, et soit~$n$ le plus
petit entier pour lequel l'égalité précédente n'ait pas lieu. On
aurait, en posant pour abréger $\Pow{A}{(1)}_\nu - \Pow{A}{(2)}_\nu = A_\nu$,
\[
f_1(x) - f_2(x)
  = \Pow{(x-a)}{n} \bigl[A_n + A_{n+1}(x-a) + \dots\bigr] \quad (A_n \neq 0),
\]
et l'on pourrait donc trouver un nombre positif~$r$ assez petit pour
que cette différence ne s'annule pour aucun point du domaine
$0<\Abs{x-a}<r$. Or ceci est impossible, puisque le domaine dont
il s'agit renferme une partie du segment~$\gamma$.
%% -----File: 030.png---Folio 18-------

On a donc $f_1(x) = f_2(x)$ pour tout point du cercle~$C$. En prenant
maintenant un point quelconque~$b$ intérieur à~$C$, on démontre
par le même raisonnement que cette égalité subsiste dans le cercle
ayant~$b$ pour centre et tangent intérieurement au contour de~$T$ et,
en continuant ce procédé, on arrivera évidemment à l'établir pour
un point quelconque de l'aire~$T$.

\Paragraph{10.} En terminant ce Chapitre, nous démontrerons un théorème
général dû à Weierstrass\footnote{%
\textit{Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin}, 1880.}
et qui joue un rôle très important
dans la théorie des fonctions:

\Theorem{I.I.8}{Soit une suite indéfinie de fonctions analytiques,
$u_1(x),~u_2(x),~\dotsc$, holomorphes dans une aire connexe~$T$ et sur son
contour~$C$, et supposons que la série
\[
F(x) = u_1(x) + u_2(x) + \dotsb + u_{\nu}(x) + \dotsb
\EqnTag{I}{I}{14}
\]
converge uniformément sur~$C$\footnote{%
Cette condition implique que, ayant fixé un nombre positif arbitrairement
petit~$\eps$, on pourra trouver un entier~$n$ tel qu'on ait
\[
\Abs{\sum^{n+p}_n u_{\nu}(x)} < \eps
\]
pour tout point du contour~$C$, et quel que soit l'entier positif~$p$. Or on sait, par
une propriété bien connue des fonctions analytiques, que la plus grande valeur
que prend le premier membre de cette inégalité sur le contour~$C$ est supérieure
à sa valeur en un point quelconque intérieur à ce contour. Il en résulte que, si
la série~\Eref{I}{I}{14} est uniformément convergente sur le contour~$C$, elle l'est aussi dans
tout le domaine~$T$, contour compris.}% [** End of footnote]
; la somme~$F(x)$ de cette
série représentera une fonction analytique holomorphe dans
le domaine~$T$, et la dérivée d'un ordre quelconque de cette
fonction s'obtiendra en faisant la somme des dérivées du même
ordre de chaque terme de la série.}

La formule~\Eref{I}{I}{6} nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à~$C$ et
pour chaque indice~$\nu$,
\[
u_{\nu}(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{u_{\nu}(z)}{z-x}\, dz,
\]
et, comme l'intégrale d'une série uniformément convergente est
%% -----File: 031.png---Folio 19-------
égale à la somme des intégrales de chacun de ses termes, on en
déduit immédiatement que la série~\Eref{I}{I}{14} converge au point~$x$ et que
sa somme est donnée par l'égalité
\[
F(x) = \frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{F(z)}{z-x}\, dz,
\EqnTag{I}{I}{15}
\]
dont le second membre représente bien une fonction analytique de
la variable~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T$.

La seconde partie du théorème se démontre de même en partant
de la formule~\Eref{I}{I}{7} qui nous donne, pour tout point~$x$ intérieur à~$C$,
\[
\Pow{u}{(n)}_{\nu}(x)
  = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{u_{\nu}(z)\, dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}}.
\]
En effet, on en déduit l'égalité
\[
\sum^{\infty}_{\nu=1} \Pow{u}{(n)}_{\nu}(x)
  = \frac{n!}{2\pi i} \int_C \frac{F(z)\,dz}{\Pow{(z-x)}{n+1}},
\]
dont le second membre, d'après~\Eref{I}{I}{15}, est bien égal à~$\Pow{F}{(n)}(x)$.

On se convainc d'ailleurs aisément que la série figurant au premier
membre de cette dernière égalité est uniformément convergente
dans toute aire intérieure au domaine~$T$ et n'ayant aucun
point commun avec son contour.

\bigTbreak

%% -----File: 032.png---Folio 20-------


\cleardoublepage
% [*** Chapter II]
\Chapter{II}{APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS.}

\Section{II}{I}{Fonctions symétriques des racines d'une équation. \\
  Développement des fonctions implicites.}

\Paragraph{11.} Soit une fonction analytique,~$f(x)$, uniforme et n'ayant
d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$,
holomorphe et différente de zéro sur le contour~$C$ de ce domaine.

Le nombre des pôles intérieurs à~$T$ est nécessairement fini, car,
dans le cas contraire, ils admettraient au moins un point limite
faisant partie de~$T$, et qui serait pour~$f(x)$ un point singulier d'un
caractère autre que les pôles. Nous désignerons les pôles en question
par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_\nu$, et leurs ordres par $\beta_1,~\beta_2, \dotsc,~\beta_\nu$.

On voit de même que la fonction~$f(x)$, à moins qu'elle ne soit
identiquement nulle, ne saurait avoir dans~$T$ qu'un nombre fini de
zéros, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\mu$; soient $\alpha_1,~\alpha_2, \dotsc,~\alpha_\mu$ leurs ordres.

Considérons le quotient~$\smfrac{f'(x)}{f(x)}$. C'est évidemment une fonction
holomorphe en tout point de~$T$ distinct des points $a$ et~$b$. Dans le
voisinage du point~$a_k$, on aura\footnote{%
Nous désignons par~$\mathfrak{p}(t)$ une série entière qui converge dans un certain
voisinage de la valeur $t=0$, et qui d'ailleurs n'est pas la même dans les diverses
égalités ci-dessus.}
\[
f(x) = A\Pow{(x-a_k)}{\alpha_k}\, \bigl[1 + (x-a_k)\mathfrak{p}(x-a_k)\bigr],
\]
$A$~étant une constante non nulle; il en résulte
\[
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\alpha_k}{x-a_k} + \mathfrak{p}(x-a_k).
\]
%% -----File: 033.png---Folio 21-------
Un calcul analogue nous donne, dans le voisinage du point~$b_k$,
\[
\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{\beta_k}{x-b_k} + \mathfrak{p}(x-b_k).
\]

Cela posé, soit~$F(x)$ une fonction quelconque, holomorphe
dans~$T$ et sur~$C$. D'après les égalités ci-dessus, les résidus de l'expression
$F(x)\smfrac{f'(x)}{f(x)}$ relatifs aux points $a_k$ et~$b_k$ seront respectivement
égaux à $\alpha_k F(a_k)$ et à $-\beta_k F(b_k)$, et la formule~\Eref{I}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:I.I.12},
nous permet donc d'écrire ce résultat:
\[
  \sum_1^{\mu} \alpha_k F(a_k)
- \sum_1^{\nu} \beta_k  F(b_k)
= \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx.
\EqnTag{II}{I}{1}
\]

Si, en particulier, la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le
domaine~$T$ et n'y admet que des zéros simples, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, on
aura
\[
F(x_1) + F(x_2) + \dotsb + F(x_m)
= \frac{1}{2\pi i} \int_C F(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx.
\EqnTag{II}{I}{2}
\]
Cette formule restera d'ailleurs valable dans le cas où~$f(x)$ présente
des zéros multiples, si, comme nous le ferons dès à présent,
on convient d'écrire, dans la suite $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, chaque zéro
autant de fois que l'indique son ordre.\footnote{%
La formule~\Eref{II}{I}{2} a été donnée par Cauchy, pour le cas où le contour~$C$ est
un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées,
dans le \textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~580. \textit{Voir} aussi
\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~401--421. Mais les idées de Cauchy
sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire \textit{Sur la résolution des
équations par le moyen des intégrales définies}, qu'il avait présenté à l'Académie
le 22~novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.}

\Paragraph{12.} Pour $F(x) = 1$, la formule~\Eref{II}{I}{1} s'écrit
\[
\sum_1^\mu \alpha_k - \sum_1^{\nu} \beta_k
  = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx.
\]
Soient $R$ et~$\Phi$ le module et l'argument de la fonction~$f(x)$, de sorte
%% -----File: 034.png---Folio 22-------
que $f(x) = R\,\Pow{e}{i \Phi}$; on aura
\[
\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \frac{df(x)}{f(x)}
                        = \frac{dR}{R} + i\, d\Phi
                        = d\log R + i\, d\Phi,
\]
et, par suite,
\[
  \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx
= \frac{1}{2\pi i} \int_C d\log R + \frac{1}{2\pi} \int_C d\Phi.
\]
Or le premier terme de cette somme est nul, puisque la fonction~$\log R$
est uniforme sur~$C$, et le second terme est égal à $\smfrac{\Delta\Phi}{2\pi}$, en désignant
par $\Delta\Phi$ l'accroissement total que reçoit l'argument~$\Phi$ lorsque
le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct. Nous arrivons
donc au théorème suivant, qui joue un rôle important en Analyse,
et qu'on peut d'ailleurs établir d'une manière élémentaire:

\Theorem{II.I.1}{Si une fonction~$f(x)$ est uniforme et ne présente d'autres
singularités que des pôles dans un domaine donné~$T$, en étant
d'ailleurs holomorphe et différente de zéro sur son contour~$C$,
l'accroissement que reçoit l'argument de cette fonction lorsque
le point~$x$ décrit le contour~$C$ dans le sens direct est égal au
produit de~$2\pi$ par la différence entre le nombre de ses zéros et
le nombre de ses pôles compris dans~$T$, chaque zéro et pôle
étant compté autant de fois que l'indique son ordre.}

On en déduit cet autre théorème, qui rend également de grands
services dans diverses questions d'Analyse:

\Theorem{II.I.2}{Soient deux fonctions, $f(x)$ et~$\varphi(x)$, uniformes et holomorphes
dans un domaine~$T$ et sur son contour~$C$, et admettons
d'ailleurs que~$f(x)$ ne s'annule pas sur~$C$; si l'inégalité
\[
\Abs{\frac{\varphi(x)}{f(x)}} < 1
\]
est vérifiée pour tout point du contour~$C$, les fonctions $f(x)$~et
$f(x) + \varphi(x)$ ont le même nombre de zéros dans le domaine~$T$.}

Écrivons, en effet,
\[
f(x) + \varphi(x) = f(x)\psi(x),
\]
%% -----File: 035.png---Folio 23-------
d'où
\[
\psi(x) = 1 + \frac{\varphi(x)}{f(x)}.
\]
Lorsque le point~$x$ parcourt le contour~$C$, le point dont l'affixe est
égal à~$\psi(x)$ décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité
ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant
pour centre le point $x = 1$. Quand le point~$x$ sera revenu au point
de départ, l'argument de~$\psi(x)$ reprendra donc sa valeur initiale et,
par conséquent, l'accroissement total de l'argument de $f(x) + \varphi(x)$
sera le même que pour la fonction~$f(x)$, d'où résulte la proposition
énoncée.

\Paragraph{13.} Démontrons maintenant ce théorème:

\Theorem{II.I.3}{Les zéros d'une fonction analytique de la variable~$x$, $f(x,t)$,
qui dépend d'un para\-mètre~$t$, et qui est continue par rapport
aux deux variables $x$ et~$t$, sont eux-mêmes des fonctions continues
du paramètre~$t$.}

Soient $t_0$ une valeur particulière du paramètre~$t$, $x_0$~un zéro de
$f(x, t_0)$ et $m$~l'ordre de ce zéro [on suppose $f(x, t_0)$ holomorphe
dans le voisinage du point~$x_0$]. Il s'agit de démontrer que, pour
les valeurs~$t$ peu différentes de~$t_0$, la fonction $f(x, t)$ admet précisément
$m$~zéros tendant vers~$x_0$ lorsque~$t$ tend vers~$t_0$.

Du point~$x_0$ comme centre, décrivons un cercle d'un rayon~$\eps$
assez petit pour que la fonction $f(x, t_0)$ soit holomorphe et différente
de zéro pour $0 < \Abs{x-x_0} \leqq \eps$. Sur la circonférence de ce
cercle, le module $\Abs{f(x, t_0)}$ aura un minimum positif que nous
désignerons par~$\eta$. Choisissons encore un nombre positif~$\delta$ tel que,
pour $\Abs{x-x_0} = \eps$, $\Abs{t-t_0} < \delta$, on ait
\[
\Abs{f(x,t) - f(x,t_0)} < \eta
\]
et, par suite,
\[
\Abs{\frac{f(x,t) -f(x,t_0)}{f(x, t_0)}} < 1,
\]
ce qui est possible en vertu de la continuité de $f(x,t)$.

Cela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du \no\Sref{12}
que, pour $\Abs{t - t_0} < \delta$, la fonction $f(x, t)$ admet, dans le cercle
$\Abs{x - x_0} < \eps$, autant de zéros que la fonction $f(x, t_0)$, c'est-à-dire
%% -----File: 036.png---Folio 24-------
précisément $m$~zéros, et comme ce résultat subsiste quelque petit
que soit~$\eps$, à condition qu'on prenne en même temps le nombre~$\delta$
suffisamment petit, on voit bien que ces $m$~zéros tendent vers~$x_0$
lorsque~$t$ tend vers~$t_0$, comme nous l'avions avancé.

\Paragraph{14.} On peut préciser notablement ce résultat dans le cas où la
fonction $f(x,t)$ est analytique par rapport aux deux variables $x$~et
$t$. En simplifiant un peu les notations précédentes, admettons
que cette fonction est holomorphe tant que les variables restent
comprises dans les cercles
$\Abs{x} < r$, $\Abs{t} < \rho$\footnotemark, et que l'origine est
un zéro d'ordre $m$ pour $f(x,0)$.
\footnotetext{%
Cela signifie, d'après Cauchy, que la fonction $f(x,t)$ reste continue et
admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée \emph{unique} également continue,
pour toutes les valeurs $x$, $t$ comprises dans les cercles indiqués. Pour une
valeur donnée~$t$ de module inférieur à~$\rho$, $f(x, t)$ est donc une fonction analytique
de~$x$, holomorphe pour $\Abs{x} <r$, et \emph{vice versa}. Si $G$~et~$\Gamma$ sont des contours fermés
pris dans l'intérieur des cercles $\Abs{x} =r$, $\Abs{t} =\rho$, on trouve, en appliquant deux
fois de suite la formule~\Eref{I}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:I.I.6},
\[
f(x,t) = \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma}
             \frac{f(\xi,\tau)\, d\xi\, d\tau}{(\xi- x)(\tau- t)},
\]
$x$ et~$t$ étant respectivement intérieurs aux contours $G$ et~$\Gamma$. De cette égalité on
conclut que, dans son domaine d'holomorphie, la fonction $f(x,t)$ possède des
dérivées de tous les ordres et peut se développer en série de Taylor.}
% [** End of footnoote]

En raisonnant comme ci-dessus, on voit d'abord qu'on peut
trouver deux nombres positifs, $r'(< r)$ et $\rho'(<\rho)$, tels qu'on ait
\[
\Abs{f(x,0)} \geqq \eta\quad (>0) \quad \text{pour}
\quad \Abs{x} =r'
\]
et, d'autre part,
\[
\Abs{\frac{f(x,t) - f(x,0)}{f(x,0)}} < 1 \quad\text{pour}\quad
\Abs{x} = r',\quad \Abs{t} \leqq \rho'.
\EqnTag{II}{I}{3}
\]

On en conclut que, pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, la fonction $f(x,t)$ est différente
de zéro sur le cercle $\Abs{x} = r'$ et admet à l'intérieur de ce
cercle $m$~zéros, $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$, qui sont des fonctions continues
de~$t$ et s'annulent en même temps que~$t$.

Soit maintenant $F(x, t)$ une fonction analytique quelconque des
variables $x$, $t$, qui reste holomorphe pour $\Abs{x} \leqq r'$, $\Abs{t} \leqq \rho'$. Nous
%% -----File: 037.png---Folio 25-------
allons démontrer que \textit{la somme}
\[
F(t) \equiv F(x_1, t) + F(x_2, t) + \dotsb + F(x_m, t)
\]
\textit{est une fonction holomorphe de~$t$ dans le cercle} $\Abs{t} <\rho'$.

Pour une valeur donnée~$t$ de module $\leqq \rho'$, $f(x,t)$ et $F(x,t)$
représentent des fonctions analytiques de~$x$ qui sont holomorphes
pour $\Abs{x} \leqq r'$ et, de plus, $f(x,t)$ ne s'annule pas sur le cercle
$\Abs{x} = r'$. D'après la formule~\Eref{II}{I}{2}, on aura donc l'égalité
\[
F(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_G
           \Phi(x,t)\, dx \quad\text{pour}\quad \Abs{t} \leqq \rho',
\EqnTag{II}{I}{4}
\]
où $G$ désigne la circonférence $\Abs{x} = r'$ et $\Phi(x,t)$ l'expression
\[
\Phi(x,t) = F(x,t) \frac{f'_x(x,t)}{f(x,t)}.
\]

D'autre part, si~$x$ est l'affixe d'un point quelconque de~$G$, cette
dernière expression définit une fonction analytique de~$t$ qui est
holomorphe pour $\Abs{t} \leqq \rho'$, puisque, dans ces conditions, le dénominateur
$f(x,t)$ est différent de zéro. Par la formule~\Eref{I}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:I.I.8}, on
aura donc, pour $\Abs{t} < \rho'$, $\Gamma$~désignant la circonférence $\Abs{\tau} = \rho'$,
\[
\Phi(x,t) = \sum^{n-1}_0 \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0) \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}
    + \frac{1}{2\pi i} \int_{\Gamma}
      \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\, d\tau.
\EqnTag{II}{I}{5}
\]

Comme les zéros $x_1,~x_2, \dotsc,~x_m$ de $f(x,t)$ se confondent avec
l'origine pour $t = 0$, les dérivées $\Pow{D}{(\nu)}_t\Phi(x,0)$ sont des fonctions
holomorphes de~$x$ pour $0 < \Abs{x} \leqq r'$.

En substituant l'expression~\Eref{II}{I}{5} dans l'égalité~\Eref{II}{I}{4}, on trouve\footnote{%
On remarquera que la fonction $\Phi(x,t)$ est, en vertu de nos hypothèses,
continue pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{t} = \rho'$, de sorte que les intégrations à effectuer dans
le dernier terme de la formule~\Eref{II}{I}{6} n'impliquent aucune difficulté.}
\[
F(t) = \sum^{n-1}_0 A_\nu \Pow{t}{\nu}
     + \frac{1}{\Pow{(2\pi i)}{2}} \int_G \int_{\Gamma}
       \Pow{\left(\frac{t}{\tau}\right)}{n} \frac{\Phi(x,\tau)}{\tau-t}\,dx\, d\tau,
\EqnTag{II}{I}{6}
\]
où $A_{\nu}$ désigne \textit{le résidu de $\smfrac{1}{\nu!}\Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)$ relatif à l'origine}:
\[
A_{\nu} = \frac{1}{2\pi i}\int_G \frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu)}_t \Phi(x,0)\, dx.
\]
%% -----File: 038.png---Folio 26-------
Or le dernier terme de~\Eref{II}{I}{6} a son module inférieur à la quantité
\[
\frac{r'\rho'M}{\rho'- \Abs{t}}\, \Pow{\Abs{\frac{t}{\rho'}}}{n},
\EqnTag{II}{I}{7}
\]
$M$ étant le maximum de $\Abs{\Phi(x,\tau)}$ pour $\Abs{x} = r'$, $\Abs{\tau} = \rho'$, et comme
cette quantité s'annule pour $n = \infty$, puisqu'on suppose $\Abs{t} < \rho'$,
on voit que \textit{l'expression $F(t)$ est représentée dans tout le
cercle $\Abs{t} <\rho'$ par le développement}
\[
F(t) = \sum^{\infty}_0 A_{\nu}\Pow{t}{\nu}.
\EqnTag{II}{I}{8}
\]
Nous avons donc démontré la proposition que nous avions en vue
et trouvé en même temps une limite supérieure~\Eref{II}{I}{7} de l'erreur
qu'on commet en arrêtant le développement~\Eref{II}{I}{8} après un terme
déterminé.

En faisant $F(x, t)\equiv \Pow{x}{k}$, $k$~étant un entier positif, on conclut de
la proposition ci-dessus que les sommes
\[
S_k \equiv \Pow{x}{k}_1 + \Pow{x}{k}_2 + \dotsb + \Pow{x}{k}_m
\]
sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes pour $\Abs{t} <\rho'$ et
s'annulant pour $t = 0$. Il en sera donc de même des coefficients
des diverses puissances de~$x$ dans le développement du produit
\[
(x-x_1) (x-x_2)\dotsm (x-x_m),
\]
puisque ces coefficients sont des polynômes en $S_1,~S_2, \dotsc,~S_m$, et
nous arrivons ainsi à ce théorème fondamental:

\Theorem{II.I.4}{Étant donnée une fonction analytique, $f(x,t)$, des deux
variables $x$, $t$, qui est holomorphe tant que les modules de ces
variables restent au-dessous de certaines limites; si l'origine
est un zéro d'ordre~$m$ pour $f(x, 0)$, l'équation
\[
f(x, t) = 0
\]
admet précisément $m$~racines qui tendent vers zéro avec~$t$. Ces
racines vérifient une équation de degré~$m$,
\[
\Pow{x}{m} + f_1(t)\Pow{x}{m-1} + f_2(t)\Pow{x}{m-2} + \dotsb + f_m(t) = 0,
\]
%% -----File: 039.png---Folio 27-------
dont les coefficients sont des fonctions analytiques de~$t$, holomorphes
dans le voisinage de l'origine et nulles pour $t=0$\footnotemark.}
% [** End of Theorem]
\footnotetext{Les principaux résultats des \nos\Sref{12}--\Sref{15} ont été établis par Cauchy dans les
Mémoires de l'année~1831 (Cf.~\textit{Bulletin de Férussac}, 1831, et \textit{Exercices d'Analyse},
t.~II).

Vers 1860, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et
avec des développements ultérieurs, a été retrouvé par Weierstrass qui, cependant,
n'a publié ses résultats qu'en~1886, dans les \textit{Abhandlungen aus der Functionenlehre}.
D'autre part, M.~Poincaré est, de son côté, arrivé au même théorème
dans sa thèse: \textit{Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux
différences partielles}, 1879. \textit{Voir} aussi É.~\bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II, p.~243.

Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions
implicites, dans le but d'en simplifier les principes. \textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres},
série~I, t.~IV, 1837, p.~48--60, et t.~V, 1840, p.~180--198. Dans la seconde de ces Notes
se trouve (p.~193--198) une démonstration qui présente certaines analogies avec
celle de Weierstrass.} % [** End of footnote]

\Paragraph{15.} Appliquons les résultats précédents au cas où l'on a
\[
f(x,t) = x - t\varpi(x), \quad F(x,t) = F(x),
\]
les fonctions $\varpi(x)$ et~$F(x)$ étant holomorphes pour $\Abs{x}<r$. La
condition~\Eref{II}{I}{3} s'écrit
\[
\Abs{\frac{t\varpi(x)}{x}} < 1\quad \text{pour}\quad
  \Abs{x} = r'(<r), \qquad \Abs{t} \leqq \rho'.
\]
Les nombres $r'$ et~$\rho'$ satisfaisant à ces conditions, comme l'on a
actuellement $m = 1$, on peut conclure des résultats du \no\Sref{14} que,
pour $\Abs{t}\leqq\rho'$, l'équation
\[
x - t\varpi(x) = 0
\]
admet à l'intérieur du cercle $\Abs{x}=r'$ une seule racine,~$\overline{x}$, qui est
fonction holomorphe de~$t$, pour $\Abs{t} < \rho'$, et s'annule pour $t = 0$.

D'autre part, en développant l'expression
\[
\Phi(x,t) \equiv F(x) \frac{1 - t\varpi'(x)}{x - t\varpi(x)}
\]
suivant les puissances de~$t$, on trouve que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ s'écrit
\[
F(x) \left\{ \frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}}{\Pow{x}{\nu+1}}
            -\frac{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu-1}\varpi'(x)}{\Pow{x}{\nu}}\right\}
    \equiv -\frac{1}{\nu} F(x) D_x
           \left\{ \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\},
\]
ou encore
\[
-\frac{1}{\nu} D_x
    \left\{ F(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu} \right\}
  + \frac{1}{\nu} F'(x) \Pow{\left[ \frac{\varpi(x)}{x} \right]}{\nu}.
\]
%% -----File: 040.png---Folio 28-------
Nous savons que le coefficient de~$\Pow{t}{\nu}$ dans le développement de la
fonction~$F(\overline{x})$ est égal au résidu de cette expression à l'origine.
Or, le résidu du premier terme est nul, puisque ce terme est la
dérivée d'une fonction uniforme (\textit{voir} \Pgref{p.}{page13}); et, d'après
l'égalité~\Eref{I}{I}{7} \Pgref{page}{eqn:I.I.7}, le résidu du second terme est égal à la dérivée
\[
\frac{1}{\nu!} \Pow{D}{(\nu-1)}_x
  \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu} \Bigr\},
\]
prise pour $x=0$. En somme on aura donc, pour $\Abs{t}<\rho'$,
\[
F(\overline{x})
  = F(0) + \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x
      \Bigl\{F'(x) \Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\,
      \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!},
\]
et en particulier, pour $F(x)=x$,
\[
\overline{x}
  = \sum^{\infty}_1 \Pow{D}{(\nu-1)}_x
      \Bigl\{\Pow{[\varpi(x)]}{\nu}\Bigr\}_{x=0}\,
      \frac{\Pow{t}{\nu}}{\nu!}.
\]
Ce sont les célèbres développements établis par Lagrange.

\Paragraph{16.} En terminant cette section, nous allons déduire de la formule~\Eref{II}{I}{1}
un résultat intéressant, en y faisant $F(x) = \log x$.

Prenons un cercle~$C$ ayant l'origine comme centre et de rayon~$r$,
et désignons par $a_1,~a_2, \dotsc,~a_m$ les zéros et par $b_1,~b_2, \dotsc,~b_n$
les pôles de la fonction~$f(x)$ compris dans ce cercle, chaque zéro
ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que l'indique son
ordre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs $f(0)= 1$.

L'origine étant un point critique pour~$\log x$, nous l'exclurons de
notre domaine par un petit cercle,~$c$, laissant à l'extérieur les points
$a$ et~$b$; puis, en évitant toujours ces mêmes points, nous mènerons
une coupure,~$L$, allant d'un point de~$c$ au point $x = r$ de~$C$. Nous
obtenons ainsi un domaine simplement connexe,~$T$, dont le contour,~$S$,
se compose des cercles $C$ et~$c$ et des deux bords de la
coupure~$L$, et où la fonction~$\log x$ est uniforme et holomorphe.
Pour tout fixer, convenons d'ailleurs de choisir, parmi les différentes
branches de~$\log x$, celle qui prend la valeur réelle~$\log r$ au
point $x = r$ du bord \textit{supérieur} de la coupure.

Cela posé, en faisant $F(x) = \log x$ et en prenant~$S$ pour contour
%% -----File: 041.png---Folio 29-------
d'intégration, la formule~\Eref{II}{I}{1} nous donne
\[
\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}
  = \frac{1}{2\pi i} \int_S \log x\frac{f'(x)}{f(x)}\, dx.
\EqnTag{II}{I}{9}
\]
Intégrons par parties, en partant du point $x = r$ (du bord supérieur
de la coupure~$L$); on aura
\[
\int^x_r \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx
  = \log x\log f(x) - \log r\log f(r) - \int^x_r \frac{\log f(x)}{x}\, dx.
\]
Lorsque le point~$x$, décrivant le contour~$S$ dans le sens direct,
revient au point $x = r$, $\log x$~reprend sa valeur initiale~$\log r$.
Quant à la fonction $\log f(x)$, laquelle peut se mettre sous la
forme $\log R + i\Phi$, $R$ et~$\Phi$ étant respectivement le module et l'argument
de~$f(x)$, il résulte du théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.3} qu'elle prendra
dans les mêmes circonstances la valeur $\log f(r) + 2\pi i(m-n)$,
et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par~$2\pi i$,
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_S \log x \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx
  = (m-n) \log r - \frac{1}{2\pi i} \int_S \frac{\log f(x)}{x}\, dx.
\]

Si l'on convient de choisir pour $\log f(x)$ la détermination qui
s'annule à l'origine, la fonction $\smfrac{\log f(x)}{x}$ sera holomorphe dans le
cercle~$c$ et prendra la même valeur en des points correspondants
situés respectivement sur les deux bords de la coupure~$L$. Il en
résulte
\[
  \int_S\frac{\log f(x)}{x}\, dx
= \int_C\frac{\log f(x)}{x}\, dx
\equiv i\int^{2\pi}_0 \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi,
\]
car l'intégrale prise sur~$c$ est nulle et les intégrales relatives aux
deux bords de $L$ se détruisent; l'égalité~\Eref{II}{I}{9} devient donc
\[
\log\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}
  = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log f(r\,\Pow{e}{i\varphi})\, d\varphi,
\]
ou encore, en égalant les parties réelles des deux côtés,
\[
\log\Abs{\frac{a_1 a_2 \dotsm a_m}{b_1 b_2 \dotsm b_n}}
  = (m-n)\log r - \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}
        \log \Abs{f(r\,\Pow{e}{i\varphi})} d\varphi.
% [** PP: No \, before previous d\varphi]
\]
Ce résultat constitue l'important théorème découvert par
%% -----File: 042.png---Folio 30-------
M.~Jensen\footnote{\textit{Acta mathematica}, t.~XXII\@. C'est M.~Goursat qui a le premier rattaché ce
théorème au calcul des résidus (\textit{Bulletin des Sciences mathématiques}, octobre
1902). \textit{Voir} aussi une Note récente de M.~Mittag-Leffler (\textit{Bulletin de la Société
mathématique de France}, t.~XXXII).} % [** End of footnote]
et qui joue, en particulier, un rôle fondamental dans la
théorie des fonctions entières.


\Section{II}{II}{Quelques applications aux fonctions méromorphes.}

\Paragraph{17.} Soit une fonction \textit{méromorphe},~$f(z)$, c'est-à-dire une fonction
analytique uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance
finie d'autres singularités que des pôles, et construisons de l'origine
comme centre une suite illimitée de cercles
\[
c_1,\quad c_2, \quad \dotsc,\quad c_{\nu}, \quad \dotsc,
\]
qui ne passent par aucun pôle de~$f(z)$, et dont les rayons
\[
r_1,\quad r_2, \quad \dotsc,\quad r_{\nu}, \quad \dotsc,
\]
aillent en croissant indéfiniment. On aura pour chaque indice~$\nu$, en
posant pour abréger $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$,
\[
\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_{c_\nu} f(z)\, dz
  = \frac{1}{2\pi}   \int^{2\pi}_{0} z_\nu f(z_\nu)\, d\psi.
\EqnTag{II}{II}{1}
\]

Il peut arriver que cette expression tende vers une limite finie
et déterminée lorsque~$\nu$ croît indéfiniment. S'il en est ainsi, cette
limite sera appelée \textit{le résidu intégral de la fonction}~$f(z)$ (relatif
à la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$)\footnotemark et désignée par $\residuesum\bigl(f(z)\bigr)$. On aura donc,
par définition,
\[
\residuesum\bigl(f(z)\bigr) = \residuesum_{c_1}
  + \left(\residuesum_{c_2} - \residuesum_{c_1}\right)
  + \left(\residuesum_{c_3} - \residuesum_{c_2}\right) + \dotsb
\EqnTag{II}{II}{2}
\]
\footnotetext{\textit{Cf.~{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~291--323. Dans cet article,
qui est d'une remarquable précision, Cauchy donne d'ailleurs une définition plus
générale du \textit{résidu intégral}, en considérant (p.~294), au lieu des cercles~$c_\nu$, un
contour fermé quelconque dont la forme varie sans cesse et de manière que ses
différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. Il utilise ainsi, dans toute
sa généralité, la représentation géométrique des nombres complexes, ce qu'il n'est
pas sans intérêt de noter, vu la date de cette publication.}%
% [** End of footnote]

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Cela posé, on tire facilement de l'égalité~\Eref{II}{II}{1} cette proposition:

\Theorem{II.II.1}{Si la condition
\[
\lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) = A
\EqnTag{II}{II}{3}
\]
est vérifiée uniformément pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, le résidu intégral de
la fonction~$f(z)$ est égal à~$A$.}

En effet, l'égalité~\Eref{II}{II}{1} nous donne
\[
\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z)\bigr) - A
  = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \bigl[z_\nu f(z_\nu) - A\bigr]\, d\psi,
\EqnTag{II}{II}{4}
\]
et, en vertu de l'hypothèse admise, on aura d'autre part, quelque
petit que soit~$\eps$, $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$, dès que~$\nu$ dépassera une certaine
limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi
\[
\Abs{\,\residuesum_{c_\nu} \bigl(f(z_\nu)\bigr) - A} < \eps,
\]
d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste
dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes:
\smallskip

\primo~\textit{$\Abs{z_\nu f(z_\nu)} < M$ pour tout indice~$\nu$, $M$~étant une constante.}

\secundo~\textit{La condition~\Eref{II}{II}{3} est vérifiée uniformément dans toute
portion de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ qui ne comprend pas certaines
valeurs particulières $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$.}
\smallskip

En effet, si $\eps$ et~$\eta$ désignent deux nombres positifs arbitrairement
petits, et si, de l'intervalle $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$, on exclut les segments
\[
\psi_k - \eta < \psi < \psi_k + \eta \qquad (k = 1, 2, \dotsc, n),
\]
dont la longueur totale est au plus égale à~$2n\eta$, on a dans le reste
de cet intervalle $\Abs{z_\nu f(z_\nu) - A} < \eps$ dès que~$\nu$ dépasse une certaine
valeur~$\nu_0$. Le second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{4} est donc inférieur en
valeur absolue à la quantité
\[
\eps + 2n\eta\, \frac{M + \Abs{A}}{2\pi}
\]
dès que $\nu > \nu_0$, et tend, par suite, vers zéro lorsque~$\nu$ croît indéfiniment.

%% -----File: 044.png---Folio 32-------

Par un raisonnement analogue, on démontre cette autre proposition
dont nous aurons également à faire usage:

\Theorem{II.II.2}{Si le module du produit $z_\nu f(z_\nu)$ reste inférieur à une quantité
fixe quel que soit~$\nu$, et si les conditions
\[
% Must use \mathrm (not \text) below b/c we're currently in italics
\begin{aligned}
  \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= A\qquad \mathrm{pour} \\
  \lim_{\nu=\infty} z_\nu f(z_\nu) &= B\qquad \mathrm{pour}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
  \psi_0 +       \eps &< \psi < \psi_0 +  \pi - \eps, \\[1ex]
  \psi_0 + \pi + \eps &< \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps
\end{aligned}
\]
sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués,
quelque petit que soit~$\eps$, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$
est égal à $\smfrac{1}{2}(A+B)$.} % [** End of Theorem]

\Paragraph{18.} Comme première application, cherchons à évaluer les
\textit{nombres de Bernoulli}, c'est-à-dire les nombres $B_1,~B_2,~\dotsc$ qui
figurent dans le développement
\[
\frac{1}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2}
  + \sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu-1}.
\EqnTag{II}{II}{5}
\]

Le coefficient $\Pow{(-1)}{k-1}\smfrac{B_k}{(2k)!}$ représente le résidu de la fonction
\[
f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{2k}}\, \frac{1}{\Pow{e}{z}-1}
\]
à l'origine. Les autres pôles de cette fonction méromorphe sont
$\pm 2\pi i\nu$ ($\nu=1,~2,~\dotsc$) et les résidus correspondants $\Pow{(-1)}{k}\Pow{(2\pi\nu)}{-2k}$.
Or, on constate facilement, en prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, que le
module de l'expression~\Eref{II}{II}{5} reste inférieur à une quantité finie sur
les cercles~$c_{\nu}$\footnotemark,\Pagelabel{page32} et il en résulte que le produit $z_\nu f(z_\nu)$ tend
%% -----File: 045.png---Folio 33-------
uniformément vers zéro pour $0 \leqq \psi \leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment.
D'après le \no\Sref{17}, le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ se réduit
donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal
et de signe contraire à la somme des résidus de~$f(z)$ relatifs aux
pôles $\pm 2\pi i\nu$, d'où l'on déduit
\[
B_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}} \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{2k}}.
\EqnTag{II}{II}{6}
\]
\footnotetext{De chacun des pôles de la fonction $\varphi(z)\equiv\fnfrac{1}{\Pow{e}{z}-1}$ comme centre, décrivons
un cercle de rayon arbitrairement petit mais fixe, et désignons par~$T$ la région
extérieure à ces cercles. Je dis que $\Abs{\varphi(z)}$ est inférieur à un nombre fini~$M$
pour tout point de~$T$. Soit, en effet, $a$~un nombre positif et posons $z=\tau +it$; on
aura évidemment $\Abs{\varphi(z)} < \fnfrac{1}{\Pow{e}{a}-1}$ pour $\tau>a$, et $\Abs{\varphi(z)}<\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau<-a$,
et d'autre part on trouve, en tenant compte de la périodicité de~$\varphi(z)$, que
$\Abs{\varphi(z)}$ aura un maximum fini dans la portion de~$T$ comprise dans la
bande $-a\leqq\tau\leqq a$. On prendra pour $M$ la plus grande de ces trois limites.

Le nombre~$x$ étant assujetti à la condition $0 \leqq x \leqq 1$, on démontre de même
que le module de la fonction $\fnfrac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}$ reste au-dessous d'une limite finie~$M'$ dans le
domaine~$T$. Ce module est, en effet, inférieur à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau< -a$, inférieur
à~$\Pow{e}{a}\,M$ dans la portion de~$T$ faisant partie de la bande $-a\leqq\tau\leqq a$, et, enfin, inférieur
à $\fnfrac{1}{1-\Pow{e}{-a}}$ pour $\tau > a$, ce qui résulte de l'identité
\[
\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1} = \frac{\Pow{e}{-z(1-x)}}{1-\Pow{e}{-z}}.
\]
On pourra donc prendre $M'= \Pow{e}{a} M$.

Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions
\[
\fsec z,\quad \cosec z,\quad \tang z,\quad \cot z,\quad
\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}+1}\quad (0 \leqq x \leqq 1),\dotsc,
\]
dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits
cercles.}% [** End of footnote]

Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les
\textit{nombres d'Euler}, qui figurent dans l'égalité
\[
\fsec z = \sum^{\infty}_0
  \frac{E_\nu}{(2\nu)!}\, \Pow{z}{2\nu}\qquad (E_0 = 1),
\EqnTag{II}{II}{7}
\]
l'expression
\[
E_k = 2(2k)!\, \Pow{\left(\frac{2}{\pi}\right)}{2k+1}
        \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\Pow{(2\nu+1)}{2k+1}}
        \quad (k = 0, 1, \dotsc).
\EqnTag{II}{II}{8}
\]

Cherchons maintenant les coefficients $\varphi_\nu(x)$ du développement
\[
\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}
  = \frac{1}{z} + \sum^{\infty}_1 \frac{\varphi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu-1}.
\EqnTag{II}{II}{9}
\]
En multipliant~\Eref{II}{II}{5} par la série qui définit~$\Pow{e}{xz}$, on obtient
\[
\varphi_\nu(x)
  = \Pow{x}{\nu} - \frac{\nu}{2} \Pow{x}{\nu-1}
          + \Pow{C_\nu}{(2)} B_1 \Pow{x}{\nu-2}
          - \Pow{C_\nu}{(4)} B_2 \Pow{x}{\nu-4}
          + \Pow{C_\nu}{(6)} B_3 \Pow{x}{\nu-6} - \dotsb,
\]
%% -----File: 046.png---Folio 34-------
les lettres~$C$ désignant les coefficients binomiaux. Mais nous allons
obtenir une autre expression de ces polynômes, en observant
que~$\smfrac{\varphi_n(x)}{n!}$ représente le résidu relatif à l'origine de la fonction
\[
f(z) \equiv \frac{1}{\Pow{z}{n}}\, \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}.
\EqnTag{II}{II}{10}
\]

Soit d'abord $n > 1$, et supposons la variable~$x$ réelle et comprise
dans l'intervalle $0 \leqq x \leqq 1$. D'après la remarque faite ci-dessus, le
produit $z_\nu f(z_\nu)$ tendra uniformément vers zéro pour $0\leqq\psi\leqq 2\pi$
lorsque $\nu$~croît indéfiniment, en prenant toujours $r_\nu = (2\nu -1)\pi$.
\Pagelabel{page34}%
Le résidu intégral de la fonction~$f(z)$ est donc égal à zéro, et l'on
en déduit après quelques réductions faciles, pour $k = 1,~2,~\dotsc$,
\[
\left\{
\begin{aligned}
\varphi_{2k}(x)
&= \phantom{1+{}} % [** PP: Add'l hspace to pad line]
   \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k)!\,   \sum^{\infty}_{\nu=1}
       \dfrac{\cos2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k}}
   \equiv \overline{\varphi}_{2k}(x), \\
%
\varphi_{2k+1}(x)
&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\, \sum^{\infty}_{\nu=1}
       \dfrac{\sin2\nu\pi x}{\Pow{(2\nu\pi)}{2k+1}}
   \equiv \overline{\varphi}_{2k+1}(x),
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{II}{II}{11}
\]
formules valables tant que $0\leqq x\leqq 1$. En vue d'applications ultérieures,
nous conviendrons de désigner par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ les
fonctions périodiques de période~$1$ qui figurent aux seconds
membres de ces formules.

Lorsque $n=1$, le résidu intégral de la fonction~\Eref{II}{II}{10} est encore
égal à zéro, pourvu que~$x$ reste dans l'intervalle $0<x<1$, \textit{les
limites étant exclues}. C'est ce qu'on déduit des résultats de la
\Pgref{page}{theorem:II.II.1}, en remarquant, d'une part, que le module du produit
\[
zf(z)\equiv\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}
\EqnTag{II}{II}{12}
\]
reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, d'après la note
de la \Pgref{page}{page32}, et, d'autre part, que ce produit tend uniformément
vers zéro lorsque $z$~s'éloigne indéfiniment de l'origine en restant
intérieur à l'un des angles
\[
-\frac{\pi}{2} + \eps < \psi <  \frac{\pi}{2}-\eps,\quad
 \frac{\pi}{2} + \eps < \psi < \frac{3\pi}{2}-\eps,
\]
$\eps$ étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra.

%% -----File: 047.png---Folio 35-------

On aura donc, pour $0<x<1$,
\[
\varphi_1(x) \equiv x - \frac{1}{2}
             = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu \pi}.
\EqnTag{II}{II}{13}
\]
Nous désignerons par~$\overline{\varphi}_1(x)$ la fonction périodique
\[
\overline\varphi_1(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\sin2\nu\pi x}{\nu \pi},
\EqnTag{II}{II}{14}
\]
fonction qui se confond avec $x - \nu - \smfrac{1}{2}$ pour $\nu< x <\nu+1$.

$m$~étant un entier positif quelconque, on aura, pour $0< x < 1$,
\[
\sum^{\infty}_m \frac{\sin 2\nu\pi x}{\nu\pi}
  = -\frac{1}{2\pi i} \int_{c_m} \frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}-1}\, \frac{dz}{z},
\EqnTag{II}{II}{15}
\]
et comme, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, le module de
l'expression~\Eref{II}{II}{12} reste inférieur à la quantité finie~$M'$ sur les cercles~$c_{\nu}$,
et comme, d'ailleurs, la somme~\Eref{II}{II}{15} admet la période~$1$ et s'annule
pour les valeurs entières de~$x$, on peut en conclure que \textit{la
somme~\Eref{II}{II}{15} reste inférieure en valeur absolue à la quantité~$M'$
pour toutes les valeurs réelles de~$x$, quel que soit l'entier
positif~$m$}. D'autre part, on peut déduire de l'égalité~\Eref{II}{II}{15} ce fait
bien connu que \textit{la série~\Eref{II}{II}{14} converge uniformément dans
l'intervalle $\eps\leqq x\leqq 1-\eps$, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$}.
\Pagelabel{page35}%

On appelle \textit{polynomes de Bernoulli} les polynomes~$P$ définis
par les égalités
\begin{align*}
P_{2k}(x)   &= \varphi_{2k}(x) + \Pow{(-1)}{k}B_k, \\
P_{2k+1}(x) &= \varphi_{2k+1}(x).
\end{align*}

Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous conviendrons
de désigner par $\overline{P}_{2k}(x)$, $\overline{P}_{2k+1}(x)$ les fonctions périodiques
de période~$1$ qui coïncident respectivement avec ces polynomes
dans l'intervalle $0\leqq x\leqq 1$.

Ayant à nous occuper souvent des polynomes $\varphi$ et~$P$ dans la
suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés
importantes qui se déduisent immédiatement de nos formules.

%% -----File: 048.png---Folio 36-------

En rapprochant l'égalité~\Eref{II}{II}{9} de celle qu'on obtient en la différentiant
par rapport à~$x$, on trouve les relations
\[
\varphi'_{\nu+1}(x) = (\nu+1) \varphi_\nu(x)\quad (\nu=1, 2, \dotsc),
\EqnTag{II}{II}{16}
\]
qu'on pourrait aussi déduire des formules~\Eref{II}{II}{11}. De celles-ci on
conclut immédiatement
\[
\varphi_{2k}(1-x)   =  \varphi_{2k}(x),\qquad
\varphi_{2k+1}(1-x) = -\varphi_{2k+1}(x),
\]
puis
\[
\varphi_{2k+1}(0) = \varphi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right)
                  = \varphi_{2k+1}(1) = 0,
\]
et, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{6},
\[
\varphi_{2k}(0) = \varphi_{2k}(1) = \Pow{(-1)}{k+1}B_k,\qquad
\varphi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \Pow{(-1)}{k} B'_k,
\EqnTag{II}{II}{17}
\]
où
\Pagelabel{page36}
\[
B'_k = \frac{2(2k)!}{\Pow{(2\pi)}{2k}}
           \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{(-1)}{\nu+1}}{\Pow{\nu}{2k}}
     = \left(1 - \frac{1}{\Pow{2}{2k-1}}\right)B_k.
\]

La plus grande valeur numérique de $\overline\varphi_{2k}(x)$ étant égale à~$B_k$,
d'après~\Eref{II}{II}{11}, on voit que \textit{le polynome~$P_{2k}(x)$ s'annule pour $x = 0$
et pour $x= 1$, en gardant dans l'intervalle compris entre ces
valeurs un signe invariable, à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$}. Signalons
aussi l'égalité
\[
\int^1_0 P_{2k}(x)\, dx = \Pow{(-1)}{k} B_k,
\EqnTag{II}{II}{18}
\]
qu'on vérifie de suite en intégrant la première des formules~\Eref{II}{II}{11}.

Considérons encore, avec Hermite\footnote{\textit{Journal de Crelle}, t.~116. p.~144.}, les polynomes~$\chi(x)$ qui
figurent dans le dé\-vel\-oppe\-ment
\[
\frac{\Pow{e}{xz}}{\Pow{e}{z}  +1}
  = \sum^{\infty}_0 \frac{\chi_\nu(x)}{\nu!}\, \Pow{z}{\nu}
        \qquad \left[\chi_0(x) \equiv \smfrac{1}{2}\right].
\EqnTag{II}{II}{19}
\]

%% -----File: 049.png---Folio 37-------

Un raisonnement analogue au précédent conduit aux égalités
\begin{flalign*}
\EqnTag{II}{II}{20}
&\left\{
\begin{aligned}
\chi_{2k}(x)
&= \phantom{{}+1^{+1}} \Pow{(-1)}{k}\, 2(2k)!\,
   \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+1}}
   \equiv \overline\chi_{2k}(x) \\[1ex]
%
\chi_{2k+1} (x)
&= \Pow{(-1)}{k+1}\, 2(2k+1)!\,
   \sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\cos(2\nu+1)\pi x}{\Pow{[(2\nu +1)\pi]}{2k+2}}
   \equiv \overline\chi_{2k+1}(x)
\end{aligned}
\quad
\begin{aligned}
  & (k=1, 2, \dotsc),\vphantom{\Bigg|} \\[1ex]
  & (k=0, 1, \dotsc),\vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}
\right.
\end{flalign*}
qui sont valables pour $0\leq x \leq 1$. Les expressions qui figurent aux
seconds membres, et que nous désignerons par $\overline\chi_{2k}(x)$, $\overline\chi_{2k+1}(x)$,
admettent la période~$2$ et changent de signe lorsqu'on ajoute à la
variable~$x$ une demi-période, c'est-à-dire l'unité.

Nous désignerons de même par $\overline{\chi}_{0}(x)$ la fonction périodique
\Pagelabel{page37}
\[
\overline{\chi}_{0} (x)
  = 2\sum^{\infty}_{\nu=0} \frac{\sin(2\nu+1)\pi x}{(2\nu +1)\pi},
\EqnTag{II}{II}{21}
\]
dont la valeur est égale à~$\smfrac{1}{2}$, pour $2\nu < x < 2\nu+1$, et à~$-\smfrac{1}{2}$ pour
$2\nu+1 < x < 2\nu+2$, $\nu$~étant un entier quelconque. Quant à la
convergence de la série qui figure au second membre de l'égalité~\Eref{II}{II}{21},
on pourra répéter mot à mot ce qui a été dit au sujet de
la série~\Eref{II}{II}{14}.

Des égalités \Eref{II}{II}{19} et~\Eref{II}{II}{20} on déduit les relations
\begin{gather*}
\chi'_{\nu+1}(x) = (\nu + 1) \chi_\nu(x)\qquad (\nu=0, 1, 2, \dotsc), \\
\chi_{2k}(1-x)   =  \chi_{2k}(x),\qquad
\chi_{2k+1}(1-x) = -\chi_{2k+1}(x), \\
\chi_{2k}(0) = \chi_{2k}(1) = 0,\qquad
\chi_{2k+1}\left(\smfrac{1}{2}\right) = 0,
\EqnTag{II}{II}{22}
\end{gather*}
et, enfin, en tenant compte de l'égalité~\Eref{II}{II}{8},
\[
\chi_{2k}\left(\smfrac{1}{2}\right) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{2} \frac{E_k}{\Pow{4}{k}}.
\EqnTag{II}{II}{23}
\]

\Paragraph{19.} À l'aide des considérations du \no\Sref{17} on peut, dans certains
cas, décomposer une fonction méromorphe en fractions rationnelles\footnote{Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~324--344, et série~I, t.~VIII,
1844, p.~378--385.}. % [** End of footnote]

Supposons, par exemple, qu'il soit possible de choisir les
%% -----File: 050.png---Folio 38-------
cercles~$c_\nu$ de telle sorte que, si l'on pose toujours $z_\nu = r_\nu \Pow{e}{i\psi}$, le
module $\Abs{f(z_\nu)}$ reste au-dessous d'une limite finie, quels que
soient $\psi$ et~$\nu$, et que, d'autre part, l'égalité
\[
\lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) = A
\]
soit vérifiée uniformément dans l'intervalle $0\leqq \psi\leqq 2\pi$ ou, plus généralement,
dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend
pas certaines valeurs particulières, $\psi_1,~\psi_2, \dotsc,~\psi_n$. Il en sera alors
de même, quel que soit~$x$, de l'égalité
\[
\lim_{\nu=\infty} z_\nu\, \frac{f(z_\nu)}{z_\nu - x} = A,
\]
et l'on en déduit, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.II.1},
\[
\residuesum \left(\frac{f(z)}{z-x}\right) = A.
\]

Or le résidu de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ au point $z = x$ est égal à~$f(x)$, et nous
pouvons donc écrire le résultat précédent sous la forme
\[
f(x) = A + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}
\EqnTag{II}{II}{24}
\]
où la somme $\residuesum$ ne comprend, cette fois, que les résidus de~$\smfrac{f(z)}{x-z}$
relatifs aux pôles de~$f(z)$\footnotemark.
\Pagelabel{page38}%
\footnotetext{À l'exemple de Cauchy, nous désignerons désormais par les notations
$\residuesum \varphi(z)\bigl(f(z)\bigr)$, et $\residuesum \smfrac{\varphi(z)}{\bigl(f(z)\bigr)}$ la somme des résidus des expressions $\varphi(z)f(z)$,
$\smfrac{\varphi(z)}{f(z)}$, relatifs respectivement aux points singuliers des fonctions $f(z)$ et~$\smash[t]{\smfrac{1}{f(z)}}$.}
% [** End of footnote]

Si l'on suppose les conditions
\[
\begin{alignedat}{3}
  \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= A        &&\text{pour}
  &&\phantom{\pi+{}}\psi_0 + \eps < \psi < \psi_0 +  \pi - \eps \\
%
  \lim_{\nu=\infty} f(z_\nu) &= B \qquad &&\text{pour}\qquad
  &&          \psi_0 + \pi + \eps < \psi < \psi_0 + 2\pi - \eps
\end{alignedat}
\]
vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, quelque petit
que soit~$\eps$, et si $\Abs{f(z)}$ reste d'ailleurs au-dessous d'une limite
finie sur les cercles~$c_\nu$, on trouve, par le même raisonnement que
%% -----File: 051.png---Folio 39-------
ci-dessus, en utilisant le dernier théorème du \no\Sref{17},
\[
f(x) = \smfrac{1}{2}(A+B) + \residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}.
\EqnTag{II}{II}{25}
\]

Considérons encore le cas où~$f(z)$ est une fonction \textit{impaire},
telle que le quotient $\smfrac{f(z_\nu)}{z_\nu}$ tende uniformément vers zéro pour
$0\leqq \psi\leqq 2\pi$ lorsque $\nu$~croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral
de $\smfrac{f(z)}{z-x}$ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la
formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$. En effet, on a
\[
\residuesum\left(\frac{f(z)}{z-x}\right)
  = \frac{1}{2\pi} \int^{2\pi}_0 \frac{z_\nu f(z_\nu)}{z_\nu - x}\, d\psi
  = \frac{x}{\pi}  \int^{\pi}_0  \frac{z_\nu f(z_\nu)}
                                      {\Pow{z}{2}_\nu - \Pow{x}{2}}\, d\psi,
\]
et, sous la condition indiquée, cette dernière expression a évidemment
pour limite~$0$ lorsque $\nu$~tend vers l'infini.

Dans le cas où~$f(z)$ n'admet que des pôles simples, $a_1,~a_2, \dotsc,~a_\nu,~\dotsc$,
on aura
\[
\residuesum \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{x-z}
  = \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu},
\]
$A_\nu$ étant le résidu de~$f(z)$ relatif au pôle~$a_\nu$. Mais il importe de
remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en
groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, c'est-à-dire en comprenant
dans un même groupe les termes provenant des pôles compris
entre deux cercles consécutifs dans la suite $c_1,~c_2,~\dotsc$.

\Paragraph{20.} Appliquons les considérations précédentes à la fonction
\[
f(z) = \pi\cot\pi z \equiv \frac{D_z \sin \pi z}{\sin\pi z}.
\]

La fonction $\sin\pi z$ admettant les points $z = 0$,~$\pm1, \pm 2,~\dotsc$
comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le \no\Sref{11},
pour~$f(z)$ des pôles simples de résidu~$1$. La fonction~$f(z)$ est
d'ailleurs impaire et, d'après la note de la \Pgref{page}{page32}, son module
restera au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$, si l'on prend
$r_\nu = \nu - \smfrac{1}{2}$.

On peut donc appliquer la formule~\Eref{II}{II}{24} en y faisant $A = 0$, et
%% -----File: 052.png---Folio 40-------
l'on trouve ainsi la formule connue
\[
\pi \cot \pi x
  = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{\nu = 1}
        \left(\frac{1}{x - \nu} + \frac{1}{x + \nu}\right)
  = \frac{1}{x} + 2x \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}.
\]

Soit, en second lieu,
\[
f(z) = \frac{\Pow{e}{az}}{\Pow{e}{z} -1}\qquad (0<a<1).
\]

En prenant $r_\nu = (2\nu-1)\pi$, nous savons, d'après la \Pgref{page}{page34}, que le
module $\Abs{f(z_{\nu})}$ reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles~$c_\nu$,
et que l'égalité $\lim\limits_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = 0$ est vérifiée uniformément pour
\begin{align*}
-\smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{\pi}{2}  - \eps \\
\intertext{et pour}
 \smfrac{\pi}{2} + \eps &< \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps,
\end{align*}
quelque petit que soit~$\eps$. On aura donc l'égalité~\Eref{II}{II}{24} avec $A= 0$,
ce qui donne
\[
\frac{\Pow{e}{ax}}{\Pow{e}{x} - 1}
  = \lim_{n=\infty}\sum^{+n}_{-n} \frac{\Pow{e}{2\pi i\nu a}}{x - 2\pi i\nu}
    \quad (0<a<1).
\]

Si $a = 0$, on aura
\[
\lim_{\nu=\infty} f(z_{\nu}) = -1\qquad \text{pour}\qquad
\smfrac{\pi}{2} + \eps < \psi < \smfrac{3\pi}{2} - \eps,
\]
les autres conditions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas,
on doit donc appliquer l'égalité~\Eref{II}{II}{25} en y faisant $A = 0$, $B =-1$,
et l'on trouve ainsi
\[
\frac{1}{\Pow{e}{x} - 1}
  = -\frac{1}{2} + \frac{1}{x}
  + 2x\sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{x}{2} + 4\Pow{\pi}{2}\Pow{\nu}{2}}.
\]

Comme dernière application, proposons-nous, en suivant toujours
Cauchy, de décomposer la fonction entière
\[
F(z) = \sin z - az\cos z,
\]
où $a$~désigne une constante, en un produit de facteurs primaires.

A cet effet, mettons~$F(z)$ sous la forme
\[
F(z) = -az\cos z \left(1 - \frac{\tang z}{az}\right),
\]
%% -----File: 053.png---Folio 41-------
et décrivons, de l'origine comme centre, des cercles~$c_\nu$ de rayons
$\nu\pi$ ($\nu = 1,~2,~\dotsc$). Dès que $\nu$~dépassera une certaine valeur~$\nu_0$, on
aura (\textit{Cf}.~la note \Pgref{page}{page32})
\[
\Abs{\frac{\tang z}{az}} < 1\quad \text{sur}\quad c_\nu,
\]
et il en résulte, d'après le théorème de la \Pgref{page}{theorem:II.I.1}, que la
fonction~$F(z)$ a, dans le cercle~$c_\nu$, autant de zéros que la fonction $z\cos z$,
c'est-à-dire $2\nu + 1$ zéros. Donc $F(z)$ admet, en dehors de l'origine
qui en est un zéro simple si l'on suppose $a\neq 1$, une infinité
d'autres zéros, deux à deux égaux et de signes contraires, que nous
désignerons par $\pm\lambda_1,~\pm\lambda_2, \dotsc,~\pm\lambda_\nu,~\dotsc$. D'ailleurs, $\nu > \nu_0$,
les zéros~$\pm\lambda_{\nu}$ seront compris entre les cercles $c_{\nu-1}$ et~$c_{\nu}$.

Cela posé, formons la dérivée logarithmique de~$F(z)$:
\[
\frac{F'(z)}{F(z)} = \frac{(1-a)\cos z + az\sin z}{\sin z - az\cos z}
  = \frac{\vphantom{\bigg|}\smfrac{1-a}{az} + \tang z}
         {\vphantom{\bigg|}\smfrac{\tang z}{az} - 1}.
\]

Cette dernière expression met en évidence que le module de
$\smfrac{F'(z)}{F(z)}$ reste inférieur à une quantité finie sur les cercles~$c_{\nu}$, au moins
pour $\nu>\nu_0$, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de~$z$,
les résultats établis au \no\Sref{19} nous permettent d'écrire
\[
\frac{F'(z)}{F(z)}
  = \frac{1}{x} + \sum^{\infty}_{1}
        \left(\frac{1}{x - \lambda_\nu} + \frac{1}{x + \lambda_\nu}\right).
\]

En intégrant cette égalité et en observant que $F'(0) = 1-a$, on
en déduit l'expression cherchée
\[
\sin x - ax\cos x
  = (1-a)x \prod^{\infty}_1 \left(
    1 - \frac{\Pow{x}{2}}{\Pow{\lambda}{2}_\nu}
  \right).
\]

\Paragraph{21.} Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la
fonction donnée~$f(z)$, il sera parfois possible de trouver une fonction
rationnelle ou méromorphe~$\chi(z)$, se réduisant à l'unité pour
$z = 1$ et telle que les conditions énoncées au \no\Sref{19} soient vérifiées
%% -----File: 054.png---Folio 42-------
pour le produit $f(z)\chi\left(\smfrac{z}{x}\right)$, quel que soit~$x$\footnotemark. Le résidu intégral
de l'expression
\[
\frac{f(z)\,\chi\!\left(\smfrac{z}{x}\right)}{z-x}
\EqnTag{II}{II}{26}
\]
aura alors une valeur finie qui dépendra en général de~$x$, $\varphi(x)$, et,
comme le résidu de cette expression au point $z=x$ est égal à~$f(x)$,
on en déduit
\[
f(x) = \varphi(x) + \residuesum
         \frac{\Bigl(f(z)\,\chi\bigl(\smfrac{z}{x}\bigr)\Bigr)}{x-z}.
\EqnTag{II}{II}{27}
\]
\footnotetext{Cauchy a fait cette remarque (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, p.~114, 381), sans
toutefois en tirer grand profit. Pour le sujet que nous traitons ici, \textit{voir} \bsc{Hermite},
\textit{Cours d'Analyse}, 4\ieme{}~édition, 10\ieme{}~Leçon; \bsc{Picard}, \textit{Traité d'Analyse}, t.~II,
Chapitre~VI; \bsc{Borel}, \textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, Chapitre~IV.}%
% [** End of footnote]

Supposons par exemple qu'il soit possible de choisir les cercles~$c_\nu$
de telle sorte que l'égalité
\[
\lim_{\nu=\infty} \frac{f(z_\nu)}{\Pow{z}{p}_\nu} = 0,
\]
où $p$ désigne un entier positif, ait lieu uniformément pour
\[
0\leqq \psi\leqq 2\pi.
\]

Dans ce cas, il suffit de prendre $\chi(z) = \Pow{z}{-p}$, car l'expression~\Eref{II}{II}{26}
devient alors
\[
\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\, \frac{\Pow{x}{p}}{z-x},
\]
et, en vertu de l'hypothèse admise, elle aura donc zéro pour résidu
intégral, quel que soit~$x$. Par suite, l'égalité~\Eref{II}{II}{27} nous donne
\[
f(x) = \residuesum \frac{\Pow{x}{p}}{x-z} \left(\frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}\right).
\]

Admettons en particulier que les pôles $a_1,~a_2,~\dotsc$ de~$f(z)$ soient
tous simples et distincts de l'origine, et soit~$A_\nu$ le résidu du pôle~$a_\nu$.
Dans ce cas, le résidu de l'expression
\[
\frac{\Pow{x}{p}}{x-z}\, \frac{f(z)}{\Pow{z}{p}}
  \equiv f(z) \left(\frac{1}{x-z} + \frac{1}{z} + \frac{x}{\Pow{z}{2}}
      + \dotsb + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{z}{p}}\right)
\]
%% -----File: 055.png---Folio 43-------
relatif au pôle~$a_\nu$ est égal à
\[
\frac{A_\nu}{x - a_\nu} \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p}
\equiv A_\nu \left(\frac{1}{x - a_\nu} + \frac{1}{a_\nu}
                 + \frac{x}{\Pow{a}{2}_\nu} + \dotsb
                 + \frac{\Pow{x}{p-1}}{\Pow{a}{p}_\nu}\right),
\]
tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité~\Eref{I}{I}{7}, \Pgref{page}{eqn:I.I.7},
\[
f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!},
\]
de sorte que la fonction~$f(x)$ sera représentée par l'expression
\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \dotsb + \Pow{f}{(p-1)}(0)\frac{\Pow{x}{p-1}}{(p-1)!}
     + \sum^{\infty}_1 \frac{A_\nu}{x - a_\nu}
       \Pow{\left(\frac{x}{a_\nu}\right)}{p}.
\]

Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes
en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut.


\Section{II}{III}{Calcul de quelques intégrales définies.}

\Paragraph{22.} Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales
définies, et Cauchy en a tiré des méthodes générales qui lui
ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une
multitude d'intégrales nouvelles\footnotemark. Nous devons nous borner ici
à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les
illustrant par quelques exemples caractéristiques.
\footnotetext{En dehors du Mémoire déjà cité de l'année~1814, on consultera en particulier:
\textit{Journal de l'École Polytechnique}, Cahier~XIX, 1823, p.~571--592; \textit{{\OE}uvres
de Cauchy}, série~II, t.~VI, 1826, p.~256--285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé
\textit{Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires}
(1825), dont une traduction allemande vient d'être publiée par M.~Stäckel.}
% [** End of footnote]

Nous commençons par tirer de la formule connue
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\, dz = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2}
\EqnTag{II}{III}{1}
\]
quelques résultats dont nous aurons à faire usage plus loin.

Posons $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, et considérons l'intégrale $\dint \Pow{e}{-\Pow{z}{2}}\,dz$ étendue
au contour du secteur formé par l'axe réel positif, le rayon
%% -----File: 056.png---Folio 44-------
d'argument $\psi=\smfrac{\pi}{4}$, et l'arc~$S$ du cercle $\Abs{z} = R$ compris entre ces deux
droites. La valeur de cette intégrale est égale à zéro, quelque grand
que soit~$R$, puisque la fonction~$\Pow{e}{-\Pow{z}{2}}$ est partout holomorphe. Or je
dis que \textit{l'intégrale prise sur l'arc~$S$ s'évanouit lorsque $R$~croît
indéfiniment}. En effet, le module de cette intégrale est inférieur à
\[
\int^{\fnfrac{\pi}{4}}_0  \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos 2\psi}R\,d\psi
  \equiv \frac{1}{2} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi,
\]
et, en désignant par~$a$ un nombre positif inférieur à~$\smfrac{\pi}{2}$, on a
\[
\int^a_0  \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\,d\psi
  < \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a} \int^a_0 R\,d\psi
  = aR\,\Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a},
\]
expression qui s'annule évidemment pour $R = \infty$, et, d'autre part,
\[
\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\, d\psi
  < \frac{1}{\sin a} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_a \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos\psi}R\sin\psi\,d\psi
  = \frac{1}{R\sin a} (1 - \Pow{e}{-\Pow{R}{2}\cos a}),
\]
d'où résulte la proposition énoncée.

Par suite l'intégrale~\Eref{II}{III}{1}, prise le long de l'axe réel positif, aura la
même valeur que si l'on y prend pour chemin d'intégration le
rayon d'argument~$\smash[b]{\smfrac{\pi}{4}}$, et, en posant dans ce dernier cas
$z=\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\rho$,
d'où $\Pow{z}{2} = i\Pow{\rho}{2}$, on aura donc
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i\Pow{\rho}{2}}\, d\rho
  = \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}}\, \smfrac{\sqrt{\pi}}{2},
\EqnTag{II}{III}{2}
\]
ou encore, en séparant les parties réelles et imaginaires,
\[
  \int^{\infty}_0 \cos(\Pow{\rho}{2})\,d\rho
= \int^{\infty}_0 \sin(\Pow{\rho}{2})\,d\rho
= \smfrac{1}{2} \sqrt{\smfrac{\pi}{2}}.
\]

De l'égalité~\Eref{II}{III}{2} on déduit, en remplaçant~$\rho$ par $a\left(t + \smfrac{b}{\Pow{a}{2}}\right)$,
\[
\int^{+\infty}_{-\infty} \Pow{e}{-i\Pow{a}{2} \Pow{t}{2} - 2ibt}\,dt
  = \smfrac{\sqrt{\pi}}{a}
% [** PP: \Pow macro here and below would make expression too tall]
%    \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}},
    \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4} + i\fnfrac{b^2}{a^2}},
\]
et, en ajoutant à cette égalité celle qui en résulte en changeant~$b$
%% -----File: 057.png---Folio 45-------
en~$-b$, on obtient une formule qui nous sera utile:
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-i \Pow{a}{2} \Pow{t}{2}}\cos 2bt\,dt
  = \smfrac{\sqrt{\pi}}{2a} \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}
%  + i\fnfrac{\Pow{b}{2}}{\Pow{a}{2}}}.
  + i\fnfrac{b^2}{a^2}}.
\EqnTag{II}{III}{3}
\]

\Paragraph{23.} Voici maintenant une méthode aussi simple que féconde, et
dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches
sur ce sujet. Supposons que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne
présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le demi-plan~$P_1$
situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur
cet axe, et soit~$R$ un nombre positif assez grand pour que les points
singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de
l'origine comme centre avec le rayon~$R$. En désignant par~$C_R$ l'arc
de ce cercle compris dans le demi-plan~$P_1$, on aura alors, par le
théorème fondamental du calcul des résidus,
\[
\int^{+R}_{-R} f(z)\,dz + \int_{C_R} f(z)\,dz
  = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr),
\]
et, dans les cas où est vérifiée la condition
\[
\lim_{R=\infty}\int_{C_R} f(z)\,dz = 0,
\EqnTag{II}{III}{4}
\]
on en conclut, en faisant tendre~$R$ vers l'infini,
\[
\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz
  = 2\pi i\, \residuesum_{P_1}\bigl(f(z)\bigr).
\EqnTag{II}{III}{5}
\]

On trouverait de même, sous des conditions analogues,
\[
\int^{+\infty}_{-\infty} f(z)\,dz
= -2\pi i\, \residuesum_{P_2}\bigl(f(z)\bigr).
\EqnTag{II}{III}{\protect{$5'$}}
\]
$P_2$~désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel.

La condition~\Eref{II}{III}{4} est certainement remplie si l'égalité
\[
\lim_{R=\infty} R\, f(R\, \Pow{e}{i\psi}) = 0
\EqnTag{II}{III}{6}
\]
a lieu uniformément pour $0\leqq \psi\leqq \pi$. Il en résulte, en particulier,
que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable toutes les fois que~$f(z)$ est une
fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point
%% -----File: 058.png---Folio 46-------
à l'infini comme zéro du second ordre (ou d'ordre supérieur), ou
bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme
\[
[\Pow{(z-z_1)}{\alpha_1}\, \Pow{(z-z_2)}{\alpha_2}\, \dotsm]\,
\Bigl\{\Pow{[\log(z-z_1)]}{\beta_1}\,
       \Pow{[\log(z-z_2)]}{\beta_2}\, \dotsm\Bigr\},
\EqnTag{II}{III}{7}
\]
où $z_1,~z_2,~\dotsc$ sont les affixes de points situés au-dessous de l'axe
réel, et où la partie réelle de la somme $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ est inférieure
à l'unité (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme
$\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative).

Mais l'hypothèse~\Eref{II}{III}{4} est encore vérifiée si l'on a
\[
\lim_{R=\infty} \int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi = 0,
\EqnTag{II}{III}{8}
\]
condition qui est évidemment plus générale que~\Eref{II}{III}{6}. On en déduit,
en particulier, que la formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable pour
\[
f(z) = \Pow{e}{iaz}\,\varphi(z),
\]
si l'on suppose la constante~$a$ positive et l'égalité $\lim\limits_{R=\infty}\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})=0$
vérifiée uniformément pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, $\varphi(z)$~jouissant d'ailleurs,
dans le demi-plan~$P_1$ et sur l'axe réel, des propriétés indiquées au
début de ce numéro.

En effet, en désignant par~$\eps(R)$ le maximum de $\Abs{\varphi(R\,\Pow{e}{i\psi})}$
pour $0\leqq\psi\leqq\pi$, on aura
\[
\int^{\pi}_0 R\Abs{f(R\, \Pow{e}{i\psi})}\, d\psi
< \eps(R) \int^{\pi}_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\,d\psi.
\]

Or l'intégrale qui figure au second membre, et qui peut s'écrire
\[
2\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 R \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi,
\]
reste au-dessous d'une limite finie quel que soit~$R$, car, en désignant
par~$b$ un nombre positif inférieur à~$\smfrac{\pi}{2}$, on a
\[
\int^{\fnfrac{\pi}{2}}_b R\, \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, d\psi
< \left(\smfrac{\pi}{2} - b\right) R\,\Pow{e}{-aR\sin b},
\]
%% -----File: 059.png---Folio 47-------
expression qui s'annule pour $R = \infty$, et d'autre part
\[
\int^b_0 R\, \Pow{e}{-aR\sin \psi}\, d\psi
< \frac{1}{\cos b} \int^b_0 \Pow{e}{-aR\sin\psi}\, R\cos\psi\, d\psi
= \frac{1}{a\cos b} (1 - \Pow{e}{-aR\sin b}).
\]

Comme d'ailleurs, par hypothèse, $\eps(R)$ s'évanouit pour $R = \infty$,
on voit bien que la condition~\Eref{II}{III}{8} est remplie et que, par suite, la
formule~\Eref{II}{III}{5} est applicable dans l'hypothèse considérée.

On pourra, par exemple, choisir pour~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle,
holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini
comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le
produit d'une telle fonction par une expression de la forme~\Eref{II}{III}{7}, les
points $z_1,~z_2,~\dotsc$ étant situés dans le demi-plan~$P_2$, et la partie
réelle de $\alpha_1 + \alpha_2 + \dotsb$ étant inférieure à l'unité (ou même égale à
l'unité, si la partie réelle de la somme $\beta_1 + \beta_2 + \dotsb$ est négative).

On trouve, par exemple, en désignant par~$r$ une constante dont
la partie réelle est positive,
\[
\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z - ir}\, dz
  = 2\pi i\, \Pow{e}{-ar},\qquad% [** PP: Orig. 2\pi i\Pow{e}{-a^r}?]
\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\Pow{e}{iaz}}{z+ir}\, dz = 0
\]
et, en formant la somme et la différence de ces deux égalités, on
en déduit les formules de Laplace
\[
  \int^{\infty}_0 \frac{z\sin az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz
= \int^{\infty}_0 \frac{z\cos az}{\Pow{z}{2} + \Pow{r}{2}}\, dz
= \frac{\pi}{2}\Pow{e}{-ar}.
\]

\Paragraph{24.} Voici une autre méthode générale dont Cauchy\footnote{%
\textit{Voir} en particulier \textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, 1825, p.~235--285.}
% [** End of footnote]
et Hermite\footnote{\textit{Cours d'Analyse}, 13\ieme{}~Leçon.}
% [** End of footnote]
ont fait un usage étendu, et sur laquelle nous aurons d'ailleurs
à revenir au Chapitre suivant. En posant $z = \tau + it$, admettons
que la fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini
de points singuliers dans le domaine~$B_1$, défini par les inégalités
$a < \tau < b$, $t>0$, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour
de ce domaine, et admettons en outre que la condition
\[
\lim_{t=\infty} f(\tau + it) = H_1, \qquad (H_1 = \text{const}.),
\EqnTag{II}{III}{9}
\]
soit vérifiée uniformément pour $a\leqq\tau\leqq b$.

%% -----File: 060.png---Folio 48-------

Prenons un nombre positif~$\delta$ assez grand pour que les points
singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B_1$ soient tous intérieurs au rectangle
retranché de ce domaine par la droite $t = \delta$. En intégrant la
fonction~$f(z)$ autour du périmètre de ce rectangle, on aura l'égalité
\[
\left\{
\begin{aligned}
\int^b_a f(\tau)\, d\tau
&= i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\
&\quad +\int^b_a f(\tau + i\delta)\, d\tau
       + 2\pi\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr);
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{II}{III}{10}
\]
on en déduit, en tenant compte de l'hypothèse~\Eref{II}{III}{9},
\[
\left\{
\begin{aligned}
\int^b_a f(\tau)\, d\tau
&= i\int^{\infty}_0 \bigl[f(a+it)-f(b +it)\bigr]\, dt \\
&\quad + (b-a)H_1 + 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr).
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{II}{III}{11}
\]

Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet la période $b-a$, le premier
terme disparaîtra du second membre de cette formule.

En supposant des conditions analogues à celles qui précèdent
vérifiées dans le domaine~$B_2$, symétrique de~$B_1$ par rapport à l'axe
réel, on trouve une formule analogue à~\Eref{II}{III}{11} et que nous nous
dispenserons d'écrire ici.

Appliquons cette méthode au cas où l'on a
\[
f(z) = \frac{z}{u - \Pow{e}{-iz}},\qquad a = -\pi,\qquad b = \pi,
\]
$u$ étant une quantité réelle et positive. La fonction~$f(z)$ admet
pour pôles les points
\[
z = i \log u + 2\pi\nu\qquad (\nu = 0, \pm 1, \pm 2,\dotsc).
\]
Donc, si $u>1$, le pôle $i \log u$ sera intérieur à~$B_1$, tandis que ce
domaine ne comprendra aucun pôle de~$f(z)$ lorsque~$u<1$. Il en
résulte que le dernier terme de l'expression~\Eref{II}{III}{11} est, dans le premier
cas, égal à $\smfrac{2\pi i\log u}{u}$ et, dans le second cas, à zéro.

D'autre part, on trouve
\[
f(a+it) - f(b+it) = - \smfrac{2\pi}{u + \Pow{e}{t}},
\]
d'où il résulte, par un calcul élémentaire, que le premier terme de
%% -----File: 061.png---Folio 49-------
l'expression~\Eref{II}{III}{11} a pour valeur
\[
-\smfrac{2\pi i}{u} \log(1+u).
\]
Comme, d'ailleurs, $H_1=0$, nous pouvons donc conclure de la formule~\Eref{II}{III}{11}
que l'intégrale
\[
\int^{+\pi}_{-\pi} \frac{z\, dz}{u - \Pow{e}{-iz}}
\]
est égale à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{u}{1+u}\Bigr)$ ou à $\smfrac{2\pi i}{u} \log\Bigl(\smfrac{1}{1+u}\Bigr)$, suivant que l'on a
$u > 1$ ou $u < 1$, et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on
en déduit pour l'intégrale
\[
\int^{\pi}_0 \frac{z\sin z\,dz}{\Pow{u}{2} - 2u\cos z + 1}
\]
la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log\smfrac{1+u}{u}$, si $u > 1$, et la valeur $\smfrac{\pi}{u}\log(1+u)$, si $u < 1$.

Calculons encore, par la même méthode, la valeur de l'intégrale
\[
\int^1_0 \log(\sin \pi z)\, dz,
\EqnTag{II}{III}{12}
\]
qui nous sera utile plus loin, et, dans ce but, appliquons la formule~\Eref{II}{III}{10}
en y faisant $a = 0$, $b= 1$, $f(z)=\log(\sin\pi z)$. On s'assure
en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque
la fonction~$f(z)$ devient infinie aux points $a$ et~$b$, pourvu que son
ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas
présent. On trouve, par une discussion élémentaire,
\Pagelabel{page49}
\[
f(a + it) -f(b+it)
  \equiv \log\left[\frac{\sin\pi it}{\sin\pi(1+it)}\right]
   = +\pi i,
\]
d'où il résulte
\[
i\int^{\delta}_0 \bigl[f(a+it) - f(b+it)\bigr]\, dt = -\pi\delta,
\]
et, d'autre part, on déduit de l'égalité $\sin\pi z = \smfrac{1}{2i}(\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz})$
\[
\sin\pi(\tau + it) = \smfrac{i}{2} \Pow{e}{\pi t - \pi i\tau}
  \bigl[1 + \eps(t)\bigr]\footnotemark,\Pagelabel{page49fn}
% [** Footnote gets put on following page]
\]
\footnotetext{Pour éviter des redites incessantes, nous conviendrons dès maintenant de
désigner indifféremment par~$\eps(t),~\eps(\delta),~\dotsc$, toute fonction tendant vers zéro lorsque $t,~\delta,~\dotsc$ tendent vers l'infini.}%
% [** End of footnote]
%% -----File: 062.png---Folio 50-------
d'où
\[
f(\tau + i\delta)
  = \smfrac{\pi i}{2} - \log 2 + \pi\delta - \pi i\tau + \eps(\delta)
\]
et, par suite,
\Pagelabel{page50}
\[
\int^b_a f(\tau+i\delta)\, d\tau = \pi\delta - \log 2 + \eps(\delta).
\]

Comme, d'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, le dernier terme
de la formule~\Eref{II}{III}{10} est nul, nous pouvons en conclure, en faisant
tendre~$\delta$ vers l'infini, que \textit{la valeur de l'intégrale~\Eref{II}{III}{12} est égale
à~$-\log2$}.

\Paragraph{25.} Soit encore à calculer l'intégrale
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz,
\]
$a$ étant une constante dont la partie réelle est positive et inférieure
à \textit{un}, et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle, s'annulant à l'infini et
holomorphe à l'origine et sur l'axe réel positif.

Traçons de l'origine comme centre un cercle~$c$ de rayon~$\eps$ et un
autre cercle~$C$ de rayon~$R$, de telle sorte qu'ils comprennent entre
eux tous les pôles de~$\varphi(z)$, et désignons par~$S$ le contour fermé
qui se compose de ces cercles et des deux bords d'une coupure
menée suivant l'axe réel positif. On aura
\[
\int_S \Pow{z}{a-1} \varphi (z)\, dz
  = 2\pi i\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr),
\]
la somme $\residuesum$ s'étendant à tous les pôles de~$\varphi(z)$.

Faisons maintenant tendre~$\eps$ vers zéro et~$R$ vers l'infini. Les
parties de l'intégrale ci-dessus qui sont relatives aux cercles
$c$ et~$C$, tendront vers zéro, en vertu de nos hypothèses. Comme
d'ailleurs $\Pow{z}{a-1} = \Pow{e}{(a-1)\log z}$ et que $\log z$ augmente de $2\pi i$ lorsqu'on
passe d'un point du bord supérieur au point correspondant du bord
inférieur de la coupure, le premier membre de l'égalité précédente
deviendra
\[
(1 - \Pow{e}{2\pi ia}) \int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz,
\]
%% -----File: 063.png---Folio 51-------
et, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1}\varphi(z)\, dz
= \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}}\, \residuesum \Pow{z}{a-1}\bigl(\varphi(z)\bigr).
\EqnTag{II}{III}{13}
\]

Pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{1+z}$, on obtient la formule, due à Euler:
\[
\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{z}{a-1}}{1 + z}\, dz
= \frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi ia}} \Pow{e}{\pi i(a-1)}
= \frac{\pi}{\sin \pi a}.
\]

En différentiant l'égalité~\Eref{II}{III}{13} $n$~fois par rapport à la constante~$a$,
on trouve la valeur de l'intégrale
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{z}{a-1} \Pow{(\log z)}{n} \varphi(z)\, dz.
\]

D'autre part, si $\varphi(z)$ admet le point à l'infini comme zéro d'un
ordre $\geqq 2$, les résultats précédents seront valables pour $a = 1 + \eps$,
dès que $0 <\eps< 1$, et, en faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on en déduit
les formules
\[
\int^{\infty}_0 \varphi(z)\, dz
= \lim_{\eps = 0} \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\,
                  \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\}
\]
et
\[
\int^{\infty}_0 \varphi(z)\Pow{(\log z)}{n}\, dz
= \lim_{\eps = 0} \Pow{D}{(n)}_{\eps}
                  \left\{\frac{2\pi i}{1 - \Pow{e}{2\pi i\eps}}\,
                  \residuesum \Pow{z}{\eps} \bigl(\varphi(z)\bigr)\right\}.
\]

On trouverait, par exemple,
\[
\int^{\infty}_0 \frac{\Pow{(\log z)}{2}}{1+\Pow{z}{2}}\, dz
  = \lim_{\eps=0} \Pow{D}{(2)}_{\eps}
    \Biggl(\frac{\pi}{2\cos\smfrac{\pi\eps}{2}}\Biggr)
  =\frac{\Pow{\pi}{3}}{8}.
\]

\bigTbreak

%% -----File: 064.png---Folio 52-------


% [*** Chapter III]
\cleardoublepage
\Chapter{III}{FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS.}

\Section{III}{I}{Recherches de Cauchy. Transformations diverses
des formules générales.}

\Paragraph{26.} Le calcul des résidus permet d'exprimer par une intégrale
définie la somme des valeurs que prend une fonction analytique~$f(z)$
pour des valeurs entières successives de la variable $z$. En
effet, on a vu (\Pgref{p.}{paragraph:20})
que la fonction $\pi\cot \pi z$ admet tout nombre
entier~$\nu$ comme pôle simple de résidu \textit{un}, et il en résulte que la
valeur~$f(\nu)$ est égale au résidu de l'expression $\pi\cot \pi z\,f(z)$ relatif
au point $z=\nu$, pourvu que~$f(z)$ y soit holomorphe. Traçons donc
un contour fermé simple~$C$ enveloppant les points $m,~m+1, \dotsc,~n$,
mais laissant à l'extérieur tout autre point dont l'affixe est un
nombre entier, et supposons que, à l'intérieur de ce contour, la
fonction~$f(z)$ soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de
points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, en étant
d'ailleurs holomorphe sur~$C$. Dans ces conditions, on conclut du
théorème général des résidus, en utilisant la notation qui a été
expliquée \Pgref{page}{page38},
\[
\frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z\, f(z)\,dz
= \sum^n_m f(\nu) + \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr),
\EqnTag{III}{I}{1}
\]
d'où
\[
\sum^n_m f(\nu)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_C \pi \cot \pi z f(z)\,dz
    - \residuesum_C \pi \cot \pi z\bigl(f(z)\bigr),
\EqnTag{III}{I}{2}
\]

Si, en particulier, la fonction~$f(z)$ est holomorphe à l'intérieur
de~$C$, le dernier terme de cette égalité disparaîtra.

%% -----File: 065.png---Folio 53-------

En observant que le résidu de la fonction $\smfrac{\pi}{\sin\pi z}$ relatif au pôle
$z = \nu$ est égal à~$\Pow{(-1)}{\nu}$, on arrive de même à la formule
\[
\sum^{\infty}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
  = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{\pi}{\sin\pi z} f(z)\,dz
    - \residuesum_C \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr),
\EqnTag{III}{I}{3}
\]
les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus.

Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la
sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre
infini de termes\footnotemark.
\footnotetext{% [** PP: Changed period to comma after série~II]
Cf.~\textit{{\OE}uvres de Cauchy}, série~II, t.~VII, 1827, p.~345--362.}

Soit, par exemple, $f(z)$ une fonction rationnelle ou méromorphe,
telle que le résidu intégral de l'expression $\pi \cot \pi z\,f(z)$ s'annule
(\textit{voir} le \no\Sref{17}). En prenant pour le contour~$C$ un cercle ayant l'origine
comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce
cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale~\Eref{III}{I}{1}
tendra vers zéro, de sorte que l'égalité~\Eref{III}{I}{2} deviendra
\[
\sum^{+\infty}_{-\infty} f(\nu) = -\residuesum\pi\cot \pi z\bigl(f(z)\bigr).
\EqnTag{III}{I}{4}
\]

Si le résidu intégral de l'expression $\smfrac{\pi}{\sin \pi z} f(z)$ se réduit à zéro,
on déduit de même de l'égalité~\Eref{III}{I}{3} la formule
\[
\sum^{+\infty}_{-\infty}\Pow{(-1)}{\nu}f(\nu)
  = -\residuesum \frac{\pi}{\sin \pi z}\bigl(f(z)\bigr).
\EqnTag{III}{I}{5}
\]

On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les
égalités \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} soient convergentes et que leurs termes soient
réunis en groupes comme l'indique l'égalité~\Eref{II}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.II.2}.

Comme les modules $ \Abs{\cot \pi z}$ et $\Abs{\smfrac{1}{\sin \pi z}}$ restent au-dessous d'une
limite finie sur les cercles $\Abs{z} = \nu - \tfrac{1}{2}$, $\nu = 1,~2,~\dotsc$ (\textit{voir} la note
de la \Pgref{page}{page32}), on peut conclure des résultats établis au \no\Sref{17} que
les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois
que~$f(z)$ est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini
%% -----File: 066.png---Folio 54-------
comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Dans ce cas, les séries \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5} seront
d'ailleurs absolument convergentes.

Si~$f(z)$ est une fonction rationnelle ayant $z =\infty$ comme zéro
simple, on pourra l'écrire sous la forme $f(z) = \smfrac{A}{z} + \varphi(z)$, $A$~étant
une constante et~$\varphi(z)$ une fonction rationnelle admettant $z =\infty$
comme zéro d'un ordre $\geqq 2$. Comme les résidus intégraux des
expressions $\smfrac{\cot\pi z}{z}$ et~$\smfrac{1}{z\sin\pi z}$ se réduisent a zéro, puisque leurs
termes se détruisent deux à deux, il en sera de même, d'après ce
que nous venons de dire, des résidus intégraux des expressions
$\pi \cot\pi z f(z)$ et $\smfrac{\pi}{\sin\pi z} f(z)$ et, par suite, les formules \Eref{III}{I}{4} et~\Eref{III}{I}{5}
seront encore applicables, en réunissant toutefois, dans la série~\Eref{III}{I}{4},
les termes correspondant à des valeurs égales et de signes contraires
de l'indice~$\nu$.

L'égalité~\Eref{III}{I}{4} nous donne, en faisant par exemple $f(z)=\smfrac{1}{\Pow{(x+z)}{2}}$,
\[
\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}} = \frac{\Pow{\pi}{2}}{\Pow{\sin}{2} \pi x},
\]
et, pour $f(z)=\smfrac{1}{a + b\Pow{z}{2}}$,
\[
\sum_{0}^{\infty} \frac{1}{a + b\Pow{\nu}{2}}
  = - \frac{1}{2a} - \frac{1}{2}\, \residuesum \frac{\pi \cot\pi z}{(a+b\Pow{z}{2})}
  = - \frac{1}{2a} + \frac{\pi}{2\sqrt{ab}}
        \frac{\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} + \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}}
             {\Powfr{e}{\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}} - \Powfr{e}{-\pi\sqrt{\fnfrac{a}{b}}}}.
\]

La formule~\Eref{III}{I}{5} reste valable si l'on pose $f(z) = \varphi(z) \sin az$ ou
$f(z) = \varphi(z) \cos az$, $\varphi(z)$~étant une fonction rationnelle s'annulant
à l'infini et $a$~une constante réelle comprise entre $-\pi$ et~$\pi$. En
effet, en remplaçant les fonctions trigonométriques par des exponentielles,
on constate aisément (\textit{Cf}.~la note \Pgref{p.}{page32}), que les expressions
\[
\Abs{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}\quad \text{et}\quad
\Abs{\frac{\cos az}{\sin\pi z}\vphantom{\frac{\sin az}{\sin\pi z}}}
\]
restent au-dessous d'une limite finie sur les cercles
\[
\Abs{z} = \nu - \smfrac{1}{2}\qquad (\nu = 1, 2, \dotsc)
\]
et, d'autre part, que ces mêmes expressions tendent uniformément
%% -----File: 067.png---Folio 55-------
vers zéro lorsque le point $z\equiv \rho\,\Pow{e}{i\psi}$ tend vers l'infini en restant
intérieur à l'un des angles $\eps < \psi < \pi-\eps$, $\pi+\eps < \psi < 2\pi-\eps$,
$\eps$~étant un nombre positif aussi petit que l'on voudra. Comme le
module $\Abs{z\varphi(z)}$, par hypothèse, reste inférieur à une quantité
finie à partir d'une certaine valeur de $\Abs{z}$, ces mêmes remarques
seront applicables au produit de l'une quelconque des expressions
\[
\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \sin az
\quad \text{et} \quad
\frac{\pi}{\sin\pi z}\, \varphi(z) \cos az
\]
par le facteur~$z$, et, d'après le \no\Sref{17}, les résidus intégraux de ces
expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre assertion.
On aura par suite, sous les conditions énoncées,
\begin{align*}
  \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu}
    \bigl[\varphi(\nu) - \varphi(-\nu)\bigr] \sin\nu a
  &= -\pi\, \residuesum \frac{\sin az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr), \\
%
  \varphi(0) +
  \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu}
    \bigl[\varphi(\nu) + \varphi(-\nu)\bigr] \cos\nu a
  &= -\pi\, \residuesum \frac{\cos az}{\sin\pi z} \bigl(\varphi(z)\bigr).
\end{align*}

On trouve, par exemple, pour $\varphi(z) = \smfrac{1}{x-z}$,
\begin{align*}
  \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu \sin\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}
  &= \frac{\pi}{2} \frac{\sin ax}{\sin\pi x}, \\
%
  \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\cos\nu a}{\Pow{x}{2} - \Pow{\nu}{2}}
  &= -\frac{1}{2\Pow{x}{2}} + \frac{\pi}{2x} \frac{\cos ax}{\sin\pi x}.
\end{align*}

Dans certains cas, les formules \Eref{III}{I}{4}~et \Eref{III}{I}{5} permettent de transformer
une série donnée en une autre dont la convergence est plus
rapide. Ainsi, en faisant dans~\Eref{III}{I}{5} $f(z) = \smfrac{z}{\Pow{e}{\pi az} - \Pow{e}{-\pi az}}$, $a$~étant une
constante réelle quelconque, Cauchy en déduit l'égalité
\[
\sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu} \frac{\nu}{\Pow{e}{\pi a\nu} - \Pow{e}{-\pi a\nu}}
  = - \frac{1}{4\pi a}
    - \frac{1}{\Pow{a}{2}} \sum_{1}^{\infty} \Pow{(-1)}{\nu}
          \frac{\nu}{\Powfr{e}{\fnfrac{\pi\nu}{a}} - \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi\nu}{a}}}.
\]

Pour les petites valeurs numériques de~$a$, la convergence du
second membre est évidemment très rapide, tandis que le premier
membre converge lentement.

\Paragraph{27.} Nous allons maintenant transformer les formules générales
%% -----File: 068.png---Folio 56-------
établies au début de ce Chapitre, en commençant par la formule~\Eref{III}{I}{2}.
Pour simplifier, nous supposerons d'abord la fonction~$f(z)$ holomorphe
à l'intérieur du contour~$C$, de sorte que le second membre
de cette formule se réduit à son premier terme.

Soient $\alpha$ et~$\beta$ les points où~$C$ est coupé par l'axe réel
\Pagelabel{page56}
\[
m - 1 < \alpha < m,\quad  n < \beta < n + 1,
\EqnTag{III}{I}{6}
\]
et désignons par~$\alpha\gamma'\beta$ la partie supérieure et par~$\alpha\gamma''\beta$ la partie inférieure
de ce contour. Nous laissant guider par cette observation
que $\smfrac{1}{i} \cot\pi z$ tend vers~$-1$ dans la direction de l'axe imaginaire
positif et vers~$+ 1$ dans la direction opposée, nous substituerons,
dans le second membre de la formule~\Eref{III}{I}{2},
% [** PP: align* environment makes too much vertical space]
\[
\frac{1}{i} \cot\pi z = -1 - \frac{2}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\qquad
    \text{sur l'arc $\alpha\gamma' \beta$}\phantom{'.}
\]
et
\[
\frac{1}{i} \cot\pi z = \phantom{-} 1 + \frac{2}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\phantom{{}^-}\qquad
    \text{sur l'arc $\alpha\gamma''\beta$}.
\]

Par ces substitutions, l'expression en question devient
\[
    \frac{1}{2} \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz
  - \frac{1}{2} \int_{\beta\gamma'\alpha}  f(z)\, dz
  + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}
  - \int_{\beta\gamma'\alpha}  \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}.
\]

Or on a, en posant $z = \tau + it$,
\[
  \int_{\alpha\gamma''\beta} f(z)\, dz
  = - \int_{\beta\gamma'\alpha} f(z)\, dz
  = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau,
\EqnTag{III}{I}{7}
\]
puisqu'on suppose la fonction~$f(z)$ holomorphe à l'intérieur de~$C$;
la formule~\Eref{III}{I}{2} prendra donc la forme suivante:
\[
    \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau
  + \int_{\alpha\gamma'\beta}  \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
  + \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}.
\EqnTag{III}{I}{8}
\]

Prenons, en particulier, pour le contour~$C$ un rectangle symétrique
par rapport à l'axe réel et dont les côtés verticaux passent
respectivement par les points $z = \alpha$ et~$z = \beta$. En désignant par~$2\delta$
la hauteur de ce rectangle, la formule~\Eref{III}{I}{8} deviendra
\[
  \sum_{m}^{n} f(\nu) = \int_{\alpha}^{\beta} f(\tau)\, d\tau
  + I(\alpha, \delta) - I(\beta, \delta) + R(\delta),
\EqnTag{III}{I}{9}
\]
%% -----File: 069.png---Folio 57-------
en posant, pour abréger,
\begin{align*}
I(\tau,\delta)
&= \int^{\tau + i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
 + \int^{\tau - i\delta}_{\tau} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}, \\[1ex]
%
R(\delta)
&= \int^{\beta}_{\alpha}
    \frac{f(\tau + i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{-2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1}
 + \int^{\beta}_{\alpha}
    \frac{f(\tau - i\delta)\, d\tau}{\Pow{e}{ 2\pi i\tau + 2\pi\delta} - 1}.
\end{align*}

La formule~\Eref{III}{I}{9} se simplifie dans le cas où sont vérifiées les conditions
suivantes:
\smallskip

\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$, quel que
soit~$t$};
\Pagelabel{page57a}%

\secundo~\textit{L'égalité}
\[
\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}f(\tau +it) = 0
\EqnTag{III}{I}{A}
\]
\textit{a lieu uniformément pour} $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$.
\smallskip

En effet, dans ces conditions, la formule~\Eref{III}{I}{9} reste valable quelque
grand que soit~$\delta$ et, lorsque $\delta$~croît indéfiniment, $R(\delta)$~tendra vers
zéro, de sorte qu'on obtient
\[
\sum^n_m f(\nu)
= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
+ \lim_{\delta=\infty} \bigl[I(\alpha,\delta) - I(\beta,\delta)\bigr].
\EqnTag{III}{I}{I}
\]

Resserrons davantage les hypothèses en supposant que:
\smallskip

\primo~\textit{La fonction~$f(z)$ est holomorphe pour $\tau \geqq \alpha$, quelque soit}~$t$;
\Pagelabel{page57b}%

\secundo~\textit{La condition~\Eref{III}{I}{A} est vérifiée uniformément pour $\alpha \leqq \tau \leqq \beta$,
quelque grand que soit}~$\beta$;

\tertio~\textit{La fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition}
\[
\lim_{\tau=\infty} \int^{+\infty}_{-\infty}
  \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)} = 0.
\EqnTag{III}{I}{B}
\]

La formule~\Eref{III}{I}{I} subsistera quelque grand que soit~$n$, et comme
l'on a, en posant $\beta = n + \smfrac{1}{2}$, $z = \beta + it$,
\[
\Abs{I(\beta,\delta)}
< \int^{+\delta}_{-\delta}
    \frac{\Abs{f(\beta + it)}}{\Pow{e}{2\pi\Abs{t}} + 1}\, dt
< \int^{+\delta}_{-\delta}
    \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\beta + it)}\, dt,
\]
%% -----File: 070.png---Folio 58-------
on voit que l'intégrale $I(\beta,\infty)$ a un sens et qu'elle tend vers zéro
lorsque~$n$ ou~$\beta$ augmente indéfiniment, de sorte que la formule
en question deviendra
\[
  \sum_{m}^{\infty} f(\nu)
  = \int_{\alpha}^{\infty} f(\tau)\, d\tau
    + \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
    + \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1},
\EqnTag{III}{I}{II}
\]
si la série qui figure au premier membre est convergente, et, si
cette série diverge,
\[
\left\{
\begin{aligned}
\lim_{n=\infty} &\biggl[\, \sum_{m}^{n} f(\nu)
  - \int_{\alpha}^{n + \frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau\biggr] \\
&\quad= \int_{\alpha}^{\alpha + i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
+ \int_{\alpha}^{\alpha - i\infty} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}.
\end{aligned}
\right.
\tag*{(II)$_a$}
\Pagelabel{eqn:III.I.IIa}
\]

\Paragraph{28.} Nous introduirons dès maintenant certaines notations dont
nous aurons à faire un usage continuel dans la suite de cet ouvrage.
En écrivant toujours $z = \tau +it$, nous poserons
\[
\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} = \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t),
\EqnTag{III}{I}{10}
\]
d'où
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \Psi(\tau,t)
  &= \frac{\cos 2\pi\tau - \Pow{e}{-2\pi t}}
          {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex]
%
  X(\tau,t)
  &= \frac{\sin 2\pi\tau}
          {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}},
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{11}
\]
et, d'autre part,
\[
\left\{
\begin{aligned}
  p(\tau,t) &= \smfrac{1}{2}\, \bigl[f(\tau+it) + f(\tau-it)\bigr], \\[1ex]
  q(\tau,t) &= \smfrac{1}{2i}  \bigl[f(\tau+it) - f(\tau-it)\bigr],
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{12}
\]
de sorte que $p(\tau, t)$ et~$iq(\tau, t)$ représentent respectivement les
parties réelle et imaginaire de la fonction~$f(\tau+it)$, dans le cas
où celle-ci est réelle pour $t = 0$.

Avec ces notations, le premier terme de l'expression~$I(\tau, \delta)$
s'écrit
\[
i\int_{0}^{\delta} \bigl[p(\tau, t) + iq(\tau, t)\bigr]
  \bigl[ \Psi(\tau, t) + iX(\tau, t) \bigr]\, dt,
\]
%% -----File: 071.png---Folio 59-------
et comme le second terme se déduit du premier en changeant $i$
en~$-i$, il en résulte
\[
I(\tau,\delta) = -2\int^{\delta}_0 Q(\tau,t)\, dt,
\]
où
\[
Q(\tau,t) = p(\tau,t)\, X(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi(\tau,t).
\EqnTag{III}{I}{13}
\]

On pourra donc écrire les égalités \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{II} sous la forme
\begin{align*}
\sum^n_m f(\nu)
&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
    - 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q(\alpha,t) - Q(\beta,t)\bigr]\, dt,
\tag{I${}'$}
\Pagelabel{eqn:III.I.Ipr} \\[1ex]
%
\sum^{\infty}_m f(\nu)
&= \int^{\infty}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
    - 2\int^{\infty}_0 Q(\alpha,t)\, dt,
\tag{II${}'$}
\Pagelabel{eqn:III.I.IIpr}
\end{align*}

Dans le cas où l'on a
\[
\alpha = m-\smfrac{1}{2}\qquad \text{ou}\qquad \beta = n+\smfrac{1}{2},
\]
ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité
\[
Q\left(\nu + \smfrac{1}{2}, t\right)
  = -\frac{q(\nu + \frac{1}{2}, t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1},
\EqnTag{III}{I}{14}
\]
qui a lieu pour tout nombre entier~$\nu$.

\Paragraph{29.} Les formules qu'on vient d'établir supposent essentiellement
les nombres $\alpha$ et~$\beta$ compris entre les limites~\Eref{III}{I}{6}, et doivent être
modifiées si l'une de ces limites est atteinte.

Faisons d'abord tendre~$\alpha$ vers~$m-1$, et cherchons la modification
qui en résultera pour la formule~\Eref{III}{I}{9}. Pour simplifier le calcul,
nous allons reprendre un moment l'égalité~\Eref{III}{I}{8}, en choisissant le
contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les
arcs $c'$ et~$c''$ font partie d'un cercle décrit du point~$m-1$ comme
centre avec le rayon~$\eps$, et où l'on a
\begin{gather*}
\alpha = m-1+\eps,\qquad a' = m-1+i\eps,\qquad b' = m-1+i\delta, \\
%
a'' = m-1-i\eps,\qquad b'' = m-1-i\delta.
\end{gather*}

Le contour~$C$ étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer~$m-1$
à~$\alpha$ dans le terme~$R(\delta)$ de l'égalité~\Eref{III}{I}{9}, et, d'autre part, les deux
%% -----File: 072.png---Folio 60-------
intégrales qui figurent dans l'expression $I(\alpha, \delta)$ doivent être prises
respectivement le long du chemin~$\alpha a'b'$ (composé de l'arc $c'$~et du
segment rectiligne~$a'b'$) et le long du chemin symétrique~$\alpha a''b''$.

%[Illustration:  Fig.~2.]
\Figure{2}{072}

La somme des intégrales relatives aux segments $a'b'$ et~$a''b''$
s'écrit, en posant $z = m-1+it$, et en utilisant la notation~\Eref{III}{I}{12},
\[
i\int^{\delta}_{\eps} \frac{f(m-1+it) - f(m-1-it)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt
  = -2\int^{\delta}_{\eps} \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\]

Sur l'arc~$c'$ on a
\[
\frac{f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
  = -\frac{1}{2\pi i} \frac{f(z)}{z-(m-1)} + \varphi(z),
\]
le module de~$\varphi(z)$ restant au-dessous d'une limite finie lorsque~$\eps$
décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet
arc et qui s'écrit, en posant $z-(m-1) = \eps\,\Pow{e}{i\psi}$,
\[
-\frac{1}{2\pi} \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 f(m - 1 + \eps\,\Pow{e}{i\psi})\, d\psi
+ i\eps \int^{\fnfrac{\pi}{2}}_0 \varphi(z)\, \Pow{e}{i\psi}\, d\psi,
\]
tend vers~$-\smfrac{1}{4} f(m-1)$ lorsque~$\eps$ s'annule, et un raisonnement
identique montre qu'il en est de même de l'intégrale prise sur
l'arc~$c''$. Donc la somme de ces deux intégrales aura pour
limite~$-\smfrac{1}{2} f(m-1)$\footnotemark.
\Pagelabel{page60}%
\footnotetext{Il importe d'observer, en vue d'applications ultérieures, que ce résultat
repose sur la seule hypothèse que la fonction~$f(z)$ prend une valeur finie et déterminée
au point $z = m-1$ (qu'elle y soit holomorphe ou non), de telle sorte que la
différence $f(z) - f(m-1)$ tende uniformément vers zéro avec~$\eps$ pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq\smfrac{\pi}{2}$.}
% [** End of footnote]

On voit, en somme, en choisissant le contour d'intégration
comme il a été dit et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro, que
%% -----File: 073.png---Folio 61-------
l'égalité~\Eref{III}{I}{9} subsiste encore pour $\alpha = m-1$, à condition de poser
\[
I(m-1,\delta) = -\frac{1}{2}f(m-1)
    - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m-1, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\]
En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la
figure en pointillé, et en faisant ensuite s'évanouir le rayon du
demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste
aussi pour $\alpha = m$, si l'on pose
\[
I(m,\delta) = \frac{1}{2}f(m)
    - 2\int^{\delta}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\]

Des remarques analogues s'appliquent à l'expression $I(\beta,\delta)$,
lorsque le nombre~$\beta$ tend vers l'une ou l'autre des deux limites
entre lesquelles il est compris.

Les résultats qui précèdent permettent de modifier de différentes
manières les formules établies aux \nos\Sref{27} et~\Sref{28}.

Ainsi, en faisant dans l'égalité~\Eref{III}{I}{9} $\alpha = m$, $\beta = n$, $\delta = \infty$, on en
déduit la formule
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m f(\nu) &= \frac{1}{2}\bigl[f(m) + f(n)\bigr] \\
&\quad
  + \int^n_m f(\tau)\, d\tau
  - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m,t) - q(n,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt,
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{III}
\]
qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la \Pgref{page}{page57a}
sont vérifiées pour $\alpha= m$, $\beta = n$.

Si les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont remplies pour
$\alpha = m$, on pourra faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans la
formule précédente, et l'on trouve alors
\[
\sum^{\infty}_m f(\nu) = \frac{1}{2} f(m) + \int^{\infty}_m f(\tau)\, d\tau
  - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m, t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\EqnTag{III}{I}{IV}
\]

Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour
$\alpha = m-1$, on aura aussi
\[
\sum^{\infty}_m f(\nu)
  = -\frac{1}{2} f(m-1) + \int^{\infty}_{m-1} f(\tau)\, d\tau
      - 2\int^{\infty}_0 \frac{q(m-1,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt,
\EqnTag{III}{I}{V}
\]
%% -----File: 074.png---Folio 62-------
formule qui reste encore valable dans le cas où $f(z)$~présente au
point $z = m-1$ le caractère indiqué dans la note de la \Pgref{page}{page60}.

Si la série qui figure au premier membre des deux dernières formules
était divergente, on devrait les remplacer par d'autres analogues
à~\ref{eqn:III.I.IIa}.

\Paragraph{30.} Appliquons à la fonction~$f(x+z)$ la formule~\Eref{III}{I}{9} en posant
$m = n = 0$, et faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$1$ et~$\delta$ vers~$\infty$, ce qui
est permis si l'on suppose les deux premières conditions de la
\Pgref{page}{page57a} vérifiées pour $x_1\leqq\tau\leqq x_1 + 1$, $x_1$~désignant la partie réelle
de~$x$. En tenant compte des résultats établis au \no\Sref{29}, on trouvera
\begin{align*}
f(x) = -\frac{1}{2} \bigl[f(x+1) - f(x)\bigr]
&+ \int_0^1 f(x + \tau)\, d\tau \\
&+ 2\int_0^\infty \frac{q(x+1,t) - q(x,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\end{align*}

Comme d'ailleurs $\dint_0^1 f(x+\tau)\,d\tau = \int_x^{x+1} f(x)\,dx$, il en résulte
que la fonction
\[
\Phi(x) = -\frac{1}{2}f(x) + \int^x f(x)\, dx
        + 2\int_0^\infty \frac{q(x,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}
\EqnTag{III}{I}{VI}
\]
(en supposant, bien entendu, que la dernière intégrale ait un sens,
% [** PP: Not wholly sure whether Lindelöf means 57a or 57b.]
ce qui ne résulte pas nécessairement des conditions de la \Pgref{page}{page57b},
et en fixant convenablement la limite inférieure de la première
intégrale) jouit de la propriété
\[
\Phi(x+1) - \Phi(x) = f(x).
\]

En d'autres termes, $\Phi(x)$~est ce qu'on appelait autrefois \textit{l'intégrale
finie de la fonction}~$f(x)$, et qu'on désignait par~$\sum f(x)$.

\Paragraph{31.} Voici une autre transformation de la formule (8) qui nous
sera utile plus loin. En y substituant
\[
\left\{
\begin{alignedat}{5}
\frac{1}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{ 2\pi iz} &&+ \Pow{e}{ 4\pi iz} &&+ \dotsb
&&+ \Pow{e}{ 2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}, \\[1ex]
%
\frac{1}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1} &= \Pow{e}{-2\pi iz} &&+ \Pow{e}{-4\pi iz} &&+ \dotsb
&&+ \Pow{e}{-2\mu\pi iz} &&+ \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1},
\end{alignedat}
\right.
\EqnTag{III}{I}{15}
\]
%% -----File: 075.png---Folio 63-------
et en remarquant qu'on a, pour chaque indice~$\nu$,
\[
  \int_{\alpha\gamma'\beta}  \Pow{e}{ 2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz
+ \int_{\alpha\gamma''\beta} \Pow{e}{-2\nu\pi iz}\, f(z)\, dz
= 2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau,
\]
puisque la fonction~$f(z)$ est, par hypothèse, holomorphe à l'intérieur
du contour $C$, on trouve d'abord
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m f(\nu)
& = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
  + 2\sum^{\mu}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\
%
&\quad + \int_{\alpha\gamma''\beta}
    \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}\, dz
  + \int_{\alpha\gamma''\beta}
    \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}\, dz.
\end{aligned}
\right.
 \EqnTag{III}{I}{16}
\]

Supposons maintenant la condition
\[
\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2(\mu+1)\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0
\]
vérifiée uniformément pour $\alpha\leqq\tau\leqq\beta$ et la fonction~$f(z)$ holomorphe
dans la bande correspondante.

En choisissant pour le contour~$C$ le même rectangle que \Pgref{page}{page56},
et en faisant croître~$\delta$ indéfiniment, on trouve alors que les parties
des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés
horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la
formule~\Eref{III}{I}{16} se simplifie.

Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à
l'heure soient remplies pour $0 \leqq \tau \leqq n$; remplaçons dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16}
$n$~par~$n-1$ et~$m$ par l'unité, faisons tendre~$\alpha$ vers~$0$, $\beta$ vers~$n$ et~$\delta$
vers~$\infty$, et ajoutons aux deux membres le terme~$f(0)$. En suivant
fidèlement la méthode exposée au \no\Sref{29}, nous trouvons ainsi la
formule dont nous aurons bientôt à faire usage:
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sum^{n-1}_0 f(\nu)
&= \frac{1}{2}\bigl[f(0) - f(n)\bigr] + \int^n_0 f(\tau)\, d\tau \\
&\quad
  + 2\sum^{\mu}_1 \int^n_0 f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\
&\quad
  + 2\int^{\infty}_0\bigl[q(n,t) - q(0,t)\bigr]\,
                   \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt.
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{VII}
\]

\Paragraph{32.} Nous avons établi les formules des \nos\Sref{27}--\Sref{31} en supposant
%% -----File: 076.png---Folio 64-------
la fonction~$f(z)$ holomorphe en tout point de la région limitée
par le contour d'intégration. Mais il est facile de voir comment se
modifient ces formules dans le cas où~$f(z)$, tout en restant uniforme
dans cette région, y possède un nombre fini de points singuliers.

Pour fixer les idées, supposons que la fonction~$f(z)$ présente
ce caractère dans la bande~$B$, définie par les inégalités $\alpha < \tau < \beta$,
et cherchons comment se modifie la formule~\Eref{III}{I}{I}. Pour arriver à un
résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des points
singuliers de~$f(z)$ compris dans~$B$ n'est situé sur l'axe réel.

Reprenons alors la formule~\Eref{III}{I}{2}, en choisissant le contour~$C$
comme à la \Pgref{page}{page56}, mais en prenant~$\delta$ assez grand pour que les
points singuliers dont il s'agit soient tous intérieurs à ce contour.

Dans l'hypothèse actuelle, on doit d'abord tenir compte du
dernier terme de la formule~\Eref{III}{I}{2}, qui s'écrit $-\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr)$,
ce qui constitue une première modification du raisonnement donné
au \no\Sref{27}; d'autre part, les égalités~\Eref{III}{I}{7} devront maintenant être
remplacées par les suivantes:
\begin{align*}
\int_{\alpha \gamma' \beta}  f(z)\, dz
&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
   - 2\pi i\, \residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr), \\[1ex]
\int_{\alpha \gamma'' \beta} f(z)\, dz
%
&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
   + 2\pi i\, \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr),
\end{align*}
$B_1$ et~$B_2$ désignant respectivement les moitiés supérieure et inférieure
de la bande~$B$. Le reste de notre raisonnement ne subit
aucune modification, et nous arrivons donc à cette conclusion que,
\textit{dans l'hypothèse admise ci-dessus, on doit retrancher du
second membre de la formule~\Eref{III}{I}{I} l'expression}
\[
\residuesum_B \pi\cot\pi z\bigl(f(z)\bigr)
+ \pi i\, \biggl\{\residuesum_{B_1}\bigl(f(z)\bigr)
                - \residuesum_{B_2}\bigl(f(z)\bigr)\biggr\},
\]
laquelle, à l'aide des substitutions indiquées au début du \no\Sref{27},
peut encore être mise sous la forme
\[
2\pi i\, \biggl\{
    \residuesum_{B_2} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1}
  - \residuesum_{B_1} \frac{\bigl(f(z)\bigr)}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
  \biggr\}.
\]

Les autres formules subiront des modifications analogues.

%% -----File: 077.png---Folio 65-------

\Paragraph{33.} Voici une dernière transformation de la formule~\Eref{III}{I}{2} qui
s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin.
Supposons de nouveau la fonction~$f(z)$ holomorphe sur~$C$ et à
l'intérieur de ce contour. Il en sera alors de même de sa fonction
intégrale~$F(z)$, et, en intégrant par parties, on pourra donc écrire
la formule dont il s'agit sous la forme
\[
\sum^n_m f(\nu) = \frac{1}{2\pi i} \int_C
    \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz.
\]

Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de
la \Pgref{page}{page57b} soient vérifiées pour la fonction~$F(z)$, et choisissons le
contour~$C$ comme au \no\Sref{27}. En observant que le module de~$\sin\pi z$
se comporte asymptotiquement comme l'expression~$\smfrac{1}{2}\Pow{e}{\pi \Abs{t}}$ sur toute
droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de
faire tendre successivement~$\delta$ et~$n$ vers l'infini, dans l'égalité ci-dessus,
et l'on obtient ainsi la formule
\[
\sum^{\infty}_m f(\nu)
= -\frac{1}{2\pi i} \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty}
    \Pow{\left(\frac{\pi}{\sin \pi z}\right)}{2} F(z)\, dz,
\EqnTag{III}{I}{VIII}
\]
$\alpha$~étant un nombre quelconque compris entre $m-1$~et~$m$.

\Paragraph{34.} Passons à la formule~\Eref{III}{I}{3} et indiquons-en rapidement quelques
transformations, analogues à celles que nous avons fait subir plus
haut à la formule~\Eref{III}{I}{2}.

Admettons que \textit{la fonction~$f(z)$ est holomorphe dans la
bande $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$} et que \textit{l'égalité}
\[
\lim_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, f(\tau + it) = 0
\tag{A${}_1$}
\Pagelabel{eqn:III.I.A1}
\]
\textit{a lieu uniformément pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$}.

En choisissant le contour~$C$ comme au \no\Sref{27}, la formule~\Eref{III}{I}{3}
est alors applicable quel que soit~$\delta$, et devient pour $\delta =\infty$:
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\
&\quad
  = \frac{1}{2\pi i}\, \lim_{\delta=\infty} \left[\,
    \int^{\beta + i\delta}_{\beta - i\delta}  \frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz
  - \int^{\alpha + i\delta}_{\alpha - i\delta}\frac{\pi}{\sin\pi z}\, f(z)\, dz
  \right].
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{IX}
\]

%% -----File: 078.png---Folio 66-------

Si l'on pose
\[
\frac{1}{2i\, \sin\pi z} \equiv \frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}
  = - \bigl[\Psi_1(\tau,t) + iX_1(\tau,t)\bigr],
\]
d'où
\[
\left\{
\begin{aligned}
\Psi_1(\tau,t)
&= \frac{\cos\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t})}
        {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}}, \\[1ex]
X_1(\tau,t)
&= \frac{\sin\pi\tau(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})}
        {\Pow{e}{2\pi t} - 2\cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-2\pi t}},
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{17}
\]
et d'autre part, en se servant toujours de la notation~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12},
\[
Q_1(\tau,t) = p(\tau,t)\, X_1(\tau,t) + q(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t),
\EqnTag{III}{I}{18}
\]
on pourra écrire~\Eref{III}{I}{IX} sous la forme
\[
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
  = 2\int^{\infty}_0 \bigl[Q_1(\beta,t) - Q_1(\alpha,t)\bigr]\, dt.
\tag{IX${}'$}
\Pagelabel{eqn:III.I.IXpr}
\]

Resserrons les hypothèses, en supposant que \textit{les conditions
énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soit~$\beta$}, et
que \textit{la fonction~$f(z)$ est assujettie à la condition}
\[
\lim_{\tau = \infty} \int^{+\infty}_{-\infty}
  \Pow{e}{-\pi\Abs{t}}\, \Abs{f(\tau +it)}\, dt = 0.
\tag{B${}_1$}
\Pagelabel{eqn:III.I.B1}
\]
On pourra alors faire croître indéfiniment le nombre~$n$ dans les
formules ci-dessus, et l'on trouve ainsi
\[
\sum^{\infty}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
  = -\int^{\alpha + i\infty}_{\alpha - i\infty}
     \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}
  = -2\int^{\infty}_0 Q_1(\alpha,t)\, dt.
\EqnTag{III}{I}{X}
\]

Lorsque~$\alpha = m-\smfrac{1}{2}$ ou~$\beta = n + \smfrac{1}{2}$, les formules précédentes
prennent un aspect plus simple, à cause de la relation
\[
Q_1\left(\nu + \smfrac{1}{2}\right)
  = \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{p\left(\nu + \smfrac{1}{2},t\right)}
                    {\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}.
\EqnTag{III}{I}{19}
\]
D'autres modifications de ces formules s'obtiennent en faisant
coïncider $\alpha$ ou~$\beta$ avec l'une des limites~\Eref{III}{I}{6}. Ainsi la formule~\Eref{III}{I}{IX}
%% -----File: 079.png---Folio 67-------
devient, pour $\alpha = m$, $\beta = n$,
\[
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
&= \Pow{(-1)}{m} \frac{f(m)}{2} + \Pow{(-1)}{n} \frac{f(n)}{2} \\
&\quad -2 \int^{\infty}_0
    \frac{\Pow{(-1)}{m} q(m,t) - \Pow{(-1)}{n} q(n, t)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}\, dt,
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{I}{XI}
\]
et la formule~\Eref{III}{I}{X}, pour $m = 1$, $\alpha = 0$,
\[
\sum^{\infty}_1 \Pow{(-1)}{\nu+1} f(\nu)
= \smfrac{1}{2}f(0)
  + 2\int^{\infty}_0 \frac{q(0,t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}.
\EqnTag{III}{I}{XII}
\]

En adoptant les notations du \no\Sref{27}, on pourra écrire la formule~\Eref{III}{I}{3}
sous la forme suivante:
\[
\sum^{n}_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
= \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}
- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{f(z)\, dz}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}},
\]
la fonction~$f(z)$ étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur
du contour~$C$. Substituons respectivement dans les deux intégrales
\begin{align*}
\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}
&= \phantom{-}
    \sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{-(2\nu+1)\pi iz}
        + \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}, \\
\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}
&= -\sum^{\mu-1}_0 \Pow{e}{ (2\nu+1)\pi iz}
        + \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}};
\end{align*}
nous obtenons une formule qui nous sera utile plus loin:
\[
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) = 2\sum^{\mu-1}_0 \int^{\beta}_{\alpha}
    f(\tau)\, \cos(2\nu+1)\pi\tau\, d\tau + R_\mu,
\EqnTag{III}{I}{20}
\]
avec
\[
R_\mu
= \int_{\alpha\gamma''\beta} \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi iz}\, f(z)}
                                  {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz
- \int_{\alpha\gamma' \beta} \frac{\Pow{e}{ 2\mu\pi iz}\, f(z)}
                                  {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, dz.
\]

Dans le cas où la fonction~$f(z)$, tout en étant uniforme et en
vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans
la bande~$B$, définie par l'inégalité $\alpha<\tau<\beta$, un nombre fini de
points singuliers, distincts des points $m,~m + 1, \dotsc,~n$, on doit
%% -----File: 080.png---Folio 68-------
dans les formules précédentes retrancher du second membre le
terme $\residuesum_B\smfrac{\pi}{\sin\pi z}\bigl(f(z)\bigr)$, comme le montre l'égalité~\Eref{III}{I}{3}.
\bigskip

% The following section is presented in a different font style and size
\Paragraph{35.} {\small\textit{Notes historiques.}---L'histoire des formules sommatoires que nous
venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle
difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous publierons
ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans
avoir d'ailleurs la prétention d'être complet.

C'est la formule~\Eref{III}{I}{VI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VI}, qui a attiré d'abord l'attention des géomètres.
Elle a été donnée en~1820 par \bsc{Plana}, dans un Mémoire intitulé:
\textit{Sur une nouvelle expression analytique des nombres bernoulliens,
propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation
des suites} (\textit{Memorie della Accademia di Torino}, t.~XXV,
p.~403--418). Comme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi
cette formule, \textit{aussi remarquable par sa simplicité que par sa généralité},
en partant de la formule sommatoire d'Euler, donc par un calcul
purement formel.

Trois ans plus tard, \bsc{Abel} est de son côté arrivé à cette formule \textit{très
remarquable}, en suivant identiquement la même voie que Plana. \textit{Voir} la
Note: \textit{Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies}
(\textit{{\OE}uvres complètes d'Abel}, édition Sylow-Lie, t.~I, p.~11--27), où se trouve
aussi (p.~27) la formule~\Eref{III}{I}{XII} du \no\Sref{34}. Dans une deuxième Note de
l'année~1825: \textit{L'intégrale finie $\sum\limits^n \varphi(x)$ exprimée par une intégrale
définie simple} (\textit{ibid}.,\ p.~34--39), Abel a donné diverses généralisations et
une nouvelle démonstration de la formule~\Eref{III}{I}{VI}, mais cette démonstration
n'est pas plus rigoureuse que la première.

Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir de
fondement aux formules qui nous occupent, et, en effet, c'est \bsc{Cauchy} qui,
sans connaître les travaux de Plana et d'Abel, a donné le premier une
démonstration parfaitement exacte des formules \Eref{III}{I}{I} et~\Eref{III}{I}{III}, dans son
\textit{Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodiques}, lu
à l'Académie le 27~février 1826 (\textit{Mémoires de l'Institut}, t.~VI, p.~603--612),
Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstration
de Cauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, et qui est,
à un certain point de vue, la plus simple qu'on puisse donner, fournit
immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant
Cauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme figurant au
premier membre se réduit à un seul terme.

Il restait donc encore une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait \bsc{Schaar}
dans un travail intitulé: \textit{Mémoires sur les intégrales eulériennes et sur
la convergence d'une certaine classe de séries} (\textit{Mémoires couronnés et
Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgique},
t.~XXII, 1848, p.~3--25), travail qui aurait bien mérité de ne pas tomber
dans l'oubli.

%% -----File: 081.png---Folio 69-------

% [** PP: Corrected five typos found by DP:stegel]
Il en est de même du Mémoire de \bsc{Genocchi}: \textit{Sulla formula sommatoria
% Eulero et sulla -> Eulero e sulla; dei residui -> de' residui
di Eulero e sulla teorica de' residui quadratici} (\textit{Annali di
% et fisiche -> e fisiche
Scienze matematiche e fisiche}, t.~III, 1852, p.~406--436), qui renferme
des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que
d'un second Mémoire du même auteur: \textit{Intorno ad alcune formule
sommatorie} (\textit{ibid}.,\ t.~VI, 1855, p.~70--114), où sont précisées les conditions
dans lesquelles sont applicables les formules de Cauchy et Schaar.

Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport
% integrali à -> integrali a
au même sujet, par \bsc{Tortolini}: \textit{Sopra gli integrali a differenze finite
% mat.\ et fis -> mat.\ e fis
espressi per integrali definiti} (\textit{Annali di Scienze mat.\ e fis}.,\ t.~IV,
1853), et par \bsc{Mainardi}: \textit{Intorno ad una equazione di Poisson} (\textit{ibid}.).

A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient
restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en~1889, date à laquelle
\bsc{Kronecker} est revenu sur le sujet dans son Mémoire: \textit{Bemerkungen über
die Darstellung von Reihen durch Integrale} (\textit{Journal de Crelle}, t.~105,
p.~345--354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans
connaître ni celui de Cauchy, ni ceux de Schaar et de Genocchi.

De son côté, M.~\bsc{Petersen} a donné une démonstration et diverses applications
de la formule d'Abel, dans ses \textit{Vorlesungen über Funktionstheorie}
(Copenhague,~1898). D'autres applications des formules sommatoires ont
été données par \bsc{Hermite} et par MM.~\bsc{Mellin}, \bsc{Jensen} et~H.~\bsc{Weber}, dans
des Mémoires que nous citerons ultérieurement.

Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en
avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé:
\textit{Quelques applications d'une formule sommatoire générale} (\textit{Acta
Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no3, 1902), dont un extrait
a été publié dans le Tome~XXVII des \textit{Acta Mathematica}, et auquel nous
avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.}
% [** End of small]


\Section{III}{II}{Quelques applications des formules précédentes.}

\Paragraph{36.} Comme première application, faisons dans la formule~\Eref{III}{I}{III}
$f(z)=\log z$, d'où il résulte, d'après la seconde des égalités~\Eref{III}{I}{12},
\[
q(\tau,t) = \arc\tang \frac{t}{\tau}.
\]
En prenant $m = 1$, nous trouvons ainsi
\begin{align*}
\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n)
= \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n -n +1
&- 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1} \\
&+ 2\int^{\infty}_0 \arc\tang \frac{t}{n}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t } - 1}.
\end{align*}

%% -----File: 082.png---Folio 70-------

On a d'autre part, par la formule de Stirling,
\[
\log(1\cdot2\dotsm\dotsm n)
= \left(n+\smfrac{1}{2}\right)\log n - n + \log\sqrt{2\pi} + \eps(n),
\EqnTag{III}{II}{1}
\]
$\eps(n)$~tendant vers zéro lorsque~$n$ croît indéfiniment, et, comme le
dernier terme de l'égalité précédente jouit de la même propriété,
on en déduit
\[
1 - 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}
  = \log\sqrt{2\pi}.
\EqnTag{III}{II}{2}
\]

Soit, en second lieu, $f(z)=\smfrac{1}{z}$, d'où $q(\tau,t)=-\smfrac{t}{\Pow{\tau}{2}+\Pow{t}{2}}$, et
appliquons encore la formule~\Eref{III}{I}{III}. On aura, en faisant tendre~$n$
vers l'infini,
\[
\lim_{n=\infty} \biggl(\sum^n_m \frac{1}{\nu} - \log n\biggr)
  = \smfrac{1}{2m} - \log m
    + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} +\Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}.
\]

Pour $m = 1$, le premier membre est, par définition, égal à \textit{la
constante d'Euler}; en la désignant par~$C$, on aura donc
\[
C = \smfrac{1}{2}
    + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\EqnTag{III}{II}{3}
\]
expression due à Poisson\footnotemark. D'autre part, en ajoutant aux deux
membres de l'égalité ci-dessus la somme $1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb +\smfrac{1}{m-1}$,
on en déduit la formule, avantageuse pour le calcul de~$C$:
\[
C = 1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{m-1} + \smfrac{1}{2m} - \log m
    + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{m}{2} + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}.
\]
\footnotetext{\textit{Mémoires de l'Institut de France}, Année~1811, seconde Partie, p.~223.}%

Les applications qui précèdent avaient été données déjà par
Plana et Abel, dans les Mémoires cités page~68.

\Paragraph{37.} Faisons maintenant dans nos formules $f(z) = \Pow{e}{-xz}$, d'où
\[
p(\tau,t)= \Pow{e}{-x\tau}\, \cos xt, \quad
q(\tau,t)=-\Pow{e}{-x\tau}\, \sin xt,
\]
Ceci est permis si l'on suppose~$x$ \textit{réel et positif}, car les conditions
de la \Pgref{page}{page57a} sont alors vérifiées quels que soient $\alpha$ et~$\beta$.

%% -----File: 083.png---Folio 71-------

Appliquons d'abord la formule~\Eref{III}{I}{V}, \Pgref{page}{eqn:III.I.V}, avec $m = 1$; il vient
\[
\frac{1}{\Pow{e}{x}-1} = - \smfrac{1}{2} + \smfrac{1}{x}
  + 2\int^{\infty}_0 \frac{\sin xt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt,
\EqnTag{III}{II}{4}
\]
égalité due à Legendre. En développant le dernier terme suivant
les puissances de~$x$, et en comparant le résultat avec l'égalité~\Eref{II}{II}{5},
\Pgref{page}{eqn:II.II.5}, on en déduit pour les nombres de Bernoulli l'expression
\[
B_k = 4k \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k-1}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}
= \frac{2k(2k-1)}{\pi} \int^{\infty}_0
    \Pow{t}{2k-2}\, \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt,
\EqnTag{III}{II}{5}
\]
qui, sous une forme différente, avait été donnée déjà par Euler.
C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel
avaient établi leur formule sommatoire.

% [** equation III.I.II' -> eqn:III.I.IIpr]
La formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, nous donne, en faisant $m = 1$,
$0 <\alpha < 1$, et en multipliant les deux membres par~$\Pow{e}{\alpha x}$,
\[
\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} - 1} = \smfrac{1}{x}
  + 2\int^{\infty}_0 \Psi(\alpha,t)\, \sin xt\, dt
  - 2\int^{\infty}_0    X(\alpha,t)\, \cos xt\, dt.
\]

En remplaçant dans cette égalité $\alpha$ et~$x$ respectivement par~$x$
et~$z$, et en développant ensuite le second membre suivant les puissances
ascendantes de~$z$, on en déduit, par comparaison avec l'égalité~\Eref{II}{II}{9},
\Pgref{page}{eqn:II.II.9}, pour les polynomes~$\varphi_\nu(x)$ les expressions\footnotemark
\[
\EqnTag{III}{II}{6}
\left\{
\begin{aligned}
\varphi_{2k}(x)
&= \Pow{(-1)}{k+1} 4k \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k-1}\, \Psi(x,t)\, dt \\
%
\varphi_{2k+1}(x)
&= \Pow{(-1)}{k+1} (4k+2) \int^{\infty}_0 \Pow{t}{2k}\,  X(x,t)\, dt
\end{aligned}
%
\qquad
\begin{aligned}
&(k=1, 2, \dotsc),   \vphantom{\Bigg|} \\
&(k=0, 1, 2, \dotsc).\vphantom{\Bigg|}
\end{aligned}
\right.
\]
\footnotetext{Lorsqu'on substitue, dans les formules~\Eref{III}{II}{6}, aux expressions~$\Psi(x, t)$ et~$X(x, t)$
leurs développements
\[
\Psi(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \cos 2\nu\pi x,\qquad
   X(x,t) = \sum^{\infty}_1 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \sin 2\nu\pi x,
\]
qui se déduisent immédiatement de l'égalité~\Eref{III}{I}{10}, \Pgref{page}{eqn:III.I.10}, on retrouve les formules
\Eref{II}{II}{11} et~\Eref{II}{II}{13} du \no\Sref{18}.}%
% [** End of footnote]

Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonctions
analytiques holomorphes de~$x$ dans la bande comprise entre
l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point $x = 1$.
Comme nous avons démontré les égalités~\Eref{III}{II}{6} pour $0<x<1$, il
%% -----File: 084.png---Folio 72-------
en résulte, d'après le principe fondamental du prolongement analytique,
qu'elles sont vérifiées pour tout point de cette bande.

Comme les seconds membres des égalités~\Eref{III}{II}{6} sont des fonctions
périodiques de~$x$ de période~$1$, nous pouvons affirmer d'autre
part qu'ils se confondent, pour les valeurs réelles de~$x$, avec les
fonctions désignées plus haut par $\overline{\varphi}_{2k}(x)$, $\overline{\varphi}_{2k+1}(x)$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{eqn:II.II.11}).

Passons aux formules du \no\Sref{34}. En faisant dans la formule~\Eref{III}{I}{X}
$m = 1$, $\alpha =\smfrac{1}{2}$, multipliant les deux membres par~$\Powfr{e}{\fnfrac{x}{2}}$, et remplaçant~$x$
par~$2iz$, on en déduit
\[
\fsec z = 2 \int_0^\infty
              \frac{\Pow{e}{2zt} + \Pow{e}{-2zt}}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt.
\]
Développons le second membre suivant les puissances de~$z$ et
comparons le résultat à l'égalité~\Eref{II}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:II.II.7}; il viendra\footnotemark
\[
E_k = \Pow{4}{k+1} \int_0^\infty \frac{\Pow{t}{2k}\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}.
\EqnTag{III}{II}{7}
\]
\footnotetext{Cette expression est due à \bsc{Catalan} (\textit{Mémoires de la Société des Sciences
de Liége}, série~II, t.~XII, p.~110).}%
% [** End of footnote]

Pour une valeur quelconque de~$\alpha$ comprise entre $0$ et~$1$, la même
formule~\Eref{III}{I}{X} nous donne, en multipliant par~$\Pow{e}{\alpha x}$,
\[
\frac{\Pow{e}{\alpha x}}{\Pow{e}{x} + 1}
  = 2 \int_0^\infty    X_{1}(\alpha,t)\, \cos xt\, dt
  - 2 \int_0^\infty \Psi_{1}(\alpha,t)\, \sin xt\, dt,
\]
et la comparaison de cette égalité avec l'égalité~\Eref{II}{II}{19}, \Pgref{page}{eqn:II.II.19}, conduit
aux expressions suivantes des polynomes~$\chi_\nu(x)$:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \chi_{2k}(x)   &= \Pow{(-1)}{k}   2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k}\,   X_1(x,t)\, dt \\
  \chi_{2k+1}(x) &= \Pow{(-1)}{k+1} 2 \int_0^\infty \Pow{t}{2k+1}\, \Psi_1(x,t)\, dt
  \end{aligned}
  \right.
  \qquad (k=0, 1, 2, \dotsc).
\EqnTag{III}{II}{8}
\]

Les égalités~\Eref{III}{II}{8} sont valables dans la même bande que les égalités~\Eref{III}{II}{6}
et, pour les valeurs réelles de~$x$, leurs seconds membres
se confondent avec les fonctions périodiques $\overline{\chi}_{2k}(x)$, $\overline{\chi}_{2k+1}(x)$,
définies \Pgref{page}{eqn:II.II.20}. Elles mettent d'ailleurs en évidence que, dans
%% -----File: 085.png---Folio 73-------
l'intervalle $0<x<1$, le polynome~$\chi_{2k}(x)$ garde un signe invariable,
à savoir celui de~$\Pow{(-1)}{k}$, et que~$\chi_{2k+1}(x)$ n'y admet pas
d'autre zéro que $x =\smfrac{1}{2}$\footnotemark.
\footnotetext{On attribue généralement les formules~\Eref{III}{II}{6} à Raabe et les formules~\Eref{III}{II}{8} à
Hermite. Mais en fait ces formules se trouvent dans le Mémoire de Cauchy de
l'année~1814 (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~I, p.~458--460) et, au dire de Cauchy, elles se
déduisent de divers résultats trouvés par Euler.\Pagelabel{page68}}
% [** End of footnote]

\Paragraph{38.} En terminant ces applications, qu'il serait d'ailleurs facile
de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos formules
générales les propriétés des sommes
\[
\sum_{\nu=0}^{n-1} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}}
\EqnTag{III}{II}{9}
\]
que Gauss a le premier introduites dans l'Analyse. Les nombres $n$
et~$p$ sont des entiers positifs sans diviseur commun dont l'un est
pair et l'autre impair\footnote{%
Si $n$ et~$p$ sont tous deux impairs, la somme~\Eref{III}{II}{9} est évidemment égale à~$1$.}.
% [** End of footnote]

A cet effet, reportons-nous aux résultats établis au \no\Sref{31}; en
faisant $f(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{z}{2}}\!\!$, on aura les deux égalités:
\begin{gather*}
  q(\tau,t) = \smfrac{i}{2}\,
    \Powfr{e}{ \fnfrac{ p\pi i}{n}(\Pow{\tau}{2} - \Pow{t}{2}) }
    \biggl(\Powfr{e}{ \fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}
         - \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}\biggr)\,, \\
%
  \Abs{f(\tau + it)} = \Powfr{e}{-\fnfrac{2p\pi}{n}\tau t}.
\end{gather*}
Cette dernière égalité montre que l'expression
\[
\Pow{e}{-2p\pi \Abs{t}}\, f(\tau + it)
\]
tend uniformément vers zéro pour $0\leqq\tau\leqq n-\eps$, quelque petit que
soit~$\eps$, lorsque~$t$ tend vers~$\pm\infty$, et que, d'autre part, le module de
cette expression reste inférieur ou égal à l'unité pour $0\leqq\tau\leqq n$,
quel que soit~$t$. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité~\Eref{III}{I}{16},
\Pgref{page}{eqn:III.I.16}, $\mu = p-1$, $\alpha = 0$, $\beta = n$, les intégrales prises le long des
côtés horizontaux du contour~$C$ s'annuleront lorsque $\delta$~croît indéfiniment,
de sorte qu'on pourra appliquer la formule~\Eref{III}{I}{VII} en posant
%% -----File: 086.png---Folio 74-------
$\mu=p-1$. Comme on a d'ailleurs $q(0, t) = 0$ et~$f(0)-f(n)=0$,
on trouve ainsi pour la somme~\Eref{III}{II}{9} l'expression
\[
\int_0^n F_0(\tau)\, d\tau
  + 2 \sum_1^{p-1} \int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau
  + i \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}}
    \left(\frac{\Pow{e}{2\pi t} - \Pow{e}{-(4p-2)\pi t}}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\right)\, dt,
\EqnTag{III}{II}{10}
\]
où $F_\nu(z) = \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\, \Pow{z}{2}}\, \cos 2\nu\pi z$. Écrivons
\[
\int_0^n F_\nu(\tau)\, d\tau
  = \int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau
  - \int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau.
\]
D'après l'égalité~\Eref{II}{III}{3}, \Pgref{page}{eqn:II.III.3}, on aura, pour $\nu=0,~1, \dotsc,~p-1$,
\[
\int_0^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau
  = \smfrac{1}{2}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\,
      \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4} - \fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}},
\]
et, d'autre part, on conclut facilement de l'inégalité
\[
\Abs{F_\nu(\tau + it)} < \Powfr{e}{-\fnfrac{2\pi t}{n}(p\tau - \nu n)}
  \qquad (t>0),
\EqnTag{III}{II}{11}
\]
qui se vérifie immédiatement, qu'on pourra écrire
\[
\int_n^\infty F_\nu(\tau)\, d\tau = i\int_0^\infty F_\nu(n+it)\, dt
  \equiv \frac{i}{2} \int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2} - 2p\pi t}
  (\Pow{e}{2\nu\pi t} + \Pow{e}{-2\nu\pi t})\, dt.
\]
En effet, le théorème fondamental de Cauchy nous donne, en désignant
par~$n'$ et~$\delta$ des nombres positifs dont~$n'>n$,
\[
\int_n^{n'} F_\nu(\tau)\, d\tau
  = i\int_0^\delta F_\nu(n+it)\, dt
    +  \int_n^{n'} F_\nu(\tau+i\delta)\, d\tau
    - i\int_0^\delta F_\nu(n'+it)\, dt,
\]
et comme l'on a $p\tau - \nu n>0$ pour $\tau \geqq n$, $\nu$~ayant l'une quelconque
des valeurs $0,~1, \dotsc,~p-1$, il résulte de l'inégalité~\Eref{III}{II}{11} que, lorsqu'on
fait tendre d'abord~$\delta$ et ensuite~$n'$ vers l'infini, les deux derniers
termes du second membre s'évanouiront successivement, de
sorte qu'on obtiendra bien l'égalité voulue.

Par conséquent la somme des deux premiers termes de l'expression~\Eref{III}{II}{10}
peut se mettre sous la forme
\[
\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\frac{n}{p}}\, \Biggl(
  \smfrac{1}{2} + \sum_{\nu=1}^{p-1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}
  \Biggr)
  + i\int_0^\infty \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}} \biggl(
    \frac{\Pow{e}{-(4p-2)\pi t} - 1}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\biggr)\, dt,
\]
%% -----File: 087.png---Folio 75-------
de sorte que l'expression elle-même devient
\[
\Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}\, \Biggl(
  \smfrac{1}{2} + \sum^{p-1}_{\nu=1} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}}
  \Biggr)
  + i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{t}{2}}\, dt.
\]
Or on a, d'après l'égalité~\Eref{II}{III}{2}, \Pgref{page}{eqn:II.III.2},
\[
i\int^{\infty}_0 \Powfr{e}{-\fnfrac{p\pi i}{n} \Pow{t}{2}}\, dt
  = \smfrac{i}{2}\, \Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}}
  = \smfrac{1}{2}\, \Powfr{e}{ \fnfrac{\pi i}{4}} \sqrt{\smfrac{n}{p}},
\]
et nous arrivons donc finalement à cette relation remarquable
\[
\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{p\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}}
  = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{4}}\sqrt{\smfrac{n}{p}}\,
      \sum^{p-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{-\fnfrac{n\pi i}{p}\Pow{\nu}{2}},
\]
qui est due à Schaar\footnote{%
\textit{Mém.\ cour.\ et autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~XXIV
et~XXV\@. Dans le premier des Mémoires cités page~69, Genocchi avait déduit des
formules sommatoires la relation de Schaar et d'autres relations plus générales du
même genre, mais son raisonnement n'est pas rigoureux. \textit{Voir} aussi un Mémoire
de M.~\bsc{Landsberg}: \textit{Zur Theorie der Gauss'schen Summen und der linearen
Transformationen der Thetafunctionen} (\textit{Journal de Crelle}, t.~111, 1893).}, % [** End of footnote]
et d'où l'on déduit immédiatement, pour
$p = 2$, le résultat de Gauss:
\[
\sum^{n-1}_{\nu=0} \Powfr{e}{\fnfrac{2\pi i}{n}\Pow{\nu}{2}}
  = \frac{1 - \Pow{i}{n}}{1-i}\sqrt{n},
\]
$n$~étant un entier positif impair\footnotemark.
\footnotetext{C'est Kronecker qui le premier a établi rigoureusement cette formule à
l'aide du calcul des résidus (\textit{Journal de Crelle}, t.~105, p.~267). \textit{Voir} aussi un
Mémoire de M.~H.~\bsc{Weber}: \textit{Ueber Abel's Summation endlicher Differenzenreihen
(Acta Mathematica}, t.~XXVII).}
% [** End of footnote 2]


\Section{III}{III}{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues.}

\Paragraph{39.} Les applications qui précèdent ont déjà montré l'utilité des
formules sommatoires établies plus haut, et les Chapitres suivants
en feront encore ressortir l'importance pour le prolongement et
pour l'étude asymptotique des fonctions. S'il s'agit de calculs
%% -----File: 088.png---Folio 76-------
numériques, il est cependant préférable de transformer ces formules, en
développant en séries les intégrales définies qu'elles renferment.
Il est vrai que les séries que l'on obtient ainsi sont pour la plupart
divergentes, de sorte qu'elles ne sauraient fournir une approximation
indéfinie. Mais, en revanche, elles jouissent souvent de
cette propriété intéressante, et qui pour le calcul est précisément la
plus importante, à savoir que leurs termes successifs, ainsi que
leur reste, commencent par décroître rapidement, d'où il résulte
qu'on pourra souvent atteindre une grande précision en ne calculant
qu'un petit nombre de termes.

Les séries en question s'obtiennent en développant dans les formules
générales les expressions $p(\tau,t)$ et~$q(\tau,t)$ suivant les puissances
ascendantes de~$t$. On a généralement par le théorème de
Taylor, en supposant la fonction~$F(t)$ (réelle ou imaginaire) continue
ainsi que ses $\mu$~premières dérivées,
\[
F(t) = F(0) + F'(0)\frac{t}{1!} +
  \dotsb + \Pow{F}{\mu-1}(0) \frac{\Pow{t}{\mu-1}}{(\mu-1)!} + R_\mu,
\]
avec
\[
R_\mu = \frac{\Pow{t}{\mu}}{(\mu-1)!}
     \int^1_0 \Pow{(1-u)}{\mu-1} \Pow{F}{(\mu)}(ut)\, du.
\]
Or on conclut des égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12}, lorsque $\nu$~est \textit{pair},
\[
\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau),\qquad
\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = 0,
\]
et, pour $\nu$~\textit{impair},
\[
\Pow{D}{(\nu)}_t p(\tau,0) = 0,\qquad
\Pow{D}{(\nu)}_t q(\tau,0) = \Powfr{(-1)}{\fnfrac{\nu-1}{2}}\, \Pow{f}{(\nu)}(\tau),
\]
et, par suite, en appliquant aux expressions $p(\tau, t)$, $q(\tau, t)$ l'égalité
ci-dessus, avec $\mu= 2k$ ou~$\mu= 2k+1$, on trouve:
\begin{align*}
p(\tau,t)
&= f(\tau) - f'(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{2!} + \dotsb
    + \Pow{(-1)}{k-1}\,\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-2}}{(2k-2)!}
    + p_{2k}(\tau,t), \\
%
q(\tau,t)
&= f'(\tau)t - f''(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2}}{3!} + \dotsb
    + \Pow{(-1)}{k-1}\, \Pow{f}{(2k-1)}(\tau)\, \frac{\Pow{t}{2k-1}}{(2k-1)!}
    + q_{2k+1}(\tau,t),
\end{align*}
$p_{2k}(\tau,t)$ et~$q_{2k+1}(\tau,t)$ désignant respectivement les expressions
\[
\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k}}{(2k-1)!}
  \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k-1}\bigl[\Pow{f}{(2k)}(\tau+iut)
                                + \Pow{f}{(2k)}(\tau-iut)\bigr]\, du,
\]
%% -----File: 089.png---Folio 77-------
et
\[
\frac{\Pow{(-1)}{k}}{2}\, \frac{\Pow{t}{2k+1}}{(2k)!}
  \int^1_0 \Pow{(1-u)}{2k} \bigl[\Pow{f}{(2k+1)}(\tau+iut)
                               + \Pow{f}{(2k+1)}(\tau-iut)\bigr]\, du.
\]

En substituant maintenant à $p(\tau, t)$ et~$q(\tau, t)$ les développements
qu'on vient d'écrire, on trouve successivement, d'après
l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5},
\begin{align*}
2\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}
&= \frac{B_1}{2}\, f'(\tau) - \frac{B_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\
%
&\quad + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!}
  + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}\, dt;
\end{align*}
d'après l'égalité~\Eref{III}{I}{13}, \Pgref{page}{eqn:III.I.13}, et les égalités~\Eref{III}{II}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.II.6},
\begin{align*}
2\int^{\infty}_0 Q(\tau, t)\, dt
&= -\overline{\varphi}_1(\tau)\, f(\tau)
   + \frac{\overline{\varphi}_2(\tau)}{2}\, \frac{f'(\tau)}{1!}
   - \dotsb
   + \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)}{2k}\,
     \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\
&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[
    p_{2k}(\tau,t)\, X(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi(\tau,t)\bigr]\, dt,
\end{align*}
formule qui, pour $\tau = \nu+\smfrac{1}{2}$, en vertu des égalités~\Eref{III}{I}{14}, \Pgref{page}{eqn:III.I.14},
et~\Eref{II}{II}{17}, \Pgref{page}{eqn:II.II.17}, se réduit à la suivante:
\begin{align*}
\int^{\infty}_0 \frac{q(\tau,t)\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}
&= \frac{B'_1}{2}\, f'(\tau)
 - \frac{B'_2}{4}\, \frac{f'''(\tau)}{3!} + \dotsb \\
&\quad
 + \Pow{(-1)}{k-1} \frac{B'_k}{2k}\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!}
 + 2\int^{\infty}_0 \frac{q_{2k+1}(\tau,t)}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}\, dt;
\end{align*}
d'après les égalités~\Eref{III}{I}{18}, \Pgref{page}{eqn:III.I.18}, et~\Eref{III}{II}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.II.8},
\begin{align*}
2\int^{\infty}_0 Q_1(\tau,t)\, dt
&= \overline{\chi}_0(\tau)\, f(\tau)
  -\overline{\chi}_1(\tau)\, \frac{f'(\tau)}{1!}
  + \dotsb
  -\overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \frac{\Pow{f}{(2k-1)}(\tau)}{(2k-1)!} \\
&\quad + 2\int^{\infty}_0 \bigl[
    p_{2k}(\tau, t)\, X_1(\tau,t) + q_{2k+1}(\tau,t)\, \Psi_1(\tau,t)\bigr]\, dt,
\end{align*}
et enfin, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7},
\begin{align*}
2\int^{\infty}_0 \frac{p(\tau, t)\, dt}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}
&= \frac{1}{2} \left[
     E_0\,f(\tau) - \frac{E_1}{4}\, \frac{f''(\tau)}{2!} + \dotsb \right. \\
&\qquad\
   \left. + \Pow{(-1)}{k-1}\, \frac{E_{k-1}}{\Pow{4}{k-1}}\,
                      \frac{\Pow{f}{(2k-2)}(\tau)}{(2k-2)!} \right]
   + 2\int^{\infty}_0 \frac{p_{2k}(\tau,t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt.
\end{align*}

\Paragraph{40.} En substituant les développements ci-dessus dans les formules
établies dans la première section de ce Chapitre, on en déduit
%% -----File: 090.png---Folio 78-------
diverses formules sommatoires connues. Ainsi les formules~\Eref{III}{I}{III},
\Pgref{page}{eqn:III.I.III}, et~\hyperref[eqn:III.I.Ipr]{(I${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.Ipr}, donnent respectivement:
% [** PP: Align next few (individually-aligned!) displays]
\begin{flalign*}
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m f(\nu)
&= \smfrac{1}{2} \bigl[f(m)+f(n)\bigr] + \int^n_m f(\tau)\, d\tau \\
&\quad
  + \sum^k_{\nu=1} \Pow{(-1)}{\nu-1} \frac{B_\nu}{2\nu}\,
    \dfrac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)}{(2\nu-1)!} + R;
\qquad % [** quasi-align left braces of this and next display]
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{III}{1}
\end{flalign*}
\begin{flalign*}
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m f(\nu)
&= \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau \\
&\quad
  + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\
    \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\,  \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta)
         -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!}
  + R,
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{III}{2}
\end{flalign*}
et, en faisant $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page36}),
\begin{flalign*}
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m f(\nu)
&= \int^{n+\frac{1}{2}}_{m-\frac{1}{2}} f(\tau)\, d\tau \\
&\quad
  + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{B'_\nu}{2\nu}\,
    \frac{\Pow{f}{(2\nu-1)}(n + \fnfrac{1}{2})
        - \Pow{f}{(2\nu-1)}(m - \fnfrac{1}{2})}{(2\nu-1)!} + R.
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{III}{3}
\end{flalign*}
La formule~\hyperref[eqn:III.I.IXpr]{(IX${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IXpr}, nous donne:
\[
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu)
= \sum^{2k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\,
      \frac{\overline{\chi}_\nu(\beta)\,  \Pow{f}{(\nu)}(\beta)
           -\overline{\chi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu)}(\alpha)}{\nu!} + R,
\EqnTag{III}{III}{4}
\]
%
et en particulier, pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$,
%
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu} f(\nu) \\
&\quad
  = \frac{1}{2} \sum^{k-1}_0 \Pow{(-1)}{\nu}\, \frac{E_\nu}{\Pow{4}{\nu}}\,
      \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu)}(n + \frac{1}{2})
          + \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu)}(m - \frac{1}{2})}{(2\nu)!} + R.
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{III}{5}
\]
Enfin, en faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$ dans~\Eref{III}{III}{4}, ou bien
en utilisant la formule~\Eref{III}{I}{XI}, \Pgref{page}{eqn:III.I.XI}, on trouve
\[
\EqnTag{III}{III}{6}
\left\{
\begin{aligned}
\sum^n_m &\Pow{(-1)}{\nu}
f(\nu) = \smfrac{1}{2} \bigl[\Pow{(-1)}{m} f(m) + \Pow{(-1)}{n} f(n)\bigr] \\
& + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{(\Pow{2}{2\nu} - 1)\,B_\nu}{2\nu}\,
  \frac{\Pow{(-1)}{n}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(n) - \Pow{(-1)}{m}\, \Pow{f}{(2\nu-1)}(m)}
       {(2\nu - 1)!}
  + R.
\end{aligned}
\right.
\]

%% -----File: 091.png---Folio 79-------

D'autres formules encore pourraient se déduire de l'égalité~\Eref{III}{I}{20},
\Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et des égalités \Eref{III}{I}{16} et~\Eref{III}{I}{VII}, \Pgref{page}{eqn:III.I.VII}\footnotemark.
% [** PP: Change of page size may put previous refs on different pages!]
\footnotetext{La formule qui se déduit de~\Eref{III}{I}{VII} en y développant le dernier terme en
série, a été remarquée par Kronecker (\textit{Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin},
1885, p.~862).}
% [** End of footnote]

L'égalité~\Eref{III}{III}{1} constitue la célèbre formule sommatoire découverte
par Euler et Mac-Laurin\footnotemark;
\footnotetext{Des applications de la formule~\Eref{III}{I}{III} à la formule d'Euler ont été indiquées
successivement par Schaar, Genocchi et~Petersen dans leurs travaux cités au \no\Sref{35}.
Voir aussi p.~17--23 de notre Mémoire.} % [** End of footnote]
%
la formule~\Eref{III}{III}{6} a été donnée par
Boole, la formule~\Eref{III}{III}{2} par Sonin et Hermite\footnotemark,
\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, t.~116, p.~133--136.}
%
la formule~\Eref{III}{III}{4} par
Hermite\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Ibid}.,\ p.~145.}

Les résultats du \no\Sref{39} fournissent immédiatement l'expression
exacte du reste~$R$ dans les formules précédentes, et permettent
facilement d'en calculer une limite supérieure.

Supposons, par exemple, qu'on ait, pour toute valeur réelle
de~$t$,
\[
\Abs{\Pow{f}{(\mu)}(\tau+it)} < M_\mu(\tau),
\]
$M_{\mu}(\tau)$ étant une quantité positive qui dépendra, en général, de~$\tau$
et de~$\mu$; il en résulte
\begin{align*}
\Abs{p_{2k}(\tau,t)}   &< M_{2k}(\tau)\,   \frac{\Pow{\tau}{2k}}{(2k)!}, \\
\Abs{q_{2k+1}(\tau,t)} &< M_{2k+1}(\tau)\, \frac{\Pow{\tau}{2k+1}}{(2k+1)!}.
\end{align*}
En se servant des égalités~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, et~\Eref{III}{II}{7}, \Pgref{page}{eqn:III.II.7}, on en
déduit pour le reste de la formule d'Euler~\Eref{III}{III}{1} l'inégalité
\[
\Abs{R} < \frac{B_{k+1}}{(2k+2)!}\,
                  \bigl[M_{2k+1}(m) + M_{2k+1}(n)\bigr],
\]
et, pour le reste de la formule~\Eref{III}{III}{5},
\[
\Abs{R} < \frac{1}{2(2k)!}\;\frac{E_k}{\Pow{4}{k}}\,
  \Bigl[M_{2k}\bigl(m - \smfrac{1}{2}\bigr)
      + M_{2k}\bigl(n + \smfrac{1}{2}\bigr)\Bigr].
\]

Dans le cas où la fonction~$f(z)$ admet des points singuliers à
l'intérieur de la bande $\alpha <\tau < \beta$, les formules ci-dessus doivent
être modifiées comme il a été dit aux \nos\Sref{32} et~\Sref{34}.

%% -----File: 092.png---Folio 80-------

\Paragraph{41.} Les expressions trouvées ci-dessus pour le reste de la formule
d'Euler et des formules analogues sont différentes de celles
qu'on rencontre dans les théories élémentaires de ces formules.
Mais nous allons voir que ces dernières expressions se rattachent
encore tout naturellement à nos résultats généraux.

Reprenons, à cet effet, la formule~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16}, en y faisant
croître indéfi\-ni\-ment le nombre~$\mu$. Les deux derniers termes tendront
évidemment vers \textit{zéro}, de sorte qu'on obtient
\[
\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}f(\tau)\, d\tau
  + 2\sum^{\infty}_1 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau.
\EqnTag{III}{III}{7}
\]

On a, d'ailleurs, en intégrant par parties,
\begin{align*}
&2\int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos 2\nu\pi\tau\, d\tau \\
& \quad
  = f(\beta)\,  \frac{\sin 2\nu\pi\beta}{\nu\pi}
  - f(\alpha)\, \frac{\sin 2\nu\pi\alpha}{\nu\pi}
  - \int^{\beta}_{\alpha} f'(\tau)\, \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau,
\end{align*}
et, en se servant de l'égalité~\Eref{II}{II}{14}, \Pgref{page}{eqn:II.II.14}, on pourra donc écrire
l'équation~\Eref{III}{III}{7} sous la forme
\[
\EqnTag{III}{III}{8}
\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, d\tau
+ \overline{\varphi}_1(\alpha)\, f(\alpha)
- \overline{\varphi}_1(\beta)\,  f(\beta)
- \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau
 \]

Cependant cette dernière conclusion demande quelque précaution,
car nous y avons supposé tacitement que l'expression
\[
  \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau)\, \overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau
+ \int^{\beta}_{\alpha}f'(\tau) \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, d\tau
\EqnTag{III}{III}{9}
\]
s'annule pour $k = \infty$, ce qui n'est nullement évident, puisque la
série qui définit~$\overline{\varphi}_1(\tau)$ ne converge pas uniformément entre les
limites d'intégration. Notre conclusion n'en est pas moins exacte,
car il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page35} que le module de la
somme
\[
\overline{\varphi}_1(\tau) + \sum^k_1\frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}
\]
reste inférieur à une quantité finie~$M$ pour toute valeur de~$k$ et
%% -----File: 093.png---Folio 81-------
pour tout point~$\tau$ de l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, et d'autre part que, ayant
exclu de cet intervalle, de part et d'autre de chacun des points
$m,~m + 1, \dotsc,~n$, un segment de longueur~$\eps$ aussi petite qu'on
voudra, on pourra choisir l'entier~$k$ assez grand pour que, dans le
reste de l'intervalle, la somme en question soit numériquement
inférieure à tout nombre~$\eta$ fixé d'avance. Dans ces conditions, la
valeur absolue de l'expression~\Eref{III}{III}{9} sera donc inférieure au produit
de $\eta(\beta -\alpha) + 2\eps M(n-m+1)$ par le maximum de $\Abs{f'(\tau)}$
dans l'intervalle $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$, d'où l'on conclut que cette expression
s'annule effectivement pour $k = \infty$.

À l'aide des relations [voir l'égalité~\Eref{II}{II}{16} \Pgref{page}{eqn:II.II.16}]
\[
\overline{\varphi}'_{\nu+1}(\tau)
  = (\nu+1)\overline{\varphi}_\nu(\tau)\qquad (\nu=1, 2,\dotsc),
\]
on trouve successivement, en intégrant par parties,
\begin{align*}
\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau
&= \smfrac{1}{2!} \bigl[\overline{\varphi}_2(\beta)  f'(\beta)
                       -\overline{\varphi}_2(\alpha) f'(\alpha)\bigr]
  - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\,
      \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau, \\[1ex]
\int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_2(\tau)\, \frac{f''(\tau)}{2!}\, d\tau
&= \smfrac{1}{3!} \bigl[\overline{\varphi}_3(\beta)\,  f''(\beta)
                     -\overline{\varphi}_3(\alpha)\, f''(\alpha)\bigr]
  - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\varphi}_3(\tau)\,
      \frac{f'''(\tau)}{3!}\, d\tau,
\end{align*}
et ainsi de suite; de l'égalité~\Eref{III}{III}{8} on peut donc tirer la suivante:
\[
\EqnTag{III}{III}{10}
\sum^n_m f(\nu) = \int^{\beta}_{\alpha}\, f(\tau)\, d\tau
  + \sum^{2k}_1 \frac{\Pow{(-1)}{\nu}}{\nu}\
      \frac{\overline{\varphi}_\nu(\beta)\,  \Pow{f}{(\nu-1)}(\beta)
           -\overline{\varphi}_\nu(\alpha)\, \Pow{f}{(\nu-1)}(\alpha)}{(\nu-1)!}
  + R,
\]
où
\[
R = -\frac{1}{(2k)!} \int^{\beta}_{\alpha}
      \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau.
\]
C'est la formule~\Eref{III}{III}{2}, avec une nouvelle expression du reste.

Faisons maintenant tendre~$\alpha$ vers~$m$ et~$\beta$ vers~$n$. Les expressions
$\overline{\varphi}_1(\alpha)$ et~$\overline{\varphi}_1(\beta)$ tendront respectivement vers~$\smfrac{1}{2}$ et vers~$-\smfrac{1}{2}$,
de sorte que l'égalité~\Eref{III}{III}{8} devient
\[
\sum^n_m f(\nu)
  = \int^n_m f(\tau)\, d\tau
  + \smfrac{1}{2} \bigl[f(m) + f(n)\bigr]
  + \int^n_m \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau,
\EqnTag{III}{III}{11}
\]
et d'autre part, en vertu des propriétés des fonctions~$\overline{\varphi}_\nu(\tau)$ démontrées
\Pgref{page}{page36}, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} se réduira à la formule d'Euler avec
%% -----File: 094.png---Folio 82-------
cette nouvelle expression du reste, due à Poisson:
\[
R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m
       \overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau,
\]
En intégrant par parties, on obtient d'abord
\[
R = \frac{1}{(2k+1)!}\int^n_m
      \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau,
\]
puis, en observant que $\overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)=\smfrac{\overline{P}'_{2k+2}(\tau)}{2k+2}$
\[
R = -\frac{1}{(2k+2)!} \int^n_m
       \overline{P}_{2k+2}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+2)}(\tau)\, d\tau,
\EqnTag{III}{III}{12}
\]
expression due à Jacobi.

Pour $\alpha=m-\smfrac{1}{2}$, $\beta=n+\smfrac{1}{2}$, l'égalité~\Eref{III}{III}{10} nous donne la
formule~\Eref{III}{III}{3} avec le reste
\[
R = \frac{1}{(2k+1)!} \int^{n + \frac{1}{2}}_{m - \frac{1}{2}}
      \overline{\varphi}_{2k+1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau,
\]

Ces transformations s'appliquent également à la formule~\Eref{III}{I}{20},
\Pgref{page}{eqn:III.I.20}. Ainsi l'on en déduit, en faisant croître~$\mu$ vers l'infini,
\[
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu)
  = 2\sum^n_0 \int^{\beta}_{\alpha} f(\tau)\, \cos(2\nu + 1)\pi\tau\, d\tau,
\EqnTag{III}{III}{13}
\]
puis, en intégrant par parties et utilisant l'égalité~\Eref{II}{II}{21}, \Pgref{page}{eqn:II.II.21},
\[
\sum^n_m \Pow{(-1)}{\nu}\, f(\nu)
  = \overline{\chi}_0(\beta)f(\beta) - \overline{\chi}_0(\alpha)f(\alpha)
    - \int^{\beta}_{\alpha} \overline{\chi}_0(\tau)\, f'(\tau)\, d\tau.
\EqnTag{III}{III}{14}
\]
En transformant le dernier terme de cette égalité à l'aide des
relations~\Eref{II}{II}{22}, \Pgref{page}{eqn:II.II.22}, on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{4} avec
\[
R = \frac{1}{(2k-1)!} \int^{\beta}_{\alpha}
      \overline{\chi}_{2k-1}(\tau)\, \Pow{f}{(2k)}(\tau)\, d\tau,
\]
expression due à Hermite. En faisant tendre~$\alpha$ vers~$m$, $\beta$ vers~$n$
%% -----File: 095.png---Folio 83-------
(\textit{voir} \Pgref{p.}{page37}), on en déduit la formule~\Eref{III}{III}{6} de Boole avec le reste
\[
R = -\frac{1}{(2k)!} \int^n_m
       \overline{\chi}_{2k}(\tau)\,\Pow{f}{(2k+1)}(\tau)\, d\tau,
\]
donné par M.~Darboux\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable
(Journal de Mathématiques}, \tertio~série, t.~II, 1876).}
D'autre part, en faisant $\alpha = m-\smfrac{1}{2}$,
$\beta = n+\smfrac{1}{2}$ on retrouve la formule~\Eref{III}{III}{5} avec une nouvelle expression
du reste.

Le raisonnement qui nous a fourni les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} suppose
essentiellement que la fonction~$f(z)$ est holomorphe sur le
segment $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$ de l'axe réel. Cette condition est d'ailleurs suffisante,
car, en la supposant vérifiée, on pourra prendre la hauteur
du rectangle~$C$, qui nous a servi de contour d'intégration, assez
petite pour que~$f(z)$ soit holomorphe à l'intérieur et sur le contour
de ce rectangle, d'où il résulte que les égalités~\Eref{III}{I}{16}, \Pgref{page}{eqn:III.I.16},
et~\Eref{III}{I}{20}, \Pgref{page}{eqn:III.I.20}, et par conséquent aussi les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14},
seront valables.

Mais, une fois établies les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14}, on constate
immédiatement qu'elles subsistent dès que~$f(\tau)$ et~$f'(\tau)$ sont
finis et continus pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$\footnotemark.
\footnotetext{Il en résulte, d'après le raisonnement de la \Pgref{page}{eqn:III.III.7}, que les formules \Eref{III}{III}{7}
et~\Eref{III}{III}{13} subsistent également sous la condition indiquée.}
% [** End of footnote]
En effet, on trouve en intégrant
($voir$ \Pgref{page}{page35}):
\[
\int^{\nu+1}_{\nu} \overline{\varphi}_1(\tau)\, f'(\tau )\, d\tau
  = \smfrac{1}{2} \bigl[f(\nu) + f(\nu + 1)\bigr]
    - \int^{\nu+1}_{\nu} f(\tau)\, d\tau.
\]
Faisons ici successivement $\nu = m,~m + 1, \dotsc,~n-1$ et ajoutons
les résultats: nous aurons l'égalité~\Eref{III}{III}{11}, et les égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} se
vérifient de la même manière.

\Pagelabel{page83}%
Or nous venons de voir que les formules sommatoires \Eref{III}{III}{1} à~\Eref{III}{III}{6},
avec les expressions du reste~$R$ données ci-dessus, se déduisent
des égalités \Eref{III}{III}{8} et~\Eref{III}{III}{14} par de simples intégrations. Nous pouvons
donc affirmer que chacune des formules en question est valable
dès que la fonction~$f(\tau)$ et ses dérivées, jusqu'à l'ordre le plus
élevé qui y figure, sont finies et continues pour $\alpha\leqq \tau \leqq \beta$.
%% -----File: 096.png---Folio 84-------

\Paragraph{42.} En faisant dans la formule~\Eref{III}{III}{7} $m = n = 0$, $\alpha = -x$,
$\beta = 1-x$, $f(z)=F(z+x)$, et en supposant d'ailleurs $0<x<1$,
on en déduit
\[
F(x) = \int^1_0 F(\tau)\, d\tau
  + 2\sum^{\infty}_1 \int^1_0 F(\tau)\, \cos 2\nu\pi(\tau-x)\, d\tau.
\EqnTag{III}{III}{15}
\]
C'est \textit{le développement de Fourier} qui, d'après la remarque
% [** PP: Changed reference to page location]
% Orig: faite en bas de la page~83, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$
ci-dessus, se trouve ainsi établi en supposant $F(x)$
et~$F'(x)$ finis et continus pour $0\leqq x\leqq 1$\footnotemark.
\footnotetext{Lorsque~$F(x)$
présente une discontinuité au point~$x$, le premier membre
de l'égalité~\Eref{III}{III}{15} sera remplacé par $\lim\limits_{\eps=0}\fnfrac{1}{2}\bigl[F(x-\eps) + F(x+\eps)\bigr]$, ce qu'on
conclut encore facilement du calcul indiqué à la fin du \no\Sref{41}.

L'égalité~\Eref{III}{III}{13} conduit à une autre forme du développement de Fourier.}
% [** End of footnote]

Indiquons encore la méthode par laquelle Cauchy a établi ce
développement dans son Mémoire de~1826\footnotemark, cité \Pgref{page}{page68}, et qui,
dans bien des cas, permet d'en calculer les coefficients avec une
grande facilité. Nous admettrons les hypothèses suivantes:
\footnotetext{Le raisonnement de Cauchy dans ce Mémoire très condensé est assez
embrouillé en ce qui concerne la convergence du développement de Fourier, et
les critiques que lui a adressées Dirichlet dans son célèbre Mémoire: \textit{Sur la
convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction
arbitraire entre des limites données} (\textit{Journal de Crelle}, t.~4, 1829) sont, sans
contredit, parfaitement justes. Cependant le Mémoire de Cauchy renferme tous
les éléments d'une démonstration exacte, telle que nous la présentons ici, et il
est curieux que Dirichlet ne s'en soit pas aperçu.}
% [** End of footnote]

\primo~\textit{$F(z)$ est une fonction analytique de la variable $z \equiv \tau +it$
qui est holomorphe dans la bande $0\leqq\tau\leqq 1$};

\secundo~\textit{L'égalité $\lim\limits_{t=\pm\infty} \Pow{e}{-2\pi\Abs{t}}\,F(\tau+it)=0$ a lieu uniformément
pour $0\leqq\tau\leqq 1$}.

Ceci posé, reprenons la formule~\Eref{III}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.I.8}, en choisissant le
contour~$C$ comme il a été dit, et en faisant les mêmes substitutions
que ci-dessus dans la formule~\Eref{III}{III}{7}, et, en outre, les substitutions~\Eref{III}{I}{10}
de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10}. Lorsqu'on fait tendre~$\delta$ vers l'infini, les
intégrales prises suivant les côtés horizontaux du contour~$C$ s'évanouiront,
en vertu de la condition~\secundo. D'autre part, les termes $\Pow{e}{2\nu\pi iz}$
et~$\Pow{e}{-2\nu\pi iz}$ qui figurent dans les expressions~\Eref{III}{III}{15} donneront naissance
à quatre intégrales, dont la somme se réduit à la partie
%% -----File: 097.png---Folio 85-------
réelle de l'expression
\[
2i\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi i\,(x-it)}\, \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt,
\]
ou bien, en posant $F(\tau\pm i t) = p(\tau,t)\pm i q(\tau,t)$, et
\[
\left\{
\begin{aligned}
A_\nu
&= \phantom{-}2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[q(1,t)-q(0,t)\bigr]\, dt, \\[1ex]
B_\nu
&=           -2\int_0^\infty \Pow{e}{-2\nu\pi t} \bigl[p(1,t)-p(0,t)\bigr]\, dt,
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{III}{III}{16}
\]
à
\[
A_\nu\, \cos 2\nu\pi x + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x.
\]
En somme, on trouvera donc
\[
F(x) = A_0 + \sum_1^\mu (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x
                       + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x) + R_\mu,
\]
où $A_0 = \dint_0^1 F(\tau)\, d\tau$, et où le terme-reste~$R_\mu$ est égal à la partie
réelle de l'expression
\[
2i\int_0^\infty \frac{\Pow{e}{-2\mu\pi t - 2\mu\pi ix}}
                     {\Pow{e}{2\pi t + 2\pi ix} - 1}\,
  \bigl[F(it) - F(1+it)\bigr]\, dt.
\]
Or $R_\mu$ s'annule évidemment pour $\mu=\infty$, de sorte qu'on obtient\footnotemark
\[
F(x) = A_0 + \sum_1^\infty (A_\nu\, \cos 2\nu\pi x
                          + B_\nu\, \sin 2\nu\pi x)\qquad (0<x<1).
\EqnTag{III}{III}{17}
\]
\footnotetext{Ces résultats restent encore valables si la fonction~$F(z)$, tout en vérifiant
les autres conditions énoncées ci-dessus, devient infinie pour~$z=0$ ou pour~$z=1$
d'un ordre inférieur à \textit{un}, ce qu'on démontre facilement par un raisonnement
analogue à celui du \no\Sref{29}.}%

Soit comme premier exemple $F(z) = \log(\sin\pi z)$. En tenant
compte de la note ci-dessous, on s'assure immédiatement que les
résultats précédents sont applicables. Or on a dans l'hypothèse
actuelle $F(1 + it) - F(it) = -\pi i$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page49}), et par suite
\[
p(1,t) - p(0,t) = 0,\qquad  q(1,t) - q(0,t) = -\pi.
\]
Il en résulte, d'après~\Eref{III}{III}{16}, $A_\nu = -\smfrac{1}{\nu}$, $B_\nu = 0$, et comme l'on a
%% -----File: 098.png---Folio 86-------
d'ailleurs, d'après la \Pgref{page}{page50}, $A_0 = -\log 2$, l'égalité~\Eref{III}{III}{17} devient
\[
\log(\sin \pi x) = -\log 2 - \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi x}{\nu}.
\EqnTag{III}{III}{18}
\]

Faisons en second lieu $F(z) = \log\Gamma(z)$, hypothèse dans laquelle
les résultats précédents seront encore applicables, ainsi qu'il résulte
des propriétés de~$\Gamma(z)$ démontrées au Chapitre~\ref{chapter:IV}.

L'égalité $\Gamma(1+z) = z\Gamma (z)$ nous donne
\[
F(1+it) - F(it) = \log it = \log t + \smfrac{\pi i}{2},
\]
d'où
\[
p(1,t) - p(0,t) = \log t,\qquad q(1,t) - q(0,t) = \smfrac{\pi}{2},
\]
et, par suite,
\[
A_\nu = \pi\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, dt = \smfrac{1}{2\nu},\qquad
B_\nu =  -2\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \log t\, dt.
\]

La valeur de~$B_\nu$ s'obtient en différentiant l'égalité
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{2}\, dt
  = \Gamma(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}.
\]
par rapport à~$\eps$, ce qui donne
\[
\int^{\infty}_0 \Pow{e}{-2\nu\pi t}\, \Pow{t}{\eps}\,\log t\, dt
  = \Gamma'(1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}
  - \Gamma (1+\eps) \Pow{(2\nu\pi)}{-(1+\eps)}\, \log(2\nu\pi),
\]
et en faisant ensuite tendre~$\eps$ vers zéro. Comme on a~$\Gamma(1)=1$,
$\Gamma'(1) = -C$, on trouve ainsi
\Pagelabel{page86}
\[
B_\nu = \frac{C + \log(2\nu\pi)}{\nu\pi}.
\]
Nous montrerons d'ailleurs plus loin (\Pgref{p.}{page90}) que $A_0=\log \sqrt{2\pi}$,
et, en tenant compte du résultat~\Eref{III}{III}{18} ci-dessus et de l'égalité~\Eref{II}{II}{13},
\Pgref{page}{eqn:II.II.13}, nous aurons finalement le développement dû à Kummer:
\begin{align*}
\log\Gamma(x)
&= \log\sqrt{2\pi} - (C+\log 2\pi) \left(x-\smfrac{1}{2}\right) \\
&\quad
  - \smfrac{1}{2}\log(2\sin\pi x)
  + \smfrac{1}{\pi} \sum^{\infty}_1 \frac{\log\nu}{\nu}\, \sin 2\nu\pi x.
\end{align*}

\bigTbreak

%% -----File: 099.png---Folio 87-------


% [*** Chapter IV]
\cleardoublepage
\Chapter{IV}{LES FONCTIONS $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$.}

\Section{IV}{I}{Expressions diverses de~$\log\Gamma(x)$ et de ses dérivées \\
                sous forme d'intégrales définies.}

\Paragraph{43.} Pour déduire ces expressions des formules générales établies
au Chapitre précédent, nous allons nous servir de l'égalité
\[
\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \sum^{\infty}_0 \frac{1}{\Pow{(x+\nu)}{2}}.
\EqnTag{IV}{I}{1}
\]

Nous devons donc substituer dans nos formules
\[
f(z) = \frac{1}{\Pow{(x+z)}{2}},
\EqnTag{IV}{I}{2}
\]
d'où il résulte, d'après les égalités~\Eref{III}{I}{12}, \Pgref{page}{eqn:III.I.12},
\[
p(\tau,t) =  \frac{\Pow{(x+\tau)}{2} - \Pow{t}{2}}
                  {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2}+\Pow{t}{2}]}{2}},
\qquad
q(\tau,t) = -\frac{2(x+\tau)t}
                  {\Pow{[\Pow{(x+\tau)}{2} + \Pow{t}{2}]}{2}}.
\]

Admettons que \textit{la partie réelle de la variable $x$ est positive}.
Les trois dernières conditions énoncées à la \Pgref{page}{page57b} seront alors
vérifiées dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$, de sorte qu'on pourra appliquer
la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, en y faisant~$m=0$. On trouve ainsi
\[
\Pow{D}{(2)}_x\log\Gamma(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\Pow{x}{2}}
  + 4x \int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\,
                       \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
puis, en intégrant et en désignant par~$K$ la constante d'intégration,
\Pagelabel{page87}
\[
D_x\log\Gamma(x)
  = K + \log x - \smfrac{1}{2x}
    - 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\,
                       \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
%% -----File: 100.png---Folio 88-------
et, par une deuxième intégration,
\[
\log\Gamma(x) = K' + Kx + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x),
\EqnTag{IV}{I}{3}
\]
$K'$~désignant une nouvelle constante et~$J(x)$ l'expression
\[
J(x) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{x}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\EqnTag{IV}{I}{4}
\]
qu'on peut écrire encore, en intégrant par parties,
\[
J(x) = \frac{1}{\pi} \int^{\infty}_0 \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\,
         \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt.
\tag{4${}'$}
\Pagelabel{eqn:IV.I.4pr}
\]

Les valeurs des constantes $K$ et~$K'$ s'obtiennent immédiatement
en rapprochant~\Eref{IV}{I}{3} de l'égalité~\Eref{III}{II}{1} de la \Pgref{page}{eqn:III.II.1}. Mais, si l'on ne
veut pas se servir de cette dernière égalité, on arrivera encore facilement
à déterminer $K$ et~$K'$ en s'appuyant sur les propriétés bien
connues de la fonction~$\Gamma(x)$ qui s'expriment par les équations
\[
\Gamma(x+1) = x\Gamma(x),\qquad \Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin\pi x}.
\EqnTag{IV}{I}{5}
\]

En effet, si l'on retranche l'égalité~\Eref{IV}{I}{3} de celle qu'on en déduit
en changeant $x$ en~$x+1$, on trouve, en vertu de la première propriété,
\[
(K-1) + \left(x + \smfrac{1}{2}\right)\log\left(1 + \smfrac{1}{x}\right)
  + J(x+1) - J(x) = 0.
\]
Or, lorsque $x$~croît indéfiniment, les deux derniers termes s'évanouiront,
tandis que le second terme tendra vers~$1$. Donc~$K=0$.

D'après la seconde propriété, on aura, pour $x = \smfrac{1}{2} + iu$,
\[
\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right)
\Gamma\left(\smfrac{1}{2} - iu\right)
  = \frac{2\pi \Pow{e}{-\pi u}}{1 + \Pow{e}{-2\pi u}},
\]
d'où résulte l'égalité
\Pagelabel{page88}
\[
\text{Partie réelle de }
\log\Gamma\left(\smfrac{1}{2} + iu\right)
  = \log\sqrt{2\pi} - \smfrac{\pi u}{2} + \eps(u)\ \footnotemark,
\]
\footnotetext{Pour la notation~$\eps(u)$, \textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page49fn}.}% [** End of footnote]
dont s'est déjà servi Stieltjes pour une question analogue\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Sur le développement de~$\log\Gamma(a)$} (\textit{Journal de Liouville}, t.~V, 1889).}
% [** End of footnote]

%% -----File: 101.png---Folio 89-------

Faisons d'autre part $x =\smfrac{1}{2}+iu$ dans l'égalité~\Eref{IV}{I}{3}. Un calcul
élémentaire donne
\[
\text{Partie réelle de }\left(x-\smfrac{1}{2}\right) \log x
  = -u\arc\tang 2u
  = -\smfrac{\pi u}{2} + \smfrac{1}{2} + \eps(u),
\]
et comme d'ailleurs, d'après l'égalité~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)}, $J\left(\smfrac{1}{2}+iu\right)$~s'annule
pour~$u =\infty$\ \footnotemark, on aura
\[
\text{Partie réelle de }\log \Gamma \left(\smfrac{1}{2} + iu\right)
  = K' - \smfrac{\pi u}{2}+\eps(u).
\]
\footnotetext{En effet, on a
\[
\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} \geqq \Abs{u}
\]
pour toute valeur~$t$ et, d'autre part,
\[
\Abs{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}} > \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2}\qquad\text{pour}\qquad
\Pow{t}{2} < \fnfrac{\Pow{u}{2}}{2},
\]
d'où l'on déduit aisément la proposition énoncée.}%
% [** End of footnote]

La comparaison de cette expression avec la précédente donne
\[
K' = \log\sqrt{2\pi},
\]
et, par suite, on aura en définitive\footnote{%
La formule~\Eref{IV}{I}{7} est due à \bsc{Poisson} (\textit{Mémoires de l'Institut}, Année~1811,
seconde Partie, p.~221).---\textit{Voir} aussi \bsc{Legendre}, \textit{Exercices de Calcul intégral},
5\ieme{}~Partie, p.~190. C'est \bsc{Schaar} qui a le premier appliqué la formule~\Eref{III}{I}{IV} à
l'étude de la fonction~$\Gamma(x)$, dans le Mémoire cité à la \Pgref{page}{page68}.}% [** End of footnote]
\begin{gather*}
\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi}
              + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x),
\EqnTag{IV}{I}{6} \\
D_x \log\Gamma(x) = \log x - \smfrac{1}{2x} + J'(x).
\EqnTag{IV}{I}{7}
\end{gather*}

On peut écrire~\Eref{IV}{I}{6} sous la forme asymptotique
\[
\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi}
              + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x +\eps(x),
\EqnTag{IV}{I}{8}
\]
et, en remplaçant~$x$ par~$x+\xi$, on en déduit aisément
\[
\log\Gamma(x + \xi)
  = \log\sqrt{2\pi} + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + \eps(x).
\EqnTag{IV}{I}{9}
\]

%% -----File: 102.png---Folio 90-------

À l'aide de~\Eref{IV}{I}{8} nous allons calculer \textit{l'intégrale de Raabe}
\[
R(\nu) \equiv \int^{\nu+1}_{\nu} \log\Gamma(x)\, dx.
\]
En intégrant le second membre de cette égalité~\Eref{IV}{I}{8}, il vient
\[
R(\nu) = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu + \eps(\nu).
\]
Mais, d'autre part, on a
\[
R'(\nu) = \log\Gamma(\nu+1) - \log\Gamma(\nu) = \log\nu,
\]
d'où il résulte, en intégrant et désignant par~$K$ une constante,
\[
R(\nu) = K + \nu\log\nu - \nu.
\]
La comparaison de ces expressions donne $K=\log\sqrt{2\pi}$, $\eps(\nu)\equiv 0$,
et, par suite,
\[
\int^{\nu+1}_{\nu}\log\Gamma(x)\, dx = \log\sqrt{2\pi} + \nu\log\nu - \nu.
\]

Pour $\nu = 0$, cette expression se réduit à~$\log\sqrt{2\pi}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page86}).
\Pagelabel{page90}

\Paragraph{44.} Pour établir l'égalité~\Eref{IV}{I}{6}, nous avons dû supposer la partie
réelle de la variable~$x$ positive, et, en effet, il est aisé de voir que
l'axe imaginaire constitue une \textit{coupure} pour l'intégrale~$J(x)$, de
sorte que celle-ci représente des fonctions analytiques distinctes à
droite et à gauche de cet axe\footnotemark. Pour mieux fixer, nous conviendrons
de désigner ces fonctions respectivement par~$J_{+}(x)$
et~$J_{-}(x)$.
\footnotetext{\textit{Cf}.~deux Mémoires de Hermite insérés dans les Tomes 91 et~92 du \textit{Journal
de Crelle}. La notion de coupure était d'ailleurs familière à Cauchy, qui en avait
rencontré des exemples dès ses premières recherches sur les intégrales définies.
\textit{Voir}, par exemple, \textit{{\OE}uvres}, série~II, t.~VI, 1826, p.~271, où Cauchy démontre que
l'intégrale
\[
\int^{\pi}_{-\pi}\frac{f(\Pow{e}{ip})\, dp}{1 - s\,\Pow{e}{-ip}}
\]
est égale à~$2\pi\,f(s)$ ou à~$0$, suivant que $\Abs{s}<1$ ou~$\Abs{s}>1$. On trouve des
réflexions générales relatives à ce sujet dans le \textit{Mémoire sur les fonctions
continues} (\textit{{\OE}uvres}, série~I, t.~VIII, 1844, p.~145--160) et dans le \textit{Mémoire sur
diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues}
(\textit{Ibid}.,\ t.~IX, 1845, p.~32--53).}
% [** End of footnote]

%% -----File: 103.png---Folio 91-------

Cherchons la différence des valeurs que prennent ces deux fonctions
en un point~$x'$ situé sur l'axe imaginaire positif. L'expression
\[
\varphi(t,x) \equiv \frac{1}{\pi}\, \frac{x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}
  \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right),
\]
sur laquelle porte l'intégrale~$J(x)$, admet les points~$t=\pm ix$
comme pôles du premier ordre. Lorsque la différence~$x-x'$ tend
vers \textit{zéro}, sa partie réelle restant positive, le pôle~$t=-ix$ viendra,
du côté inférieur de l'axe réel, se confondre avec le point~$-ix'$ de
cet axe, de sorte que l'intégrale~$J(x)$ n'aura plus de sens. Mais,
pour remédier à cet inconvénient, il suffit de déformer le chemin
d'intégration dans~$J(x)$ de manière à éviter le point singulier en
question; par exemple, en remplaçant un petit segment~$ac$ de l'axe
réel, renfermant le point~$-ix'$, par un demi-cercle~$ab_1c$ tournant
la convexité vers le haut, comme l'indique la figure ci-dessous. La
% [** PP: Moved Figure 3 to end of paragraph]
valeur que prend la fonction~$J_{+}(x)$ au point~$x'$ sera alors représentée
par l'intégrale $\dint \varphi(t,x')\,dt$ prise suivant le chemin~$0\,ab_1\,c\,\infty$
et, par un raisonnement analogue, on montre que la valeur~$J_{-}(x')$
est égale à cette même intégrale étendue au chemin symétrique~$0\,ab_2\,c\infty$.
Donc la différence $J_{+}(x') - J_{-}(x')$ s'exprime par
l'intégrale $\dint\varphi(t,x')\,dt$ prise le long du contour fermé~$ab_1\,cb_2\,a$,
intégrale qui est égale au produit de~$-2\pi i$ par le résidu de~$\varphi(t,x')$
relatif au pôle~$t=-ix'$, c'est-à-dire à $-\log(1 - \Pow{e}{2\pi ix'})$.

%[Illustration: Fig. 3.]
\Figure{3}{103}

On aura donc, pour tout point de l'axe imaginaire positif,
\[
J_{+}(x) = J_{-}(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix}),
\]
et il en résulte, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, que l'expression
$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{2\pi ix})$ fournit le prolongement analytique de la
fonction~$J_{+}(x)$ au delà de cette droite. On démontre de même que
le prolongement de~$ J_{+}(x)$ au delà de la partie négative de l'axe
%% -----File: 104.png---Folio 92-------
imaginaire est donné par l'expression~$J(x) - \log(1 - \Pow{e}{-2\pi ix})$ et, en
fin de compte, nous arrivons donc à cette conclusion que, \textit{dans le
cas où la partie réelle de la variable~$x$ est négative, la formule~\Eref{IV}{I}{6}
doit être remplacée par la suivante:}
\[
\log\Gamma(x) = \log\sqrt{2\pi}
              + \left(x - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x)
              - \log(1 - \Pow{e}{\pm 2\pi ix}),
\EqnTag{IV}{I}{10}
\]
\textit{où l'on doit choisir, dans le dernier terme, le signe $+$~ou le
signe~$-$, suivant que le point~$x$ se trouve au-dessus ou au-dessous
de l'axe réel}\footnote{%
On suppose l'argument de la variable~$x$ compris entre les limites $-\pi$ et~$\pi$.}.
% [** End of footnote]

Mais il existe une autre méthode beaucoup plus directe pour
effectuer le prolongement de la fonction~$ J_{+}(x)$. En effet, il suffit
d'appliquer à l'intégrale~$J(x)$ le procédé bien connu qui consiste
à faire tourner d'un angle convenable la droite qui sert de chemin
d'intégration\footnotemark, procédé dont nous aurons encore à faire un
usage étendu au dernier Chapitre de cet ouvrage.
\footnotetext{Il semble que M.~Mellin soit le premier qui ait appliqué cette idée à l'intégrale~$J(x)$
(\textit{Acta Societatis Scientiarum Fennicæ}, t.~XXXI, \no2, 1902, p.~45).}
% [** End of footnote]

Désignons par~$J_{\psi}(x)$ l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise de~$0$ à~$\infty$ le
long du rayon~$D_\psi$ qui forme l'angle~$\psi$ avec l'axe réel positif, et
supposons d'ailleurs $-\smfrac{\pi}{2} < \psi<\smfrac{\pi}{2}$. Lorsque le point~$t$ décrit le
rayon~$D_\psi$ les deux seuls points singuliers~$\pm it$ de l'expression~$\varphi(t,x)$,
considérée comme fonction de~$x$, resteront sur la droite
perpendiculaire à~$D_\psi$ et passant par l'origine. Dans chacun des
demi-plans situés de part et d'autre de cette droite, $J_\psi(x)$~représentera
évidemment une fonction continue de~$x$ admettant une
dérivée continue, donc une fonction analytique holomorphe. Nous
% [** PP: Removed en-dash (?) in désormais-par]
entendrons désormais par $J_\psi(x)$ celle de ces fonctions qui est
définie dans le demi-plan renfermant l'axe réel positif, de sorte
que, si l'on pose $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'angle~$\theta$ restera compris entre les limites
\[
\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}.
\EqnTag{IV}{I}{11}
\]

Cela posé, je dis que~$J_\psi(x)$ \textit{donne le prolongement analytique
de~$J_{+}(x)$ dans le domaine~\Eref{IV}{I}{11}}. Il suffit de faire voir que les
%% -----File: 105.png---Folio 93-------
deux fonctions prennent les mêmes valeurs sur l'axe réel positif.
$A$~cet effet, je trace de l'origine comme centre deux arcs de cercles,
l'un~$ab$ de rayon~$\eps$, l'autre~$AB$ de rayon~$R$, et tous les deux compris
entre l'axe réel positif et le rayon~$D_\psi$ comme l'indique la figure~4.

La variable~$x$ ayant une valeur positive quelconque, l'intégrale
$\dint\varphi(t,x)\,dt$, étendue au contour du quadrilatère mixtiligne~$aABba$,
se réduira évidemment à \textit{zéro} puisque $\varphi(t,x)$ est
holomorphe dans tout ce domaine, quels que soient d'ailleurs $\eps$ et~$R$.

%[Illustration: Fig. 4.]
\Figure{4}{105}
\Pagelabel{page93}

Je fais maintenant tendre~$\eps$ vers \textit{zéro} et~$R$ vers l'infini. Le produit~$t\varphi(t,x)$
tendant uniformément vers \textit{zéro} sur chacun des
arcs $ab$ et~$AB$, les intégrales relatives à ces arcs s'évanouiront à la
limite. Donc l'intégrale $\dint\varphi(t,x)\,dt$, prise le long de l'axe réel
positif, aura la même valeur que si l'on prend pour chemin d'intégration
le rayon~$D_\psi$, c'est-à-dire qu'on aura $J_{+}(x) = J_\psi(x)$ pour
toute valeur positive de~$x$. \hfill\textbf{\scshape\scriptsize C.~Q.~F.~D.\qquad}

\Paragraph{45.} Après cette digression, qui nous a fourni l'occasion de rappeler
deux méthodes générales d'un fréquent usage dans la théorie
des fonctions, nous reviendrons à l'expression~\Eref{IV}{I}{1} et nous lui
appliquerons la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)} de la \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, en y faisant~$m = 0$,
$\alpha = -\xi$ ($0 < \xi < 1$). Nous trouvons ainsi, en remplaçant encore~$x$
par~$x + \xi$, et en supposant la partie réelle de la variable~$x$ positive,
\[
\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi)
  = \frac{1}{x}
  + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2}
    - \Pow{t}{2})}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, X(\xi,t)\, dt
  + \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\,
      \Psi(\xi,t)\, dt.
\]

En intégrant, on en déduit
\[
D_x \log\Gamma(x+\xi)
  = \log x - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, X(\xi,t)\, dt
  - \int^{\infty}_0 \frac{2xt}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \Psi(\xi,t)\, dt.
\]
En effet, la constante d'intégration est nulle, car le second
%% -----File: 106.png---Folio 94-------
membre peut s'écrire $\log x + \eps(x)$, et l'expression asymptotique
du premier membre, d'après~\Eref{IV}{I}{7}, est précisément de cette forme.

Avant d'effectuer la seconde intégration, nous allons transformer
les intégrales en nous servant des relations\footnotemark.
\footnotetext{On obtient immédiatement ces relations en observant que le quotient~\Eref{III}{I}{10}
de la \Pgref{page}{eqn:III.I.10} est la dérivée de l'expression $-\smfrac{1}{2\pi i}\log(\Pow{e}{2\pi iz} - 1)$, laquelle, en faisant
$z = \tau + it$, peut se mettre sous la forme $i[\,\overline{\Psi}(\tau,t) + i\overline{X}(\tau,t)]$}
% [** End of footnote]
\[
\Psi(\tau,t) = D_t \overline{\Psi}(\tau,t),\qquad
X(\tau,t)    = D_t \overline{X}(\tau,t),
\EqnTag{IV}{I}{12}
\]
où
\begin{align*}
  \overline{\Psi}(\tau,t)
  &=  \smfrac{1}{4\pi} \log(1 - 2\Pow{e}{-2\pi t}\, \cos 2\pi\tau + \Pow{e}{-4\pi t}), \\
  \overline{X}(\tau,t)
  &= -\smfrac{1}{2\pi} \arc\tang\left(
          \frac{\sin 2\pi\tau}{\Pow{e}{2\pi t} - \cos 2\pi\tau}
  \right).
\end{align*}
En intégrant par parties et en observant que
\[
\overline{\Psi}(\tau,\infty) = 0,\qquad
\overline{X}(\tau,\infty) = 0,\qquad
\overline{X}(\tau,0) = \smfrac{1}{2}\left(\tau - \smfrac{1}{2}\right),
\]
on trouve que~$D_x\log\Gamma(x+\xi)$ peut se mettre sous la forme
\[
\log x + \frac{\xi-\smfrac{1}{2}}{x}
  - \int^{\infty}_0 \frac{4xt}{\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt
  + \int^{\infty}_0 \frac{2(\Pow{x}{2} - \Pow{t}{2})}
                         {\Pow{(\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2})}{2}}\,
    \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt.
\]

Effectuant une nouvelle intégration, on aura maintenant
\[
\log\Gamma(x+\xi) = \log\sqrt{2\pi}
  + \left(x + \xi - \smfrac{1}{2}\right)\log x - x + J(x,\xi),
\EqnTag{IV}{I}{13}
\]
avec
\[
J(x,\xi) = \int^{\infty}_0 \frac{2t}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\,
             \overline{X}(\xi,t)\, dt
  - \int^{\infty}_0 \frac{2x}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\,
             \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt.
\EqnTag{IV}{I}{14}
\]

La valeur~$\log\sqrt{2\pi}$ de la constante d'intégration s'obtient par
comparaison avec la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9}, en observant
que~$J(x, \xi)$ s'annule pour $x = \infty$. L'expression~\Eref{IV}{I}{13} est due à
M.~Landsberg, qui l'a trouvée par une autre voie\footnotemark.
\Pagelabel{page94}%
\footnotetext{\textit{Sur un nouveau développement de la fonction gamma (Mém.\ cour.\ et
autres Mém.\ publiés par l'Académie de Belgique}, t.~LV, 1897).}
% [** End of footnote]

%% -----File: 107.png---Folio 95-------

\Paragraph{46.} Appliquons maintenant la formule~\Eref{III}{III}{8}, \Pgref{page}{eqn:III.III.8}, avec $m = 0$,
$\alpha=-\xi$ ($0<\xi<1$), remplaçons $x$ par~$x + \xi$ et faisons tendre~$n$
vers l'infini. En observant que $\overline{\varphi}_1(-\xi)=\smfrac{1}{2}-\xi$, on trouve
\[
\Pow{D}{(2)}_x \log\Gamma(x+\xi)
  = \smfrac{1}{x} - \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}}
  - 2 \int^{\infty}_{-\xi}
    \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{3}},
\EqnTag{IV}{I}{15}
\]
puis, en intégrant et déterminant la constante comme plus haut,
\[
D_x\log\Gamma(x+\xi)
  = \log x + \frac{\xi - \fnfrac{1}{2}}{\Pow{x}{2}}
  + \int^{\infty}_{-\xi}
    \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2}}
\EqnTag{IV}{I}{16}
\]

Je dis que le dernier terme est la dérivée de l'expression
\[
-\int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}
                           {x + \xi + \tau}.
\EqnTag{IV}{I}{17}
\]
On le vérifie immédiatement, en admettant que cette expression
ait un sens. Or il en est bien ainsi, car l'égalité $\varphi(\tau) = \tau - \nu - \smfrac{1}{2}$,
qui a lieu pour $\nu < \tau < \nu + 1$ (\textit{voir} \Pgref{p.}{page35}), nous donne
\[
-\int^{\nu+1}_{\nu} \frac{\overline{\varphi}_1 (\tau)}{x + \tau}\, d\tau
  = \left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right)
      \log\left(1 + \smfrac{1}{x + \nu}\right) - 1,
\EqnTag{IV}{I}{18}
\]
et le développement du second membre suivant les puissances
descendantes de~$x + \nu$ commence par un terme en~$\Pow{(x + \nu)}{-2}$. On
en conclut encore que l'expression~\Eref{IV}{I}{17} s'annule pour~$x = \infty$.

On trouve dès lors, en intégrant l'égalité~\Eref{IV}{I}{16} et en tenant compte
de la formule asymptotique~\Eref{IV}{I}{9},
\[
\log\Gamma(x+\xi)
  = \log\sqrt{2\pi} + \left(x+\xi-\smfrac{1}{2}\right)\log x - x
  - \int^{\infty}_{-\xi} \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)\, d\tau}{x+\xi+\tau},
\EqnTag{IV}{I}{19}
\]
et, en se reportant à l'égalité~\Eref{IV}{I}{13} ci-dessus, on en conclut que
l'intégrale~\Eref{IV}{I}{17} fournit une nouvelle expression de~$J(x,\xi)$.

Il résulte des remarques faites \Pgref{page}{page83} que l'égalité~\Eref{IV}{I}{15} a lieu
pour toute valeur~$x$ telle que la fonction~\Eref{IV}{I}{2} et sa dérivée première,
après qu'on y aura remplacé~$x$ par~$x + \xi$, soient finies et
continues pour les valeurs réelles de~$z$ supérieures ou égales à~$-\xi$.
Donc cette égalité est vérifiée dans tout le plan, excepté l'axe réel
%% -----File: 108.png---Folio 96-------
négatif, et, d'après le raisonnement qui précède, il en sera de même
des égalités \Eref{IV}{I}{16} et~\Eref{IV}{I}{19}\footnotemark.
\footnotetext{L'expression~$J(x,\xi)$ est susceptible d'autres formes, que nous indiquerons
en quelques mots. En remplaçant, dans~\Eref{IV}{I}{17}, $\overline{\varphi}_1(\tau)$~par la série~\Eref{II}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.14})
% [** PP: Removed spurious period after parenthesis]
on en déduit, par un raisonnement qui demande d'ailleurs quelque précaution,
\[
J(x,\xi) = \sum^{\infty}_1 \int^{\infty}_{-\xi}
  \frac{\sin 2\nu\pi\tau}{\nu\pi}\, \frac{d\tau}{x+\xi+\tau},
\]
développement qui converge uniformément dans toute aire finie n'ayant aucun
point commun avec l'axe réel négatif.

En remplaçant dans ce développement $\sin 2\nu\pi\tau$~par des exponentielles et en
utilisant la notation
\[
\text{Ei}(z) = \int^{z}_{\infty} \frac{\Pow{e}{-z}}{z}\, dz,
\]
on arrive, après des réductions faciles, à cette nouvelle expression
\[
J(x,\xi) = \lim_{n=\infty} \sum^{+n}_{-n}
  \Pow{e}{2\nu\pi i(x+\xi)}\, \frac{\text{Ei}(2\nu\pi ix)}{2\nu\pi i}\qquad
  (\nu \neq 0),
\]
qui a été donnée par M.~Landsberg dans le Mémoire cité \Pgref{page}{page94}.}
% [** End of footnote]

Pour $\xi = 0$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{19} nous rend la formule~\Eref{IV}{I}{6} avec cette
nouvelle expression de~$J(x)$:
\[
J(x) = -\int^{\infty}_0 \frac{\overline{\varphi}_1(\tau)}{x+\tau}\, d\tau,
\EqnTag{IV}{I}{20}
\]
dont s'est servi Stieltjes dans ses recherches sur la formule de Stirling
(\textit{voir} le Mémoire cité \Pgref{page}{page88}).

L'égalité~\Eref{IV}{I}{18} nous permet encore d'écrire
\[
J(x) = \sum^{\infty}_0 \left[\left(x + \nu + \smfrac{1}{2}\right)\,
     \log\frac{x + \nu + 1}{x - \nu} - 1\right],
\]
expression due à Gudermann et qui donne le prolongement analytique
dans tout le plan de la fonction~$J_{+}(x)$.


\Section{IV}{II}{Développements asymptotiques de~$\log\Gamma(x)$.}

\Paragraph{47.} Le célèbre développement asymptotique qui sert à
calculer~$\log\Gamma(x)$ pour les grandes valeurs de~$x$, et qu'on appelle
%% -----File: 109.png---Folio 97-------
généralement, par extension, \textit{série de Stirling}, se déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{6}
en y développant l'intégrale~$J(x)$ suivant les puissances descendantes
de~$x$.

En se servant de l'expression~\hyperref[eqn:IV.I.4pr]{($4'$)} et de l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on
trouve
\[
J(x) = \frac{B_1}{1\cdot 2}\, \frac{1}{x}
     - \frac{B_2}{3\cdot 4}\, \frac{1}{\Pow{x}{3}} + \dotsb
     + \Pow{(-1)}{k-1}\frac{B_k}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x),
\EqnTag{IV}{II}{1}
\]
avec
\[
J_k(x) = \frac{\Pow{(-1)}{k}}{\Pow{x}{2k+1}}\, \frac{1}{\pi}
  \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\,
      \log\left(\frac{1}{1 - \Pow{e}{-2\pi t}}\right)\, dt.
\EqnTag{IV}{II}{2}
\]

On arrive au même développement en intégrant par parties
l'expression~\Eref{IV}{I}{20}, par des calculs parfaitement analogues à ceux
de la \Pgref{page}{eqn:III.III.10}, % [** ``page 81'']
mais le reste~$J_k(x)$ se présente alors sous la forme
\[
J_k(x) = -\frac{1}{(2k+2)}
  \int^{\infty}_0 \frac{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}{\Pow{(x+\tau)}{2k+2}}\, d\tau.
\EqnTag{IV}{II}{3}
\]

Développons maintenant le reste~$J(x,\xi)$ de la formule~\Eref{IV}{I}{13} suivant
les puissances descendantes de~$x$, et, à cet effet, utilisons
d'abord l'expression~\Eref{IV}{I}{14}. En observant que les égalités~\Eref{III}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.6}),
en vertu des relations~\Eref{IV}{I}{12} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.12}), peuvent s'écrire
\begin{align*}
  \varphi_{2k}(x)
  &= \Pow{(-1)}{k}\, (2k-1)2k \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-2}\, \overline{\Psi}(x,t)\, dt, \\[1ex]
  \varphi_{2k+1}(x)
  &= \Pow{(-1)}{k}\, 2k(2k+1) \int^{\infty}_0 2\Pow{t}{2k-1}\, \overline{X}(x,t)\, dt,
\end{align*}
on trouve immédiatement
\[
J(x,\xi)
  = \frac{\varphi_2(\xi)}{1\cdot 2}\,    \frac{1}{x}
  - \frac{\varphi_3(\xi)}{2\cdot 3}\,    \frac{1}{\Pow{x}{2}} + \dotsb
  + \frac{\varphi_{2k}(\xi)}{(2k-1)2k}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}} + J_k(x,\xi)
\EqnTag{IV}{II}{4}
\]
avec
\[
J_k(x,\xi)
  = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-1}} \int^{\infty}_0
      \frac{2\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2}
      + \Pow{t}{2}}\, \overline{\Psi}(\xi,t)\, dt
  + \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k-2}} \int^{\infty}_0
      \frac{2\Pow{t}{2k-1}}{\Pow{x}{2}
      + \Pow{t}{2}}\, \overline{X}(\xi,t)\, dt.
\]

En intégrant par parties l'expression~\Eref{IV}{I}{17} (\textit{voir} le \no\Sref{41}) on
retrouve le développement~\Eref{IV}{II}{4} avec cette nouvelle expression du
reste:
\[
J_k(x,\xi) = - \frac{1}{2k} \int^{\infty}_{-\xi}
  \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau}{\Pow{(x + \xi + \tau)}{2k}}.
\]

%% -----File: 110.png---Folio 98-------

Le développement de~$J(x,\xi)$ a été donné par Hermite et Sonin\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Journal de Crelle}, Tomes 115 et~116.}

Pour $\xi =\frac{1}{2}$, on déduit de la formule~\Eref{IV}{I}{13}, en y remplaçant
$J(x,\xi)$~par le développement~\Eref{IV}{II}{4} et en tenant compte des
égalités~\Eref{II}{II}{17} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.17}),
\[
\log\Gamma\left(x + \smfrac{1}{2}\right)
  = \log\sqrt{2\pi} + x\log x - x
  + \sum^k_1 \Pow{(-1)}{\nu} \frac{B'_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\,
             \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}} + R_k,
\]
avec
\[
R_k = \frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\pi}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k-1}}
  \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k}}{\Pow{x}{2} + \Pow{t}{2}}\, \log(1 + \Pow{e}{-2\pi t})\, dt,
\]
ou encore
\[
R_k = -\frac{1}{2k}\int^{\infty}_{-\fnfrac{1}{2}}\;
  \frac{\overline{\varphi}_{2k}(\tau)\, d\tau}
       {\Pow{\Bigl(x + \smfrac{1}{2} + \tau\Bigr)}{2k}}.
\]
Ce développement est dû à Gauss, à l'expression du reste près.


\Paragraph{48.} Proposons-nous maintenant d'évaluer une limite supérieure
du reste $J_k(x)$ de la série de Stirling et, à cet effet, partons d'abord
de l'expression~\Eref{IV}{II}{3}. Pour abréger, nous désignerons par~$T_\nu$ le terme
général de la série en question:
\[
T_\nu = \Pow{(-1)}{\nu-1}\, \frac{B_\nu}{(2\nu-1)2\nu}\, \frac{1}{\Pow{x}{2\nu-1}},
\]
de sorte que le terme qui précède immédiatement~$J_k(x)$ s'écrit~$T_k$.

Supposons d'abord~$x$ \textit{réel et positif}. Comme l'expression~$\overline{P}_{2k+2}(\tau)$
a le signe de $\Pow{(-1)}{k+1}$ (\textit{cf}.~\Pgref{p.}{page36}), on voit que~$J_k(x)$ \textit{est
de même signe que le terme}~$T_{k+1}$, et comme d'ailleurs
\[
J_k (x) = T_{k+1} + J_{k+1}(x),
\]
et que $J_{k+1}(x)$ et~$T_{k+1}$ sont de signes contraires, on en conclut
que~$J_k(x)$ \textit{est numériquement inférieur à}~$T_{k+1}$.

Soit maintenant~$x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, l'argument~$\theta$ étant compris entre $-\pi$
%% -----File: 111.png---Folio 99-------
et~$\pi$. On aura
\[
\Pow{\Abs{x+\tau}}{2} = \Pow{r}{2} + 2r\tau\,\cos\theta + \Pow{\tau}{2}
  = \Pow{(r + \tau)}{2} - 4r\tau\, \Pow{\sin}{2}\smfrac{\theta}{2},
\]
et, par suite, pour~$\tau>0$, en remarquant que $4r\tau\leqq\Pow{(r+\tau)}{2}$,
\[
\Pow{\Abs{x+\tau}}{2}\geqq \Pow{(r+\tau)}{2}\, \Pow{\cos}{2}\smfrac{\theta}{2}.
\]

Il en résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{3}, que le module de~$J_k(x)$ est inférieur à
\[
\frac{\Pow{\left( \fsec\smfrac{\theta}{2} \right)}{2k+2}}{2k+2}
  \int^{\infty}_0 \frac{\Abs{\overline{P}_{2k+2}(\tau)}}
                       {\Pow{(r+\tau)}{2k+2}}\, d\tau
  \equiv \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{J_k(r)},
\]
et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trouve
donc finalement l'inégalité due à Stieltjes:
\[
\Abs{J_k(r\, \Pow{e}{i\theta})}
  < \Pow{\left(\fsec\smfrac{\theta}{2}\right)}{2k+2}\, \Abs{T_{k+1}}\qquad
  (-\pi < \theta < \pi).
\EqnTag{IV}{II}{5}
\]

On peut atteindre des résultats plus précis en partant de l'expression~\Eref{IV}{II}{2},
ce que nous ferons voir aussi brièvement que possible.

Lorsque $t$~croît de~$0$ à~$\infty$, le point dont l'affixe est~$1+\smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}$, partant
du point~$1$, décrit une droite formant l'angle~$-2\theta$ avec l'axe
réel positif. On en conclut
% [** PP: Re-aligned first part of next display]
\[
\begin{aligned}
  \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq 1\phantom{\sin2\theta}\qquad\text{pour} \\[1ex]
  \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}} &\geqq \Abs{\sin 2\theta}\qquad\text{pour}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
  \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4},\vphantom{\bigg|} \\[1ex]
  \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2},\vphantom{\bigg|}
\end{aligned}
\]
et par suite, en utilisant l'égalité~\Eref{III}{II}{5} (\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}),
\[
\left\{
\begin{aligned}
  &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{T_{k+1}}\;
      \qquad\text{pour} \\[1ex]
  &\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < \Abs{\smfrac{T_{k+1}}{\sin 2\theta}}
      \qquad\text{pour}
\end{aligned}
\qquad
\begin{aligned}
  \Abs{\theta} &\leqq \smfrac{\pi}{4}, \\[1ex]
  \smfrac{\pi}{4} \leqq \Abs{\theta} &< \smfrac{\pi}{2}.
\end{aligned}
\right.
\EqnTag{IV}{II}{6}
\]

Pour trouver une limite de~$J_k(x)$ dans le cas où $\Abs{\theta} \geqq \smfrac{\pi}{2}$, nous allons
nous servir de l'égalité
\[
J'_k(x) = 2\frac{\Pow{(-1)}{k+1}}{\Pow{x}{2k+2}}
    \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{2k+1}}{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}\,
                    \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\EqnTag{IV}{II}{7}
\]
%% -----File: 112.png---Folio 100-------
qu'on vérifie immédiatement en développant suivant les puissances
descendantes de~$x$ l'expression de la dérivée~$J'(x)$ qui figure dans
la dernière formule de la \Pgref{page}{page87}. En prenant pour chemin d'intégration,
dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe
réel positif un angle~$\psi$ compris entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, cette égalité sera
valable dans le demi-plan $\psi - \smfrac{\pi}{2} < \theta < \psi + \smfrac{\pi}{2}$, ce qu'on démontre
en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page93}.

Or, en faisant~$t = u\,\Pow{e}{i\psi}$, $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura, pour~$u >0$,
\begin{align*}
  \Abs{\Pow{e}{2\pi t} - 1}
    &\geqq \Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1, \\
  \Abs{1 + \smfrac{\Pow{t}{2}}{\Pow{x}{2}}}
    &\geqq \Abs{\sin 2(\theta-\psi)}.
\end{align*}
d'où il résulte, d'après~\Eref{IV}{II}{7},
\[
\Abs{J'_k(x)} < \Abs{\frac{2}{\sin2(\theta-\psi)}\, \frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}}
    \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{u}{2k+1}\, du}{\Pow{e}{2\pi u\, \cos\psi} - 1}.
\]

En substituant $u\cos\psi =\nu$, on en déduit, d'après l'égalité~\Eref{III}{II}{5}
(\Pgref{p.}{eqn:III.II.5}),
\[
\Abs{J'_k(x)} < K\, \frac{B_{k+1}}{2k+2}\,\Abs{\frac{1}{\Pow{x}{2k+2}}},
\]
avec
\[
K = \Abs{\frac{1}{\sin 2(\theta -\psi)\, \Pow{(\cos\psi)}{2k+2}}},
\]
et, par suite, en intégrant~$J'_k(x)$ depuis l'infini jusqu'au point~$x$, le
long du rayon vecteur passant par ce point,
\[
\Abs{J_k(r\,\Pow{e}{i\theta})} < K\, \Abs{T_{k+1}},
\EqnTag{IV}{II}{8}
\]
résultat qui subsiste dès que les conditions $\Abs{\psi} < \smfrac{\pi}{2}$ et~$\Abs{\theta -\psi} < \smfrac{\pi}{2}$
sont vérifiées simultanément.

Si l'on fait, par exemple, $\psi = \theta \mp\smfrac{\pi}{4}$ suivant que~$\theta \gtrless 0$, on aura
\[
K = \Pow{\Bigl[\fsec \bigl(\Abs{\theta} - \smfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr]}{2k+2},
\]
et l'inégalité~\Eref{IV}{II}{8} sera valable pour $\Abs{\theta} < \smfrac{3}{4}\pi$. Jointe à la première
des inégalités~\Eref{IV}{II}{6}, elle nous donnera donc, pour~$\Abs{J_k}$, une limite
%% -----File: 113.png---Folio 101-------
qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, et qui
se confond avec cette dernière pour~$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$.

Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un argument
donné~$\theta$, on devra évidemment choisir l'angle~$\psi$ de manière
à rendre minimum la constante $K$, ce qui donne la condition
\[
\tang\psi\, \tang 2(\theta - \psi) = -\smfrac{1}{k+1}.
\]

Soit, par exemple, $\Abs{\theta} = \smfrac{\pi}{2}$; on trouve
\[
\Abs{\tang\psi} = \smfrac{1}{\sqrt{2k+3}},
\]
d'où il résulte
\[
K = \sqrt{\smfrac{k+2}{2}}
    \Powfr{\left(1 + \smfrac{1}{2k+3}\right)}{\fnfrac{2k+3}{2}},
\]
et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à~$\sqrt{e}$,
on aura, pour~$\theta = \pm\smfrac{\pi}{2}$,
\[
\Abs{J_k(x)} < \sqrt{\smfrac{(k+2)e}{2}}\, \Abs{T_{k+1}},
\]
limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit~$\Pow{2}{k+1}\Abs{T_{k+1}}$.

La limite que fournit notre méthode pour~$\Abs{J_k}$ devient moins
précise que celle de Stieltjes lorsque~$\Abs{\theta}$ dépasse une certaine
valeur, supérieure à~$\smfrac{\pi}{2}$. Mais il faut remarquer que, dès que
$\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$, l'égalité~\Eref{IV}{I}{10} (\Pgref{p.}{eqn:IV.I.10}) conduira, en général, à des résultats
plus précis que l'une quelconque de ces méthodes. En effet, l'intégrale~$J(x)$
sera toujours représentée par le développement~\Eref{IV}{II}{1}, et,
comme~$J_k(x) \equiv -J_k(-x)$ et que l'argument de~$-x$ est compris
entre $-\smfrac{\pi}{2}$ et~$\smfrac{\pi}{2}$, on pourra appliquer à~$J_k(x)$ les résultats obtenus
ci-dessus dans le cas où $\Abs{\theta} < \smfrac{\pi}{2}$. Quant au dernier terme de
l'égalité~\Eref{IV}{I}{10}, son module est inférieur à
\[
\Abs{\log(1 - \Pow{e}{-2\pi r\, \Abs{\sin\theta}})},
\]
quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite
%% -----File: 114.png---Folio 102-------
qu'on trouve pour~$\Abs{J_k}$. Il n'en serait plus ainsi si le point~$x$ était
très près de l'axe réel négatif, mais alors on prendrait évidemment
le parti de calculer la valeur exacte du terme en question.


\Section{IV}{III}{Les fonctions $\zeta(s)$ et~$\zeta(s, w)$.}

\Paragraph{49.} La fonction~$\zeta(s)$ est représentée par la série
\[
\zeta(s) = 1 + \frac{1}{\Pow{2}{s}}
             + \frac{1}{\Pow{3}{s}} + \dotsb
             + \frac{1}{\Pow{n}{s}} + \dotsb,
\EqnTag{IV}{III}{1}
\]
tant que la partie réelle de la variable complexe
\[
s \equiv \xi + i\eta
\]
est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore
\[
\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{s-1}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1},
\EqnTag{IV}{III}{2}
\]
ce qu'on démontre facilement en se servant de l'égalité
\[
\frac{1}{\Pow{\nu}{s}}
  = \frac{1}{\Gamma(s)} \int^{\infty}_0 \Pow{e}{-\nu x}\, \Pow{x}{s-1}\, dx
\]

C'est en partant de l'expression~\Eref{IV}{III}{2} que Riemann\footnotemark\ est arrivé,
par une application ingénieuse du calcul des résidus, à prolonger~$\zeta(s)$
dans tout le plan et à découvrir les propriétés si intéressantes
de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des
formules sommatoires du Chapitre précédent.
\footnotetext{\textit{Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze},~1859.}
% [** End of footnote]

A cet effet, posons $f(z) = \Pow{z}{-s}$, d'où
\begin{align*}
  p(\tau,t) &= \phantom{-}\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\,
    \cos\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right), \\[1ex]
  q(\tau,t) &=           -\Powfr{(\Pow{\tau}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\,
    \sin\left(s \arc\tang \smfrac{t}{\tau}\right).
\end{align*}

Les trois dernières conditions de la \Pgref{page}{page57b} sont vérifiées dans
le demi-plan~$\tau> 0$; en supposant $\xi > 1$, de sorte que la série~\Eref{IV}{III}{1}
%% -----File: 115.png---Folio 103-------
converge, et en faisant~$m = 1$, on trouvera donc, d'après la
formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV},
\[
\zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} +
    2\int^{\infty}_0 \Powfr{(1 + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\,
      \sin(s \arc\tang t)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\EqnTag{IV}{III}{3}
\]
et, d'après la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, pour~$\alpha = \smfrac{1}{2}$,
\[
\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s-1}}{s-1}
  - 2\int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)}
                           {-\fnfrac{s}{2}}\,
       \sin(s \arc\tang 2t)\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} + 1}.
\EqnTag{IV}{III}{4}
\]

Une autre expression de~$\zeta(s)$ se déduit de la formule~\Eref{III}{I}{VIII},
\Pgref{page}{eqn:III.I.VIII}. En faisant $\alpha = \smfrac{1}{2}$, $z=\smfrac{1}{2} + it$, on trouve
\[
\zeta(s) = \frac{4\pi}{s-1}
  \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)}
                        {\fnfrac{1-s}{2}}\,
      \frac{\cos\bigl[(s-1) \arc\tang 2t\bigr]}
           {\Pow{(\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t})}{2}}\, dt.
\EqnTag{IV}{III}{5}
\]

Les trois expressions ci-dessus ont été données pour la première
fois par M.~Jensen\footnotemark.
\footnotetext{\textit{L'Intermédiaire des Mathématiciens}, 1895, p.~346.}

En partant de la relation
\[
\left(1 - \smfrac{1}{\Pow{2}{s-1}}\right)\, \zeta(s)
  = 1 - \frac{1}{\Pow{2}{s}}
      + \frac{1}{\Pow{3}{s}}
      - \frac{1}{\Pow{4}{s}} + \dotsb
\]
et en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{X}, \Pgref{page}{eqn:III.I.X}, avec~$m = 1$, $\alpha = \smfrac{1}{2}$, on
trouverait encore
\[
\zeta(s) = \frac{\Pow{2}{s}}{\Pow{2}{s-1} - 1}
    \int^{\infty}_0 \Powfr{\Bigl(\smfrac{1}{4} + \Pow{t}{2}\Bigr)}
                          {-\fnfrac{s}{2}}\,
      \frac{\cos(s \arc\tang 2t)}{\Pow{e}{\pi t} + \Pow{e}{-\pi t}}\, dt.
\EqnTag{IV}{III}{6}
\]

Il est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les
expressions précédentes représentent des fonctions analytiques,
holomorphes pour toute valeur finie de~$s$; d'après le principe
établi au \no\Sref{9}, on peut en conclure que l'une quelconque de ces
expressions donne le prolongement analytique de~$\zeta(s)$ dans tout
le plan. Il en résulte que~$\zeta(s)$ est une fonction uniforme dont le
seul point singulier à distance finie est le pôle simple $s = 1$ de
résidu~$1$.

%% -----File: 116.png---Folio 104-------

D'autre part, on déduit de l'égalité~\Eref{IV}{III}{3}, pour $s = 0$,
\[
\zeta(0) = -\smfrac{1}{2},
\]
puis, en retranchant des deux membres~$\smfrac{1}{s-1}$, faisant ensuite
tendre~$s$ vers l'unité, et tenant compte de l'égalité~\Eref{III}{II}{3}, \Pgref{page}{eqn:III.II.3},
\[
\lim_{s=1} \left[\zeta(s) - \frac{1}{s-1}\right] = \smfrac{1}{2}
  + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{1 + \Pow{t}{2}}\,\frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1} = C,
\]
et enfin, en différentiant par rapport à~$s$, faisant~$s = 0$ et utilisant
l'égalité~\Eref{III}{II}{2}, \Pgref{page}{eqn:III.II.2},
\[
\zeta'(0) = 2\int^{\infty}_0 \arc\tang t\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t}-1} - 1
  = -\log\sqrt{2\pi}.
\]

\Pagelabel{page104}%
\Paragraph{50.} En appliquant maintenant la formule~\Eref{III}{I}{II}, \Pgref{page}{eqn:III.I.II}, avec~$m = 1$,
$0<\alpha <1$, on obtient
\[
\zeta(s) = \frac{\Pow{\alpha}{1-s}}{s-1}
  + \int^{\alpha + i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{-2\pi iz} - 1}
  + \int^{\alpha - i\infty}_{\alpha} \frac{\Pow{z}{-s}\, dz}{\Pow{e}{ 2\pi iz} - 1},
\EqnTag{IV}{III}{7}
\]
expression qui représente encore~$\zeta(s)$ dans tout le plan.

Faisons tendre~$\alpha$ vers \textit{zéro} et, pour éviter toute difficulté,
supposons $\xi <-1$, de sorte que les expressions sous les signes
intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expression
ci-dessus s'annulera et, dans les deux autres termes, on aura
simplement à remplacer $\alpha$ par~$0$. En substituant respectivement
dans ces derniers termes $z = \Powfr{e}{\fnfrac{\pi i}{2}}t$ et~$z=\Powfr{e}{-\fnfrac{\pi i}{2}}t$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{7} devient,
après une réduction facile,
\[
\zeta(s) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2}
    \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{t}{-s}\, dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}.
\EqnTag{IV}{III}{8}
\]

Comme le second membre de cette égalité représente une fonction
holomorphe pour $\xi < 0$, l'égalité subsistera dans toute cette
portion du plan, malgré l'hypothèse plus restreinte, $\xi < -1$,
admise dans le cours de la démonstration.

L'égalité~\Eref{IV}{III}{8} nous montre que~$\zeta(s)$ admet les points $s=-2,~-4, \dotsc$, $-2n,~\dotsc$
comme zéros du premier ordre, et, d'après
%% -----File: 117.png---Folio 105-------
l'égalité~\Eref{III}{II}{5}, \Pgref{page}{eqn:III.II.5}, on en déduit d'autre part
\[
\zeta[-(2n-1)] = \Pow{(-1)}{n}\, \frac{B_n}{2n};
\EqnTag{IV}{III}{9}
\]
enfin, en substituant~$2\pi t = x$, l'égalité~\Eref{IV}{III}{8} devient
\[
\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2}
     \int^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{-s}\, dx}{\Pow{e}{x} - 1},
\EqnTag{IV}{III}{10}
\]
d'où il résulte, par comparaison avec l'égalité~\Eref{IV}{III}{2},
\[
\zeta(s) = 2\Pow{(2\pi)}{s-1}\, \sin\frac{\pi s}{2}\, \Gamma(1-s)\,\zeta(1-s).
\EqnTag{IV}{III}{11}
\]
C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un
rôle fondamental dans la théorie de la fonction~$\zeta(s)$.

La formule sommatoire d'Euler et les autres formules établies
aux \nos\Sref{39}--\Sref{41} conduisent également à des résultats importants
relatifs à l'étude asymptotique de la fonction~$\zeta(s)$ et au calcul
numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici
sur cette intéressante question\footnotemark.
\footnotetext{\text{Voir} pour cette question: \bsc{Mellin}, \textit{Eine Formel für den Logarithmus
transcendenter Funktionen von endlichem Geschlecht} (\textit{Acta Soc.\ Sc.\ Fenn.,}\
t.~XXIX, \no4, p.~48--49); \bsc{Gramm}, \textit{Note sur les zéros de la fonction~$\zeta(s)$ de Riemann}
(\textit{Acta Mathematica}, t.~XXVII); \bsc{Wirtinger}, \textit{Einige Anwendungen der
Euler-Maclaurin'schen Summenformel} (\textit{ibid}.,\ t.~XXVI), et notre Mémoire
cité au \no\Sref{35}.}
% [** End of footnote]

\Paragraph{51.} Considérons maintenant la fonction
\[
\zeta(s,w) = \frac{1}{\Pow{w}{s}}
           + \frac{1}{\Pow{(w+1)}{s}}
           + \frac{1}{\Pow{(w+2)}{s}} + \dotsb,
\]
qui se réduit à~$\zeta(s)$ pour~$w = 1$. Nous devons substituer dans nos
formules générales
\[
f(z) = \Pow{(z+w)}{-s},
\]
d'où
\begin{align*}
  p(\tau,t)
  &= \phantom{-}
      \Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\,
     \cos\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right),
\\[1ex]
  q(\tau,t)
  &= -\Powfr{\bigl[\Pow{(\tau + w)}{2} + \Pow{t}{2}\bigr]}{-\fnfrac{s}{2}}\,
     \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{\tau + w}\right).
\end{align*}

Si l'on suppose la partie réelle de $w$ positive, la formule~\Eref{III}{I}{IV},
%% -----File: 118.png---Folio 106-------
\Pgref{page}{eqn:III.I.IV}, sera applicable et nous donnera\footnotemark
\footnotetext{Cette application de la formule~\Eref{III}{I}{IV} a été indiquée par Hermite (\textit{Annali
di Matematica pura ed applicata}, 3\ieme{}~série, t.~V, 1900).}
\[
\zeta(s,w) = \frac{\Pow{w}{1-s}}{s-1} + \frac{\Pow{w}{-s}}{2}
  + 2\int^{\infty}_0 \Powfr{(\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2})}{-\fnfrac{s}{2}}\,
    \sin\left(s \arc\tang\smfrac{t}{w}\right)\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
expression valable dans tout le plan et qui montre que~$\zeta(s,w)$ est
une fonction uniforme admettant pour seule singularité à distance
finie le pôle~$s= 1$ de résidu~$1$. On en conclut, d'autre part,
pour~$s=0$,
\[
\zeta(0,w) = \smfrac{1}{2} - w,
\]
puis, en retranchant~$\smfrac{1}{s-1}$ et en faisant tendre~$s$ vers l'unité,
\[
\lim_{s=1} \left[\zeta(s,w) - \smfrac{1}{s-1}\right]
  = -\log w + \smfrac{1}{2w}
    + 2\int^{\infty}_0 \frac{t}{\Pow{w}{2} + \Pow{t}{2}}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
et enfin, en différentiant par rapport à~$s$ et faisant ensuite~$s = 0$,
\[
\zeta'_s(0,w) = \left(w - \smfrac{1}{2}\right) \log w - w
  + 2\int^{\infty}_0 \arc\tang\frac{t}{w}\, \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}.
\]

En vertu des égalités \Eref{IV}{I}{7} et~\Eref{IV}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:IV.I.6}, ces deux dernières
expressions se réduisent respectivement à
\[
-\frac{\Gamma'(w)}{\Gamma(w)}\qquad\text{et à}\qquad
\log\Gamma(w) - \log\sqrt{2\pi}.
\]

Ces propriétés de~$\zeta(s, w)$ ont été établies par M.~Lerch en suivant
une autre voie. Pour~$w = 1$, elles se réduisent aux propriétés
de la fonction~$\zeta(s)$ signalées au \no\Sref{49}.

Appliquons maintenant la formule~\hyperref[eqn:III.I.IIpr]{(II${}'$)}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IIpr}, avec~$m = 0$,
$-1 < \alpha < 0$, et supposons la partie réelle de~$w$ supérieure à~$-\alpha$,
de sorte que la fonction~$f(z)$ soit holomorphe pour~$\tau\geqq\alpha$. On aura
\[
\zeta(s,w) = \frac{\Pow{(w + \alpha)}{1-s}}{s-1}
  - 2 \int^{\infty}_0 \bigl[p(\alpha,t)\, X(\alpha,t)
                          + q(\alpha,t)\, \Psi(\alpha,t)\bigr]\, dt,
\]
expression valable pour toutes les valeurs de~$s$. Lorsque la quantité~$w$
est réelle et comprise entre $0$ et~$1$, on en déduit, en faisant
%% -----File: 119.png---Folio 107-------
tendre~$\alpha$ vers~$-w$, et en supposant d'ailleurs la partie réelle
de $s$~négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste
finie pour~$t = 0$,
\[
\zeta(s,w) = 2\sin\smfrac{\pi s}{2}
  \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\,\Psi(w,t)\, dt
  + 2\cos\smfrac{\pi s}{2} \int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, X(w,t)\, dt.
\]

On constate aisément que le second membre de cette égalité
définit une fonction holomorphe de~$s$ tant que la partie réelle de
cette variable est inférieure à~$1$, et que, pour une valeur donnée~$s$
vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction
analytique de~$w$ qui est holomorphe dans la bande comprise entre
l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point~$w=1$.
Donc, d'après le principe établi au \no\Sref{9}, l'égalité en question a
lieu tant que $s$ et~$w$ restent dans les domaines indiqués.

En égalant~$s$ à un entier négatif,~$-\nu$, on déduit de la formule
précédente, à l'aide des égalités~\Eref{III}{I}{6}, \Pgref{page}{eqn:III.I.6},
\[
\zeta(-\nu,w) = -\frac{\varphi_{\nu+1}(w)}{\nu+1}.
\]

D'autre part, en supposant $0 < w < 1$ et en substituant aux
expressions $\Psi(w, t)$, $X(w, t)$ les développements indiqués dans
la note de la \Pgref{page}{eqn:III.I.6}, on conclut
\[
\zeta(s,w) = 2\Gamma(1-s) \left[
  \sin\smfrac{\pi s}{2}
    \sum^{\infty}_1 \frac{\cos 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}}
+ \cos\smfrac{\pi s}{2}
    \sum^{\infty}_1 \frac{\sin 2\nu\pi w}{\Pow{(2\nu\pi)}{1-s}}
\right],
\]
résultat dû à M.~Hurwitz\footnotemark. En faisant~$w = 1$, on retombe sur la formule~\Eref{IV}{III}{11}.
\footnotetext{\textit{Zeitschrift für Mathematik und Physik}, t.~XXVII, 1882.}

\bigTbreak

%% -----File: 120.png---Folio 108-------


% [*** Chapter V]
% [** PP: ``A L'ÉTUDE'' -> ``À L'ÉTUDE'']
\cleardoublepage
\Chapter{V}{APPLICATIONS AU PROLONGEMENT ANALYTIQUE \\
ET À L'ÉTUDE ASYMPTOTIQUE DES FONCTIONS DÉFINIES    \\
PAR UN DÉVELOPPEMENT DE TAYLOR.}
\fancyhead[CO]{\small{\textsc{\MakeLowercase{PROLONGEMENT ANALYTIQUE DES SÉRIES DE TAYLOR.}}}}

\Section{V}{I}{Deux théorèmes généraux.}

\Paragraph{52.} Étant donnée une série de Taylor de la forme
\[
F(x) = \varphi(0) +\varphi(1)x + \dotsb +\varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} + \dotsb,
\EqnTag{V}{I}{1}
\]
où~$\varphi$ est une fonction analytique de son argument, on peut se proposer
d'\textit{étudier les propriétés de la fonction~$F(x)$, connaissant
celles de la fonction~$\varphi$}.

Nous donnerons dans ce Chapitre un exposé succinct de certains
résultats généraux et riches en conséquences relatifs à cette
question, en y ajoutant d'ailleurs quelques applications nouvelles.
Le peu d'espace dont nous disposons nous obligera cependant à
laisser de côté bien des recherches intéressantes, pour lesquelles
nous renverrons aux Mémoires originaux.

Pour la bibliographie, on consultera le beau petit livre de
M.~\bsc{Hadamard}, \textit{La série de Taylor et son prolongement analytique}
(\textit{Scientia}). Nous nous bornerons à citer ici, comme ayant
un rapport direct au problème qui nous occupe, les remarquables
travaux de M.~\bsc{Mellin}\footnotemark,
\footnotetext{Voici les titres des Mémoires de M.~Mellin ayant rapport au sujet qui nous
occupe:

\textit{Ueber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma- und der hypergeometrischen Functionen (Acta Societatis
Scientiarum Fennicæ}, t.~XX, \no12, 1895);

\textit{Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale} (\textit{ibid}.,\ t.~XXII,
\no2, 1896);

\textit{Ueber eine Verallgemeinerung der Riemann'schen Funktion~$\zeta(s)$} (\textit{ibid}.,\
t.~XXIV, \no10, 1899);

\textit{Eine Formel für den Logarithmus transcendenter Funktionen von endlichem
Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXIX, \no4, 1900).

\textit{Die Dirichlet'schen Reihen, die Zahlentheoretischen Funktionen und die
unendlichen Produkte von endlichem Geschlecht} (\textit{ibid}.,\ t.~XXXI, \no2, 1902).

\textit{Voir} aussi \textit{Acta Mathematica}, Tomes XXV et~XXVIII.}
% [** End of footnote, still mid-sentence]
%
le grand Mémoire de M.~\bsc{Le~Roy}, \textit{Sur
les séries divergentes et les fonctions définies par un
%% -----File: 121.png---Folio 109-------
développement de Taylor}\footnotemark,
\footnotetext{\textit{Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse}, 2\ieme{}~série, t.~II, 1900.}
% [** End of footnote]
notre Mémoire cité au \no\Sref{35}, et une
Note récente de M.~\bsc{Walter--B\@. Ford}\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Journal de Mathématiques}, 1903.}

\Paragraph{53.} Nous commençons par démontrer le théorème suivant,
établi par M. Le~Roy, sous une forme moins générale, mais ayant
une connexion étroite avec les résultats obtenus antérieurement
par M. Mellin:

\textit{Soit une fonction analytique~$\varphi(z)$ de la variable $z \equiv \tau + it$
qui vérifie les deux conditions suivantes:}
\smallskip

\Pagelabel{page109}%
\primo~\textit{$\varphi(z)$~est holomorphe dans un certain demi-plan $\tau\geqq \alpha$};

\secundo~\textit{Il existe un nombre~$\vartheta$ inférieur à~$\pi$ et tel que, $\eps$~désignant
un nombre positif aussi petit qu'on voudra, on ait
\[
\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta+\eps)\rho}
  \qquad\text{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2},
\]
dès que~$\rho$ dépassera une certaine limite finie\footnotemark}.
\footnotetext{Il résulte de cette hypothèse que le rayon de convergence de la série~\Eref{V}{I}{1}
est au moins égal à~$\Pow{e}{-\vartheta}$.}
% [** End of footnote]

\textit{Dans ces conditions, on peut affirmer que la fonction~$F(x)$
de la variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est définie par la série~\Eref{V}{I}{1}, est holomorphe
pour tout point~$x$ intérieur à l'angle}
\[
\vartheta < 0 < 2\pi - \vartheta.
\EqnTag{V}{I}{2}
\]

\textit{En particulier, si la condition~\emph{\secundo} est remplie pour~$\vartheta=0$, la
fonction~$F(x)$ sera holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être
sur le segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel}.
\smallskip

Pour démontrer ce théorème, nous pourrions nous servir des
%% -----File: 122.png---Folio 110-------
formules établies au Chapitre~\ref{chapter:III}, mais nous préférons reprendre
la question dès le début par une méthode légèrement modifiée.

Observons d'abord que, si les conditions ci-dessus sont vérifiées
pour une valeur donnée de~$\alpha$, elles le seront également pour toute
valeur~$\alpha$ supérieure à la première. On peut donc supposer que~$\alpha$
n'est pas entier et écrire $m-1 < \alpha < m$, $m$~étant un entier.

Cela posé, le théorème général des résidus nous donne
\[
\sum^n_m \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu} = \int_S \Phi(x,z)\, dz,
\EqnTag{V}{I}{3}
\]
en désignant par~$S$ le contour qui se compose de la moitié~$C_R$ du
cercle $\Abs{z-\alpha} = R \equiv n + \smfrac{1}{2} - \alpha$ comprise dans le demi-plan $\tau >\alpha$
et du diamètre de~$C_R$, et en posant
\[
\Phi(x,z) = \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}.
\]

Nous allons voir que, pour les valeurs~$x$ situées sur un certain
segment $\Segment{-r_0}{0}$ de l'axe réel négatif, l'intégrale relative au
demi-cercle~$C_R$ s'annule lorsqu'on fait tendre~$n$ et, par suite,~$R$ vers
l'infini. En effet, en posant
\[
z = \alpha + R\,\Pow{e}{i\psi},\qquad x = r\,\Pow{e}{i\pi} \equiv -r,
\]
on aura
\[
\Phi(x,z) = \frac{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})}
                 {\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}\, \Pow{r}{z}.
\]
Or la condition~\secundo donne, à partir d'une certaine valeur de~$R$,
\[
\Abs{\varphi(\alpha + R\,\Pow{e}{i\psi})\, \Pow{r}{z}}
  < \Pow{r}{\alpha} \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\cos\psi-\vartheta-\eps\right)},
\]
et, d'autre part, on aura sur~$C_R$ (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page32})
\[
\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}} < k'\qquad\text{pour}\qquad
  \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2},
\]
et, en désignant par~$\psi_0$ un angle compris entre $0$ et~$\smfrac{\pi}{2}$,
\[
\Abs{\frac{1}{\Pow{e}{\pi iz} - \Pow{e}{-\pi iz}}}
  < k''\, \Pow{e}{-\pi\, \Abs{\sin\psi} R}\qquad\text{pour}\qquad
  \psi_0 \leqq \Abs{\psi} \leqq \smfrac{\pi}{2},
\]
$k'$ et~$k''$ étant des quantités indépendantes de~$R$.

%% -----File: 123.png---Folio 111-------

En somme, lorsque~$r<1$, on aura sur~$C_R$ les inégalités suivantes:
\begin{align*}
&&&&  \Abs{\Phi(x,z)}
  &< k'\, \Pow{r}{\alpha}\,
       \Powfr{e}{-R\left(\log\fnfrac{1}{r}\,\cos\psi_0 - \vartheta - \eps\right)}
  && \quad \text{pour} & \Abs{\psi} &\leqq\psi_{0}, &&&& \\[1ex]
&&&&  \Abs{\Phi(x,z)}
  &< k''\, \Pow{r}{\alpha}\,
       \Pow{e}{-R\left(\pi\sin\psi_0 - \vartheta - \eps\right)}
  && \quad \text{pour} & \psi_0 \leqq \Abs{\psi} &\leqq \smfrac{\pi}{2}. &&&&
\end{align*}

Fixons maintenant l'angle~$\psi_0$ par la condition $\pi\sin\psi_0 = \vartheta'$, où
$\vartheta<\vartheta'<\pi$, puis déterminons~$r_0$ de sorte que $\log\smfrac{1}{r_0}\,\cos\psi_0 = \vartheta'$.
Tant que $r\leqq r_0$, on aura pour tout point de~$C_R$
\[
\Abs{\Phi(x,z)} < k\,\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-(\vartheta' - \vartheta - \eps)R},
\]
$k$~désignant la plus grande des quantités $k'$ et~$k''$; par suite, en
faisant tendre~$R$ vers l'infini et en supposant $-r_0<x<0$, l'intégrale
$\dint\Phi(x,z)\,dz$ prise le long de~$C_R$ tendra effectivement vers
zéro, comme nous l'avions dit, de sorte que l'égalité~\Eref{V}{I}{3} deviendra
\[
\sum_{m}^{\infty} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu}
       = -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz
  \equiv -\int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty}
               \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz.
\EqnTag{V}{I}{4}
\]

\Paragraph{54.} Nous allons maintenant démontrer que le second membre de
cette formule définit une fonction holomorphe de~$x$ dans l'angle~\Eref{V}{I}{2}.

A cet effet, posons
\[
z = \alpha+it\qquad \text{et}\qquad x = r\,\Pow{e}{i(\pi+\theta_1)},
\]
de sorte que $\theta_1 \equiv \theta-\pi$ représente l'argument du point $x$ compté
à partir de l'axe réel \emph{négatif}; on aura
\[
\Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\theta_1 t}
  \Abs{\frac{\varphi(\alpha+it)}
            {\Pow{e}{\pi i\alpha - \pi t} - \Pow{e}{-\pi i\alpha + \pi t}}},
\EqnTag{V}{I}{5}
\]
d'où il résulte, en vertu de l'hypothèse~\secundo (\textit{voir} la note \Pgref{page}{page49fn}),
\[
\Abs{\Phi(x,z)}
  < \Pow{r}{\alpha}\,\Pow{e}{-[\pi - \vartheta \pm \theta_1 + \eps(t)]\, \Abs{t}}.
\]
Dans le second membre de cette inégalité, on doit lire $+\theta_1$ ou~$-\theta_1$,
suivant que~$t$ est positif ou négatif.

Supposons maintenant le point~$x$ intérieur au domaine
\[
r>0,\quad \vartheta + \sigma < \theta < 2\pi - \vartheta - \sigma
    \quad (\text{d'où}\quad \Abs{\theta_1} < \pi - \vartheta - \sigma),
\EqnTag{V}{I}{6}
\]
$\sigma$~étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra, et
%% -----File: 124.png---Folio 112-------
désignons par~$\eta$ un nombre positif inférieur à~$\sigma$. On aura, dès que~$\Abs{t}$
dépassera une certaine valeur~$T$, $\pi-\vartheta\pm\theta_1+\eps(t)>\eta$, d'où
\[
\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{-\eta\Abs{t}}\qquad\text{pour}\qquad
  \Abs{t} >T.
\EqnTag{V}{I}{7}
\]

On peut conclure de cette inégalité que le second membre de~\Eref{V}{I}{4}
définit une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}. Pour le
faire nettement voir, écrivons
\[
-\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz
  = -\sum^{+\infty}_{-\infty}
        \int^{\alpha+i(\nu+1)}_{\alpha+i\nu}\Phi(x,z)\, dz.
\]

\Pagelabel{page112}%
En développant, dans l'expression~$\Phi(x,z)$, $\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ en série,
on voit d'abord que chaque terme du second membre est une
fonction entière de~$\log x$ et qu'il est, par suite, holomorphe dans
le domaine~\Eref{V}{I}{6}. D'autre part, il résulte de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7} que la
série ci-dessus est uniformément convergente dans toute portion
finie du domaine en question. Pour arriver à la conclusion voulue,
nous n'avons dès lors qu'à recourir au théorème établi au \no\Sref{10},
qui nous montre en même temps que les dérivées de la fonction
considérée sont représentées, dans le domaine~\Eref{V}{I}{6}, par les expressions
qu'on obtient en différentiant sous le signe intégral\footnotemark.
\footnotetext{Cette méthode de démonstration, qui permet d'éviter des calculs parfois
épineux et presque toujours peu élégants, avait déjà été mise en usage par d'autres
auteurs, notamment par M.~Mellin.}
% [** End of footnote]

Le résultat qui précède restant vrai quelque petit que soit~$\sigma$, il
est donc démontré que le second membre de l'égalité~\Eref{V}{I}{4} définit
une fonction holomorphe à l'intérieur de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et comme
l'égalité en question a lieu sur le segment $-r_0<x<0$ qui est
intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{2}, cette fonction donnera le prolongement
analytique de la série~\Eref{V}{I}{4}, en vertu du principe établi au \no\Sref{9}.

Or on a d'après l'égalité~\Eref{V}{I}{4}, si $m$~est positif,
\[
F(x) = \sum^{m-1}_0 \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu}
     - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty}
           \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz
  \qquad(m-1 < \alpha < m),
\EqnTag{V}{I}{8}
\]
et, pour $m$~négatif, en posant~$m=-k$,
\[
F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}}
       -\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty}
            \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz
  \qquad\bigl[-(k+1) < \alpha < -k\bigr],
\EqnTag{V}{I}{9}
\]
%% -----File: 125.png---Folio 113-------
tandis que, lorsque~$m=0$, la série~\Eref{V}{I}{4} se confond avec~$F(x)$.
Donc, dans tous les cas, la fonction~$F(x)$ sera holomorphe à l'intérieur
de l'angle~\Eref{V}{I}{2}, et notre théorème se trouve ainsi démontré\footnotemark.
\footnotetext{Si $m$~est positif, on suppose que $\varphi(z)$~prend des valeurs finies pour $z = 0,~1, \dotsc,~m-1$.}

\Paragraph{55.} Les considérations qui précèdent conduisent encore à des
conséquences intéressantes relatives aux propriétés asymptotiques
de~$F(x)$. On en déduit, en effet, ce théorème important:

\Theorem{V.I.1}{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page109}, la fonction définie
par la série~\Eref{V}{I}{1} et qui, d'après le théorème du \no\Sref{53}, est holomorphe
dans le domaine~\Eref{V}{I}{2}, peut se mettre sous l'une ou
l'autre des formes suivantes:
\begin{gather*}
  F(x) = \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x)\qquad\text{si}\qquad \alpha > -1,
  \EqnTag{V}{I}{10} \\
%
  F(x) = -\sum^k_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}}
         + \Pow{x}{\alpha}\, \eps(x)
    \qquad\text{si}\qquad - (k+1) < \alpha \leqq -k,
    \EqnTag{V}{I}{11}
\end{gather*}
$\eps(x)$~désignant une fonction qui tend uniformément vers zéro
lorsque~$x$ tend vers l'infini dans l'angle
\[
\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma,
\EqnTag{V}{I}{12}
\]
et cela quelque petite que soit la quantité positive~$\sigma$.}

Il résulte immédiatement des relations \Eref{V}{I}{5} et~\Eref{V}{I}{7} que le module
du produit
\[
\Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz
\EqnTag{V}{I}{13}
\]
reste au-dessous d'une limite finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, et l'on
en conclut, d'après les égalités \Eref{V}{I}{8} et~\Eref{V}{I}{9}, que la fonction~$F(x)$,
lorsque~$\alpha$ n'est pas un entier, pourra se mettre sous l'une ou l'autre
des formes \Eref{V}{I}{10} et~\Eref{V}{I}{11}, où \textit{le module de~$\eps(x)$ reste inférieur à
une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}}, si l'on exclut le voisinage
de l'origine.

Cette forme moins précise du théorème suffit dans bien des
recherches; on en trouve des applications importantes dans les
Mémoires de M.~Mellin, cités plus haut.

%% -----File: 126.png---Folio 114-------

Si l'on veut démontrer que~$\eps(x)$ tend effectivement vers zéro
avec~$\smfrac{1}{x}$ dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, des considérations plus délicates
deviennent nécessaires. Admettons d'abord que \textit{le nombre~$\alpha$ n'est
pas entier}. Il s'agit de démontrer que, $\eps$~étant fixé aussi petit qu'on
le voudra, on pourra trouver une quantité~$R$ telle que le module
de l'expression~\Eref{V}{I}{13} reste inférieur à~$\eps$ pour
\[
\vartheta + \sigma \leqq \theta \leqq 2\pi - \vartheta - \sigma,\qquad r > R.
\EqnTag{V}{I}{14}
\]

En vertu de l'inégalité~\Eref{V}{I}{7}, il est d'abord possible de déterminer
le nombre~$t'$ de telle sorte que l'on ait
\[
\Pow{r}{-\alpha}\, \Abs{\,\int^{\alpha-it'}_{\alpha-i\infty} \Phi(x,z)\, dz
  + \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha+it'} \Phi(x,z)\, dz} < \smfrac{\eps}{2}
\]
pour tout point du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Il reste donc à montrer qu'on
peut choisir $R$ de manière que l'on ait, dans le domaine~\Eref{V}{I}{14},
\[
\Abs{\, \Pow{x}{-\alpha}\int^{\alpha+it'}_{\alpha-it'} \Phi(x,z)\, dz}
  < \smfrac{\eps}{2}.
\EqnTag{V}{I}{15}
\]

En posant $z = \alpha + it$, $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, on aura
\[
\Pow{x}{-\alpha}\, \Phi(x,z)
  = \Pow{e}{-\theta t} \bigl[A(t) + iB(t)\bigr]\,
    \bigl[\cos(t\log r) + i\sin(t\log r)\bigr],
\EqnTag{V}{I}{16}
\]
$A$, $B$ étant des fonctions réelles de~$t$ qui sont holomorphes pour
toute valeur réelle de cette variable.

Considérons, par exemple, l'intégrale
\[
\int^{t'}_{-t'} \Pow{e}{-\theta t}\, A(t)\sin(t\log r)\, dt.
\EqnTag{V}{I}{17}
\]
Je dis d'abord que \textit{le nombre des intervalles alternatifs de croissance
et de décroissance que présente l'expression $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$
entre les limites $-t'$ et~$t'$ est inférieur à un nombre fixe~$N$
quel que soit~$\theta$}.

En effet, les extrémités des intervalles en question qui sont
comprises entre $-t'$ et~$t'$ correspondent, soit aux zéros de la fonction~$A(t)$,
soit à ceux de la dérivée de~$\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)$, c'est-à-dire aux
racines de l'équation
\[
A'(t) - \theta A(t) = 0,
\]
%% -----File: 127.png---Folio 115-------
lesquelles, à leur tour, ou vérifient simultanément les conditions
$A(t) = 0$, $A'(t) = 0$, ou bien correspondent aux points d'intersection
de la courbe~$y = \smfrac{A'(t)}{A(t)}$ avec la droite~$y = \theta$. D'ailleurs,
entre deux de ces points d'intersection consécutifs sera compris,
soit un infini de la fonction~$\smfrac{A'(t)}{A(t)}$, c'est-à-dire un zéro de~$A(t)$,
soit un zéro de sa dérivée, c'est-à-dire une racine de l'équation
\[
A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2} = 0.
\]

Or la fonction~$A(t)$ est holomorphe pour tout point de l'intervalle
$-t' \leqq t \leqq t'$, et celui-ci ne saurait donc comprendre qu'un
nombre fini de racines de chacune des équations
\[
A(t)=0,\qquad A'(t)=0,\qquad A(t)\, A''(t) - \Pow{\bigl[A'(t)\bigr]}{2}=0,
\]
d'où résulte l'exactitude de la proposition énoncée.

Ce point établi, soit~$M$ le maximum de~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ pour
$-t'\leqq t\leqq t'$, $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$. Je dis que \textit{la partie de
l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relative à l'un quelconque des intervalles
où~$\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\,A(t)}$ varie constamment dans le même sens, est numériquement
inférieure à~$\smfrac{2M}{\log r}$}.

Soit~$(a, b)$ l'un des intervalles en question et soient $t_1,~t_2, \dotsc,~t_\mu$
les multiples successifs de la quantité~$\smfrac{\pi}{\log r}$ compris entre $a$ et~$b$.
Les parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} correspondant aux sous-intervalles
\[
(t_1,t_2),\quad (t_2,t_3), \quad \dotsc,\quad (t_{\mu-1},t_{\mu}),\quad (t_{\mu},b)
\]
sont alternativement de signes contraires, tandis que leurs valeurs
numériques vont constamment en décroissant [en admettant, pour
fixer les idées, que $\Abs{\Pow{e}{-\theta t}\, A(t)}$ décroît de~$a$ vers~$b$]. La somme de
toutes ces intégrales sera donc numériquement plus petite et de
même signe que la première d'entre elles. Comme d'ailleurs les
parties de l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} relatives aux intervalles $(a, t_1)$ et~$(t_1, t_2)$
sont de signes contraires, et que chacune d'elles est numériquement
inférieure à la quantité
\[
M\int^{\tfrac{\pi}{\log r}}_0 \sin (t\log r)\, dt = \frac{2M}{\log r},
\]
on arrivera bien à la conclusion voulue.

%% -----File: 128.png---Folio 116-------

En somme, l'intégrale~\Eref{V}{I}{17} sera numériquement inférieure
à~$\smfrac{2MN}{\log r}$, pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, et tendra donc uniformément
vers zéro dans cet angle lorsque $r$~croît indéfiniment. Comme
la même conclusion s'applique à chacune des trois autres intégrales
qui proviennent de l'expression~\Eref{V}{I}{16}, il en résulte qu'on
pourra effectivement déterminer le nombre~$R$ de manière que
l'inégalité~\Eref{V}{I}{15} ait lieu dans les conditions indiquées, et notre démonstration
est ainsi achevée dans le cas où $\alpha$~n'est pas entier.

\Paragraph{56.} Lorsque \textit{le nombre~$\alpha$ est un entier}, les expressions \Eref{V}{I}{8}
et~\Eref{V}{I}{9} ne sont plus valables, de sorte que la démonstration doit
être modifiée. Nous nous placerons dans le cas le plus intéressant,
à savoir celui où $\alpha = 0$ est la plus petite valeur pour laquelle soient
vérifiées les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page109}.

En appliquant alors la formule~\Eref{V}{I}{8}, avec $m = 1$, et en faisant
tendre~$\alpha$ vers zéro, on trouve, par un calcul analogue à celui
du \no\Sref{29},
\[
F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0)
  - \int^{i\infty}_{-i\infty} \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{2}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz,
\EqnTag{V}{I}{18}
\]
et cette formule sera valable pour tout point~$x$ intérieur à
l'angle~\Eref{V}{I}{12}, ce qu'on démontre en raisonnant comme aux \nos\Sref{53}--\Sref{54}.

Pour plus de symétrie, posons $x = \Pow{e}{\pi i}x_1$, $(x_1 = r\,\Pow{e}{i\theta_1})$, et d'autre
part $z=it$, $\varphi(\pm it) = p(t)\pm iq(t)$. L'expression ci-dessus deviendra
\[
F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0)
  + \int^{\infty}_0 P(t,x_1)\, dt + \int^{\infty}_0 Q(t,x_1)\, dt
\tag{18${}'$}
\Pagelabel{eqn:V.I.18pr}
\]
avec
\begin{align*}
  P(t,x_1) &= -2p(t)\frac{\sin(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}, \\[1ex]
  Q(t,x_1) &= -2q(t)\frac{\cos(t\log x_1)}{\Pow{e}{\pi t} - \Pow{e}{-\pi t}}.
\end{align*}

Je dis que \textit{le dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{\upshape($18'$)} tend uniformément
vers zéro lorsque~$x$ tend, soit vers l'infini, soit vers
zéro, en restant intérieur à l'angle~\Eref{V}{I}{12}}. En effet, comme
\[
\cos(t\log x_1)
  = \smfrac{1}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\cos(t\log r)
  - \smfrac{i}{2}(\Pow{e}{\theta_1 t} + \Pow{e}{-\theta_1 t})\sin(t\log r),
\]
%% -----File: 129.png---Folio 117-------
on voit d'abord qu'il est possible de choisir le nombre~$t_0$ assez
petit pour que l'on ait, par exemple,
\[
\Abs{\int^{t_0}_0 Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3}
\EqnTag{V}{I}{19}
\]
pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}\footnotemark.
\footnotetext{La fonction~$\varphi(z)$ étant, par hypothèse, holomorphe à l'origine, l'expression
\[
q(t) \equiv \fnfrac{1}{2i} \bigl[\varphi(it) - \varphi(-it)\bigr]
\]
renferme~$t$ en facteur, d'où il résulte que~$Q(t, x_1)$ est holomorphe pour~$t = 0$.}
% [** End of footnote]
D'autre part, pour les
mêmes valeurs~$x$, on a $\Abs{\theta_1}\leqq \pi - \vartheta - \sigma$, et il s'ensuit que le module
de l'expression~$Q(t, x_1)$ décroît plus vite qu'une certaine
exponentielle~$\Pow{e}{-\eta t}$, où~$\eta >0$; par conséquent, on pourra choisir
un nombre~$T$ tel que
\[
\Abs{\int^{\infty}_T Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3}
\]
pour tout point~$x$ du domaine~\Eref{V}{I}{12}. Enfin, en raisonnant comme
au \no\Sref{55}, on voit qu'il existe un nombre~$R$ tel que l'on ait
\[
\Abs{\int^{T}_{t_0} Q(t, x_1)\, dt} < \smfrac{\eps}{3}
\]
pour $\vartheta + \sigma\leqq \theta\leqq 2\pi - \vartheta - \sigma$, $\Abs{\log r} > R$. Sous les mêmes conditions,
le module du dernier terme de l'expression~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)} sera donc
inférieur à~$\eps$, d'où résulte la proposition énoncée.

Cela posé, dans l'égalité~\hyperref[eqn:V.I.18pr]{($18'$)}, faisons tendre~$x$ vers l'origine,
en restant dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}. Comme $F(0) = \varphi(0)$, on conclut de
la proposition ci-dessus que l'intégrale
\[
\int^{\infty}_0 P(t, x_1)\, dt
\]
tendra uniformément vers la limite~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$. Or, si l'on remplace~$x$
par~$\smfrac{1}{x}$ ou, ce qui revient au même, $x_1$ par~$\smfrac{1}{x_1}$, l'intégrale en question
changera simplement de signe. Par suite, elle tendra uniformément
vers la limite~$-\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tend vers l'infini dans
%% -----File: 130.png---Folio 118-------
l'angle~\Eref{V}{I}{12}, et, en utilisant encore une fois la proposition ci-dessus,
on voit donc que, \textit{dans le cas où les conditions énoncées à
la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\alpha = 0$, la fonction~$F(x)$ tend
uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant
intérieur à l'angle}~\Eref{V}{I}{12}.

Ce résultat subsiste d'ailleurs dans des conditions plus générales
que celles de la \Pgref{page}{page109}. Ainsi il n'est pas nécessaire que la
fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe à l'origine; il suffit, par exemple,
qu'elle y prenne une valeur finie et déterminée et que, en outre,
l'intégrale
\[
\int^t_0 \frac{\Abs{q(t)}}{t}\, dt
\EqnTag{V}{I}{20}
\]
ait un sens. En effet, en vertu de la première de ces hypothèses,
la formule~\Eref{V}{I}{18} restera applicable (\textit{voir} la note de la \Pgref{page}{page60}) et,
en vertu de la seconde, il sera possible de satisfaire à l'inégalité~\Eref{V}{I}{19},
qui est la seule où intervienne le caractère de~$\varphi(z)$ à
l'origine.

De même, on démontre aisément que le résultat ci-dessus reste
valable dans le cas où $\varphi(z)$~présente sur l'axe imaginaire un nombre
fini de points singuliers distincts de l'origine, $z_1,~z_2,~\dotsc$, tels que
le produit~$(z - z_\nu)\,\varphi(z)$ tende uniformément vers zéro avec~$\Abs{z-z_\nu}$
et que l'intégrale
\[
\int^t_0 \Abs{\varphi(z_\nu + it)}\, dt
\]
ait une valeur finie pour les valeurs réelles de~$t$.

Supposons maintenant que~$\varphi(z)$ possède sur l'axe imaginaire
un pôle~$z_0$, distinct de l'origine. La formule~\Eref{V}{I}{18} restera encore
valable si l'on y modifie le chemin d'intégration, par exemple
en remplaçant un petit segment passant par le point~$z_0$ par un
demi-cercle tournant la convexité vers la \textit{gauche}, pourvu que, en
même temps, on retranche du second membre le résidu de l'expression
\[
2\pi i\, \frac{\varphi(z)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}
\]
relatif au pôle~$z_0$. On démontre facilement que, après cette modification,
l'intégrale qui figure dans la formule~\Eref{V}{I}{18} tendra toujours
%% -----File: 131.png---Folio 119-------
uniformément vers~$\smfrac{1}{2}\varphi(0)$, lorsque~$x$ tendra vers l'infini dans
l'angle~\Eref{V}{I}{12}.

Or, si~$z_0$ est un pôle simple de~$\varphi(z)$, le résidu correspondant
de l'expression ci-dessus s'écrit~$A\Pow{x}{z_0}$, A étant une constante. Dans
ce cas, la fonction~$F(x)$ restera donc inférieure en valeur absolue
à une quantité finie dans le domaine~\Eref{V}{I}{12}, en ne tendant d'ailleurs
vers aucune limite fixe lorsque le point~$x$ s'éloigne indéfiniment.
Si, au contraire, $z_0$~est un pôle d'ordre~$m > 1$, on conclut des remarques
précédentes que la fonction~$F(x)$ devient infiniment
grande de l'ordre de~$\Pow{(\log x)}{m-1}$ lorsque~$x$ tend vers l'infini en restant
dans l'angle~\Eref{V}{I}{12}.

Les résultats que nous venons de démontrer dans ce numéro
pour~$\alpha = 0$ s'étendent immédiatement au cas où $\alpha$~est un entier
quelconque.


\Section{V}{II}{Applications diverses.}

\Paragraph{57.} Des théorèmes qui précèdent, nous allons tirer d'abord
quelques conséquences intéressantes relatives aux fonctions entières.
Soit~$\varphi(z) = \Pow{z}{-\sigma z}$, $\sigma$~étant un nombre positif~$<2$; cette fonction
est holomorphe pour~$\tau\geqq 0$, sauf à l'origine, mais en ce point,
$\varphi(z)$~prend une valeur finie, à savoir~$1$, et la condition concernant
l'intégrale~\Eref{V}{I}{20} se trouve également vérifiée. D'autre part, en
posant $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura
\[
\Abs{\varphi(z)} = \Pow{e}{\sigma \rho(\psi\sin\psi - \log\rho\cos\psi)},
\]
et par suite, dès que $\rho > 1$,
\[
\Abs{\varphi(z)}
  < \Powfr{e}{\fnfrac{\pi\sigma}{2}\rho}\qquad\text{pour}\qquad
    -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}.
\]

On pourra donc appliquer le théorème du \no\Sref{55} en faisant $\alpha = 0$,
$\vartheta = \smfrac{\pi\sigma}{2}$, et l'on en conclut que la fonction entière
\[
\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}
\EqnTag{V}{II}{1}
\]
tend uniformément vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini, en
%% -----File: 132.png---Folio 120-------
restant dans l'angle
\[
\smfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\leqq \theta
                            \leqq 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2} - \eps.
\EqnTag{V}{II}{2}
\]

Ce résultat étant vrai quelque petits que soient les nombres
positifs $\sigma$ et~$\eps$, on voit qu'\textit{il existe des fonctions entières tendant
uniformément vers zéro, lorsque~$x$ augmente indéfiniment,
dans un angle qui est inférieur à~$2\pi$ d'aussi peu qu'on
le voudra}.

Cette remarque est due à M.~Mittag-Leffler, qui y a été conduit
dans ses recherches sur la fonction\footnotemark
\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 2~mars 1903.}
\[
\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)}\qquad (\sigma > 0),
\EqnTag{V}{II}{3}
\]
qu'on déduit de~$F(x)$ en faisant $\varphi(z) = \smfrac{1}{\Gamma(1+\sigma x)}$. Cette fonction~$\varphi(z)$
est holomorphe dans tout le plan et, en se servant de la formule
de Stirling, on trouve facilement que l'inégalité
\[
\Abs{\varphi(\alpha + \rho\,\Pow{e}{i\psi})}
  < \Powfr{e}{\left(\fnfrac{\pi\sigma}{2} + \eps\right)\rho},
\]
où $\alpha$~désigne une constante réelle quelconque et~$\eps$ un nombre
positif arbitrairement petit, est vérifiée pour $-\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}$ dès que~$\rho$
est supérieur à une certaine limite finie. Le théorème du \no\Sref{55}
nous permet donc d'affirmer, non seulement que la fonction~\Eref{V}{II}{3}
tend uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle~\Eref{V}{II}{2}, mais encore
que l'on a, quelque grand que soit l'entier positif~$k$, la relation
\[
\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Gamma(1 + \nu\sigma)}
  = -\sum^k_1 \frac{\Pow{x}{-\nu}}{\Gamma(1 - \nu\sigma)}
    + \Pow{x}{-\alpha}\, \eps(x)\qquad (k < \alpha < k+1),
\]
où $\eps(x)$~jouit de la même propriété. Le second membre de cette
égalité nous donne donc le développement asymptotique de la
fonction~\Eref{V}{II}{3} dans l'angle $\smfrac{\pi\sigma}{2}<\theta <2\pi -\smfrac{\pi\sigma}{2}$.

Soit maintenant $\varphi(z) = \Pow{\bigl[\log (z+\beta)\bigr]}{-z}$; cette fonction est
%% -----File: 133.png---Folio 121-------
holomorphe pour $\tau\geqq 0$, si l'on suppose~$\beta>1$; d'autre part, un calcul
élémentaire nous donne
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})}
  = \Powfr{e}{\rho\left(\fnfrac{\psi\sin\psi + \eps(\rho)}{\log\rho}
       - \log\log\rho \centerdot \cos\psi\right)},
\]
d'où il résulte qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$,
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\text{pour}\qquad
  -\smfrac{\pi}{2}\leqq \psi\leqq \smfrac{\pi}{2}
\]
dès que $\rho$~dépasse une certaine limite. Dans le cas présent, les
conditions énoncées \Pgref{page}{page109} sont donc vérifiées pour~$\alpha=0$, $\vartheta=0$,
et nous arrivons ainsi à cette conclusion intéressante que \textit{la fonction
entière
\[
E_\beta(x)
  \equiv \sum^{\infty}_0 \Pow{\biggl[\frac{x}{\log(\nu +\beta)}\biggr]}{\nu}
    \qquad(\beta > 1)
\EqnTag{V}{II}{4}
\]
tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon
quelconque autre que l'axe réel positif}\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Cf}.~une Note de l'auteur insérée dans le Tome~XXVII du \textit{Bulletin des
Sciences mathématiques} (août~1903). D'autres fonctions du même genre ont été
indiquées par MM.~Malmquist et~Mittag-Leffler (\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903).}
% [** End of footnote]

Lorsque~$\beta > 2$, les conditions de la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour~$\vartheta=0$
et pour une valeur de~$\alpha$ comprise entre $-2$ et~$-1$. On
aura donc
\[
E_\beta(x) = -\frac{\log(\beta-1) + \eps(x)}{x},
\]
$\eps(x)$~tendant uniformément vers zéro avec~$\smfrac{1}{x}$ dans l'angle
\[
\eps\leqq \theta\leqq 2\pi - \eps,
\]
quelque petit que soit~$\eps$, et l'on en conclut immédiatement que,
\textit{pour $\beta > 2$, les arguments des racines de l'équation $E_\beta(x) = 0$
tendent vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine}.

On peut rattacher à la fonction~\Eref{V}{II}{4} une remarque ingénieuse due
à M.~Mittag-Leffler\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 12~octobre 1903. \textit{Voir} aussi un Mémoire de M.~Mittag-Leffler
qui vient de paraître dans le Tome~XXIX des \textit{Acta Mathematica}.}
D'après ce qui précède, l'expression
\[
\Pow{e}{-E_\beta(x)}
\]
%% -----File: 134.png---Folio 122-------
définit une fonction entière tendant vers zéro suivant l'axe réel
positif, mais vers l'unité suivant tout autre rayon. En désignant
par~$\beta'$ un nombre réel supérieur à l'unité et distinct de~$\beta$, on arrive
donc à cette conclusion curieuse que \textit{la fonction entière
\[
\Pow{e}{-E_\beta(x)} - \Pow{e}{-E_{\beta'}(x)}
\]
tend vers zéro lorsque~$x$ tend vers l'infini suivant un rayon
quelconque}.

Ce paradoxe apparent s'explique par cette remarque que la
fonction précédente, bien qu'elle converge vers zéro suivant un
rayon quelconque, ne converge \textit{uniformément} vers cette limite
dans aucun angle, si petit qu'il soit, qui renferme l'axe réel positif.
Il n'est guère possible d'imaginer un exemple plus propre à mettre
en évidence l'importance de la notion de \textit{convergence uniforme}.

\Paragraph{58.} En appliquant à la fonction~\Eref{V}{II}{1} la formule~\Eref{V}{I}{8}, \Pgref{page}{eqn:V.I.8},
avec $m = 1$, on trouve
\[
\sum^{\infty}_0 \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}
  = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty}
      \frac{\Pow{z}{-\sigma z}\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz\qquad (0 < \alpha < 1),
\]
égalité valable pour tout point~$x$ intérieur à l'angle
\[
\smfrac{\pi\sigma}{2} < 0 < 2\pi - \smfrac{\pi\sigma}{2}.
\EqnTag{V}{II}{5}
\]
Ce résultat subsiste encore pour $\sigma=0$, puisque les conditions de
la \Pgref{page}{page109} sont vérifiées pour $\varphi (z)\equiv 1$, $\vartheta=0$, et l'on aura donc
\[
\frac{1}{1-x}
  = 1 - \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty} \frac{\Pow{x}{z}\, dz}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}
\]
dans tout le plan, excepté sur l'axe réel positif. Cela posé, nous
allons démontrer la proposition suivante:

\Theorem{V.II.1}{Lorsque le paramètre~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives,
la fonction entière~\Eref{V}{II}{1} tend uniformément vers~$\smfrac{1}{1-x}$ dans
tout domaine fini n'ayant aucun point commun avec le
segment $\Segment{1}{+\infty}$ de l'axe réel.}

Ceci ayant évidemment lieu dans toute aire intérieure au cercle~$\Abs{x}=1$,
%% -----File: 135.png---Folio 123-------
il suffira de démontrer la proposition pour un domaine~$X$
n'ayant aucun point commun avec la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel.
A cet effet, fixons d'abord un nombre positif~$\sigma_0$ tel que le domaine~$X$
soit intérieur à l'angle~\Eref{V}{II}{5} dès que~$\sigma\leqq\sigma_0$; on aura, pour tout
point~$x$ du domaine~$X$, et pour~$\sigma\leqq\sigma_0$,
\[
\sum^{\infty}_0
  \Pow{\left(\frac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu} - \frac{1}{1-x}
  = \int^{\alpha+i\infty}_{\alpha-i\infty}
        \frac{(1 - \Pow{z}{-\sigma z})\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}\, dz.
\EqnTag{V}{II}{6}
\]
Or, en posant $z = \alpha + it$, on peut conclure des calculs du \no\Sref{54}
que le module de l'expression sous le signe intégral, pour les
valeurs considérées de~$x$ et de~$\sigma$ et pour les valeurs~$t$ de module
suffisamment grand, reste inférieur à une certaine exponentielle
$\Pow{e}{-\eta\Abs{t}}$, où~$\eta > 0$. Il est donc possible de trouver un nombre positif~$t'$
tel que les parties de l'intégrale ci-dessus qui correspondent aux
valeurs~$t$ supérieures à~$t'$ ou inférieures à~$-t'$, donnent une
somme numériquement inférieure, par exemple, à~$\eps$, et d'autre
part, comme~$1 - \Pow{z}{-\sigma z}$ tend vers zéro avec~$\sigma$, on pourra assigner un
nombre positif~$\sigma'_0\leqq \sigma_0$ tel que la partie restante de l'intégrale en
question, celle où~$t$ varie entre les limites $-t'$ et~$t'$, soit inférieure
en valeur absolue à~$\eps$ dès que $\sigma < \sigma'_0$. Le module de la différence~\Eref{V}{II}{6} sera donc inférieur à~$2\eps$ pour tout point du domaine~$X$
dès que $\sigma < \sigma'_0$, et notre proposition se trouve ainsi démontrée.

Soit maintenant une série de Taylor quelconque
\[
\sum^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu}
\EqnTag{V}{II}{7}
\]
ayant un rayon de convergence fini et non nul, et soit~$A$ son
\textit{étoile principale de convergence}\footnotemark, suivant la terminologie de
\footnotetext{Le domaine~$A$ comprend, de chaque rayon vecteur, le segment compris
entre l'origine et le premier point singulier de la fonction~\Eref{V}{II}{7} qu'on rencontre en
cheminant suivant ce rayon.}
% [** End of footnote]
M.~Mittag-Leffler. En s'appuyant sur un théorème fondamental
établi par M.~Borel\footnotemark, on déduit immédiatement de la proposition
\footnotetext{\textit{Mémoire sur les séries divergentes}, p.~63--64 et~133--134 (\textit{Annales de l'École
  Normale}, 1899) et \textit{Leçons sur les séries divergentes}.}
précédente l'intéressante conséquence que voici:

\Theorem{V.II.2}{Lorsque~$\sigma$ tend vers zéro par des valeurs positives, la
%% -----File: 136.png---Folio 124-------
fonction entière $\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{\left(\smfrac{x}{\Pow{\nu}{\sigma}}\right)}{\nu}$  converge uniformément vers la fonction
définie par la série $\smash{\sum\limits^{\infty}_0 a_\nu \Pow{x}{\nu}}$ dans toute aire finie intérieure
à l'étoile~$A$.}
% [** End of Theorem]

C'est là, nous semble-t-il, l'exemple le plus simple qu'on puisse
trouver de ces expressions limites, réalisant le prolongement d'une
série de Taylor en dehors de son cercle de convergence, dont
MM.~Borel, Mittag-Leffler, Painlevé et d'autres ont ces dernières
années enrichi l'Analyse. Du reste, cet exemple n'est qu'un cas
très particulier d'un théorème général que nous avons démontré
ailleurs\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Comptes rendus}, 29~décembre 1902, et \textit{Journal de Mathématiques},
t.~IX, 1903.}
% [** End of footnote]

\Paragraph{59.} Supposons maintenant vérifiées les hypothèses suivantes:

\primo~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme et ne présente qu'un
nombre fini de points singuliers;}
\Pagelabel{page124}%

\secundo~\textit{Ayant fixé un nombre positif arbitrairement petit~$\eps$,
on peut trouver un autre nombre positif~$R$ tel que}
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})}
    < \Pow{e}{\eps\rho}\qquad\textit{pour}\qquad \rho > R.
\]

Le rayon de convergence de la série donnée sera égal à l'unité
et, d'après le théorème de la \Pgref{page}{page109}, la fonction~$F(x)$ que définit
cette série restera holomorphe tant qu'on évitera le segment $\Segment{1}{+\infty}$
de l'axe réel. Cette branche de la fonction~$F(x)$ sera
appelée, dans la suite, \emph{la branche principale}, et sera désignée par~$\overline{F}(x)$.

Mais nous allons voir que, dans le cas présent, on pourra étudier
la fonction~$F(x)$ pour toute valeur de~$x$. Soit, en effet, $-n$~un
entier négatif inférieur à la partie réelle de chacun des points
singuliers de~$\varphi(z)$. On pourra appliquer la formule~\Eref{V}{I}{9} (\Pgref{p.}{eqn:V.I.9})
pour~$k = n$, à condition de retrancher de son second membre
l'expression
\[
\Phi(x) \equiv 2\pi i\, \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}}
                                         {\Pow{e}{2\pi iz} - 1},
\]
%% -----File: 137.png---Folio 125-------
la somme s'étendant à tous les points singuliers de~$\phi(z)$ situés \emph{à
distance finie}. Remarquons en passant que \emph{$\Phi(x)$~est une fonction
entière de~$\log x$}, ce qu'on voit immédiatement en exprimant les
résidus qui y figurent par des intégrales définies, et en développant
$\Pow{x}{z} \equiv \Pow{e}{z\log x}$ suivant les puissances ascendantes de~$\log x$.

On trouve donc pour~$F(x)$ l'expression suivante:
\Pagelabel{page125}
\[
F(z) = -\sum_1^n \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x)
       - \int_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty} \Phi(x,z)\, dz,
\EqnTag{V}{II}{8}
\]
où~$-(n + 1) < \alpha < -n$, expression qui est valable dans tout le
plan, sauf sur la partie $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel.

Je dis que \emph{le dernier terme de cette expression s'évanouit
lorsque $n$~croît indéfi\-ni\-ment, si le point~$x$ est situé sur le
segment $\Segment{-\infty}{-1}$ de l'axe réel}. En effet, en posant
\Erratum{2}
\[
\alpha = -\left(n + \smfrac{1}{2}\right),  \quad
  z    = \alpha + it,  \quad
  x    = \Pow{e}{\pi i}\, r \qquad (r > 1),
\]
on aura [\emph{voir} l'égalité~\Eref{V}{I}{5}, \Pgref{page}{eqn:V.I.5}]
\[
\Abs{\Phi(x,z)}
  = \Pow{r}\alpha\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}},\quad\Changenotemark
% [** PP: Added i to exponent; dropped out in scan?]
\]
\Changenotetext{2}%
et, par suite, en vertu de l'hypothèse~\secundo ci-dessus,
\[
\Abs{\Phi(x,z)} < \Pow{r}{\alpha}\,
                  \Pow{e}{-\pi\Abs{t} + \eps\sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}}},
\]
$\eps$~tendant vers zéro lorsque~$\alpha$ tend vers~$-\infty$. Comme l'on a
\begin{align*}
  \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{\alpha}\qquad&\text{pour}\qquad
  \Abs{t} < \Abs{\alpha} \\
\intertext{et}
  \sqrt{\Pow{\alpha}{2} + \Pow{t}{2}} < \sqrt{2} \Abs{t}\qquad&\text{pour}\qquad
  \Abs{t} > \Abs{\alpha}
\end{align*}
le module du dernier terme de l'expression~\Eref{V}{II}{8} sera inférieur à
la somme
\[
2\Pow{r}{\alpha}\, \Pow{e}{\eps\sqrt{2}\Abs{\alpha}} \int_0^{\Abs{\alpha}} \Pow{e}{-\pi t}\, dt
  + 2 \Pow{r}{\alpha} \int_{\Abs{\alpha}}^\infty \Pow{e}{-\pi i + \eps\sqrt{2}t}\, dt,
\]
dont les deux termes s'évanouissent pour~$\alpha =-\infty$, dès que~$r>1$.

Pour~$n=\infty$, l'égalité~\Eref{V}{II}{8} deviendra donc,
\[
F(x) = -\sum_1^\infty \frac{\phi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}} - \Phi(x),
\EqnTag{V}{II}{9}
\]
%% -----File: 138.png---Folio 126-------
en supposant d'abord la variable~$x$ réelle et inférieure à~$-1$. Mais,
comme l'expression figurant au second membre est holomorphe en
dehors du cercle~$\Abs{x}=1$, elle nous donnera le prolongement de
la fonction~$F(x)$ dans toute cette région, en vertu du principe établi
au \no\Sref{9}. Donc:

\Theorem{V.II.3}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$
est holomorphe en dehors du cercle~$\Abs{x}=1$ {\upshape(}sauf peut-être
à l'infini{\upshape)}.}

Menons une coupure suivant l'axe réel de $1$ à~$+\infty$. Dans la
région extérieure au cercle~$\Abs{x}=1$, et limitée par les deux bords
de cette coupure, la branche~$\overline{F}(x)$ sera représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9}, où l'argument de~$x$ est compris entre $0$ et~$2\pi$, et la
différence entre la valeur que prend cette branche en un point~$x$
situé sur le bord supérieur de la coupure, et sa valeur au point
correspondant du bord inférieur, sera égale à
\[
-\Phi(x) + \Phi(\Pow{e}{2\pi i}\, x)
  \equiv -2\pi i\, \Biggl[\,
    \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}
  - \residuesum \frac{\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z} \Pow{e}{2\pi iz}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}
\Biggr]\,,
\]
expression qui se réduit à
\[
2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z},
\EqnTag{V}{II}{10}
\]
la somme~$\residuesum$ s'étendant aux points singuliers de~$\varphi(z)$ situés \textit{à
distance finie}.

Les valeurs de l'expression
\Pagelabel{page126}
\[
\overline{F}_1(x) \equiv \overline{F}(x)
  + 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\, \Pow{x}{z},
\EqnTag{V}{II}{11}
\]
sur le bord inférieur de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$ se confondent donc
avec celles que prend la branche principale~$\overline{F}(x)$ sur le bord
supérieur et, en invoquant toujours le principe établi au \no\Sref{9}, on
en conclut que~$\overline{F}_1(x)$ \textit{donne le prolongement de~$\overline{F}(x)$ au delà
de la coupure $\Segment{1}{+\infty}$, lorsqu'on la traverse de haut en bas}.
Si l'on traverse la même coupure de bas en haut, le prolongement
de~$\overline{F}(x)$ est fourni par l'expression
\[
\overline{F}_2(x)
  \equiv \overline{F}(x)
    - 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(z)\bigr)\,\Pow{x}{z}.
\EqnTag{V}{II}{12}
\]

%% -----File: 139.png---Folio 127-------

Or l'expression~\Eref{V}{II}{10}, étant une fonction entière de~$\log x$, admet
pour seuls points singuliers l'origine et le point à l'infini, et notre
discussion conduit donc au résultat suivant:

\Theorem{V.II.4}{Sous les conditions énoncées à la \Pgref{page}{page124}, la fonction~$F(x)$
n'admet pas d'autres singularités que les points $1$,~$\infty$ et~$0$,
l'origine étant en général point singulier pour toute branche
de la fonction autre que la branche principale. En dehors du
cercle~$\Abs{x}=1$, cette fonction est représentée par l'expression~\Eref{V}{II}{9}
qui, jointe aux égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12}, permet d'en poursuivre
l'étude pour toutes les valeurs de~$x$\footnotemark.}
\footnotetext{On a supposé tacitement que~$\varphi(z)$ ne devient infini pour aucune valeur
entière de~$z$. Mais il est facile de voir comment doivent être modifiés les résultats
qui précèdent dans le cas où cette condition n'est pas remplie.}
% [** End of footnote]

\Paragraph{60.} Appliquons d'abord ce résultat au cas où $\varphi(z)$~n'a pas
de points singuliers à distance finie. Alors, en vertu de l'hypothèse~\secundo,
$\varphi(z)$~\textit{est une fonction entière dont le module croît
moins vite que}~$\Pow{e}{\eps\Abs{z}}$, quelque petit que soit~$\eps$.

Les égalités \Eref{V}{II}{11} et~\Eref{V}{II}{12} se réduisent à~$\overline{F}_1(x) = \overline{F}_2(x) = \overline{F}(x)$,
et la formule~\Eref{V}{II}{9} devient
\[
F(x) = -\sum^{\infty}_1 \frac{\varphi(-\nu)}{\Pow{x}{\nu}}
  \qquad\text{pour}\qquad \Abs{x} > 1,
\EqnTag{V}{II}{13}
\]
d'où il résulte que la fonction~$F(x)$ est uniforme dans tout le plan,
admet~$x=1$ comme seul point singulier et s'annule à l'infini.
Donc, d'après le théorème de Laurent, $F(x)$~\textit{est une fonction
entière de~$\smfrac{1}{x-1}$, sans terme constant}\footnotemark.
\footnotetext{Ce résultat important a été établi à peu près simultanément par M.~Le~Roy
(\textit{voir} p.~348 du Mémoire cité plus haut) et par M.~Wigert (\textit{Öfversigt
af Svenska Vetenskapsakademiens Förhandlingar}, 1900). Voir aussi un Mémoire
de M.~Leau (\textit{Journal de Mathématiques}, 1899).}
% [** End of footnote]

Si, en particulier, $\varphi(z)$~est une fonction \emph{paire}, l'équation~\Eref{V}{II}{13}
devient
\[
F(x) = -F\left(\smfrac{1}{x}\right) + \varphi(0).
\]

Pour $x = \Pow{e}{i\theta}$, cette égalité s'écrit $F(\Pow{e}{i\theta}) + F(\Pow{e}{-i\theta})=\varphi(0)$; donc
%% -----File: 140.png---Folio 128-------
\textit{la partie réelle de $F(x)$ se réduit à la valeur constante $\smfrac{1}{2}\,\varphi(0)$
sur la circonférence} $\Abs{x} = 1$, si l'on suppose la fonction $\varphi(z)$
\emph{réelle} pour les valeurs réelles de $z$.

Si $\varphi(z)$~est \textit{impaire}, l'égalité~\Eref{V}{II}{13} prend la forme
\[
F(x) = F\left(\smfrac{1}{x}\right),
\]
et l'on en conclut, en particulier, que \textit{la partie imaginaire de~$F(x)$
s'annule sur la circonférence}~$\Abs{x} = 1$.

\Paragraph{61.} Soit en second lieu~$\varphi(z)$ une \emph{fonction rationnelle}, cas où
les conditions de la \Pgref{page}{page124} sont toujours vérifiées, et soit~$a$ un
pôle de~$\varphi(z)$. Si c'est un pôle simple, la partie correspondante de
l'expression~$\Phi(x)$ s'écrit~$A\Pow{x}{a}$, $A$~étant une constante. Si~$a$ est un
pôle d'ordre~$m>1$, il surviendra des termes en $\Pow{x}{a}\,\log x,~\dotsc,~\Pow{x}{a}\Pow{(\log x)}{m-1}$.
D'après l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, on en conclut que, si les pôles
de~$\varphi(z)$ ont tous leur partie réelle négative, toute branche de la
fonction~$F(x)$ tend vers \emph{zéro} lorsque~$x$ s'éloigne indéfiniment dans
une direction quelconque.

Soit, en particulier, $\varphi(z) = \Pow{z}{-k}$, $k$~étant un entier positif, et
considérons la fonction
\[
F(x) = \sum^{\infty}_{\nu=1} \varphi(\nu)\, \Pow{x}{\nu}
     = \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}},
\EqnTag{V}{II}{14}
\]
qui a fait l'objet des recherches de Lambert,~Legendre, Abel,
Kummer et de bien d'autres. On aura encore l'égalité~\Eref{V}{II}{9}, en désignant
par~$\Phi(x)$ le résidu de l'expression
\[
\frac{1}{\Pow{z}{k}}\, \frac{2\pi i\, \Pow{x}{z}}{\Pow{e}{2\pi iz} - 1}
\]
relatif à l'origine. Or, on trouve facilement, à l'aide de la formule~\Eref{II}{II}{9} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.9}), que ce résidu est égal à $\smfrac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\,\varphi_k\left(\smfrac{\log x}{2\pi i}\right)$, de sorte
que l'égalité en question devient
\[
F(x) = \Pow{(-1)}{k+1}\, \sum^{\infty}_1 \frac{1}{\Pow{\nu}{k}}\,\frac{1}{\Pow{x}{\nu}}
  - \frac{\Pow{(2\pi i)}{k}}{k!}\, \varphi_k\left(\frac{\log x}{2\pi i}\right)
    \qquad (\Abs{x} < 1),
\]
%% -----File: 141.png---Folio 129-------
résultat dû à M.~Jonquière\footnotemark.
\footnotetext{\textit{Bihang till Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar}, t.~XV, 1888.}
D'autre part, l'égalité~\Eref{V}{II}{11} s'écrit
\[
\overline{F}_1(x) = \overline{F}(x) + 2\pi i\, \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}.
\]

Ces relations permettent d'étudier~$F(x)$ dans tout le plan;
pour~$k = 1$, on retrouve les propriétés connues de~$\log(1-x)$.

Les résultats du \no\Sref{59} restent encore applicables dans bien des
cas où $\varphi(z)$~est une fonction méromorphe, mais pour cette question
nous devons nous borner à renvoyer aux Mémoires de
M.~Mellin, qui en a donné de nombreux exemples.


\Section{V}{III}{Nouvelle méthode de prolongement analytique.}

\Paragraph{62.} On arrive à d'autres résultats généraux et dignes d'intérêt
en se servant de la formule~\Eref{III}{I}{IV}, \Pgref{page}{eqn:III.I.IV}\footnotemark.
\footnotetext{Pour cette Section, \textit{voir} pages 24--36 de notre Mémoire cité au~\no\Sref{35}.}
% [** End of footnote]

Pour en faciliter
l'énoncé, nous admettrons d'abord les hypothèses suivantes:
\smallskip

\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe pour tout point $z\equiv \tau + it$
faisant partie du demi-plan~$\tau\geqq 0$};
\Pagelabel{page129}%

\secundo~\textit{Quelque petit que soit le nombre positif~$\eps$, on aura
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho}
    \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2}\leqq\psi\leqq \smfrac{\pi}{2},
\]
dès que $\rho$~dépassera une certaine limite finie}.
\smallskip

En posant $f(z) = \phi(z)\,\Pow{x}{z}$, on conclut immédiatement de la
seconde hypothèse que la condition~\Eref{III}{I}{A} (\Pgref{p.}{eqn:III.I.A}), lorsque~$x$ est
réel et positif, est vérifiée uniformément pour $0\leqq\tau\leqq n$, quelque
grand que soit~$n$, et, par un calcul identique à celui de la \Pgref{page}{page125},
on démontre que la condition~\Eref{III}{I}{B} est remplie si l'on suppose
$0<x<1$. Pour ces valeurs de~$x$, on pourra donc appliquer la
formule~\Eref{III}{I}{IV} avec $m = 0$, ce qui donne
\[
F(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + H(x) + I(x),
\EqnTag{V}{III}{1}
\]
%% -----File: 142.png---Folio 130-------
où
\begin{align*}
  H(x) &= i \int^{\infty}_0
            \frac{\varphi(it)\, \Pow{x}{it} - \varphi(-it)\, \Pow{x}{-it}}{\Pow{e}{2\pi i} - t}\, dt,
\EqnTag{V}{III}{2} \\[1ex]
  I(x) &=   \int^{\infty}_0 \varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}\, d\tau,
\EqnTag{V}{III}{3}
\end{align*}

L'étude de la fonction donnée~$F(x)$ est donc ramenée à celle
des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$.

En posant $x=r\,\Pow{e}{i\theta}$, on a
\[
\Abs{\Pow{x}{it}}  = \Pow{e}{-\theta t}, \qquad
\Abs{\Pow{x}{-it}} = \Pow{e}{ \theta t};
\]
d'après l'hypothèse~\secundo, le module de l'expression qui dans~\Eref{V}{III}{2}
figure sous le signe intégral croîtra donc moins vite que~$\Pow{e}{-(2\pi - \Abs{\theta} - \eps)t}$,
quelque petit que soit~$\eps$, et, en raisonnant comme à la \Pgref{page}{page112},
on en déduit ce premier résultat:

\Theorem{V.III.1}{L'expression~$H(x)$ définit une fonction analytique de la
variable~$x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui est holomorphe pour tout point du domaine\[
-2\pi < \theta < 2\pi,\qquad r > 0.
\]
}
% [** End of Theorem]

Quant à l'expression~$I(x)$, nous nous bornerons pour le moment
à constater qu'elle définit une fonction holomorphe à l'intérieur
du cercle~$\Abs{x} = 1$, en exceptant l'origine. Ceci résulte immédiatement
de l'inégalité
\[
\Abs{\varphi(\tau)\, \Pow{x}{\tau}}
  < \Powfr{e}{-\tau\left(\log\fnfrac{1}{r} - \eps\right)},
\]
qui, en vertu de l'hypothèse~\secundo, subsiste à partir d'une valeur finie
de~$\tau$, quelque petit qu'on se donne le nombre positif~$\eps$.

La fonction~$F(x)$ est holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, puisque, d'après
l'hypothèse~\secundo, le rayon de convergence de la série donnée est au
moins égal à \emph{un}. On peut donc conclure de l'égalité~\Eref{V}{III}{1} que~$H(x)$
est également holomorphe pour~$\Abs{x}<1$, sauf à l'origine qui est
pour chacune des fonctions $H(x)$ et~$I(x)$ un \emph{point critique}, c'est-à-dire
un point singulier autour duquel différentes branches de la
fonction se permutent.
%[**F2: "f-" added to "-onction".]

Désignons maintenant par~$\overline{H}(x)$ la branche de la fonction~$H(x)$
qui est définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{2} dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$,
et, de même, par~$\overline{I}(x)$ la branche de~$I(x)$ définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3}
%% -----File: 143.png---Folio 131-------
dans le domaine $-\pi<\theta<\pi$, $r<1$, et soient d'autre part~$\overline{H}_1(x)$,
$\overline{I}_1(x)$ les nouvelles branches de ces mêmes fonctions qu'on obtient
en prolongeant~$\overline{H}_1(x)$, $\overline{I}_1(x)$ le long d'une courbe fermée faisant le
tour de l'origine dans le sens direct, et restant intérieure au cercle~$\Abs{x} = 1$.
Comme la somme $H(x) + I(x)$ est uniforme dans ce même
cercle, d'après l'égalité~\Eref{V}{III}{1}, on aura
\[
\overline{H}_1(x) + \overline{I}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x),
\]
ou bien
\[
\overline{H}_1(x) = \overline{H}(x) + \overline{I}(x) - \overline{I}_1(x),
\]
et il en résulte que, dans le domaine où était défini~$\overline{H}(x)$, la
branche~$\overline{H}_1(x)$ ne saurait présenter d'autres singularités que celles
de la fonction~$I(x)$. Cette conclusion s'étend successivement à
toutes les branches de~$H(x)$, et, après un moment de réflexion, on
arrive ainsi au résultat suivant, qui nous paraît intéressant:

\smallskip
\textit{Sous les conditions énoncées \Pgref{page}{page129}, toute branche de la
fonction~$F(x)$ peut se mettre sous la forme $\smfrac{1}{2}\varphi(0)+\overline{H}(x)$ plus
ou moins certaines branches de la fonction~$I(x)$}.
\Pagelabel{page131}%%

\textit{L'étude de la fonction~$F(x)$ revient donc essentiellement à
celle de la fonction~$I(x)$ et, en particulier, les singularités
de~$F(x)$ sont toutes comprises parmi celles des différentes
branches de~$I(x)$}.
\smallskip

Cette proposition reste encore vraie si l'on remplace la condition~\secundo
par la suivante qui est plus générale:
\smallskip

\textit{Quelque petit que soit~$\eps$, on aura
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho}
% [** PP: Changed "=" to "\leqq" in "-\smfrac{\pi}{2} = \psi"]
  \qquad\textit{pour}\qquad -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2},\quad\Changenotemark
\]
dès que $\rho$~dépassera une certaine limite, $\vartheta$~étant un nombre
positif inférieur à~$\pi$}.
\Changenotetext{3}
\Erratum{3}
\smallskip

L'intégrale~\Eref{V}{III}{2} définit dans ce cas une fonction holomorphe dans
le domaine $\Abs{\theta} < 2\pi - \vartheta$, $r>0$.

Remarquons encore que la seconde partie de la proposition ci-dessus
reste valable dans le cas où les conditions données sont
vérifiées, non pas pour~$\varphi(z)$, mais pour~$\varphi(n_0+z)$, $n_0$~étant un
entier positif quelconque, pourvu toutefois que~$\varphi(z)$ soit
%% -----File: 144.png---Folio 132-------
holomorphe aussi sur le segment $0\leqq \tau \leqq n_0$ de l'axe réel. On le vérifie
immédiatement, en appliquant les résultats précédents à la série
\[
\sum^{\infty}_0 \varphi(n_0+\nu)\, \Pow{x}{\nu}.
\]

\Paragraph{63.} La proposition précédente permet d'étudier complètement
la fonction $F(x)$ toutes les fois qu'on sait calculer l'intégrale~$I(x)$
sous forme finie. Nous en donnerons plus loin des exemples; mais
d'abord nous indiquerons un cas assez général où l'on peut poursuivre
l'étude de la fonction~$I(x)$ et, par suite, celle de la fonction~$F(x)$,
pour toutes les valeurs de la variable~$x$. Admettons les
hypothèses suivantes:
\smallskip

\primo~\textit{La fonction~$\phi(z)$ est holomorphe dans le demi-plan~$\tau\geqq 0$}.

\secundo~\textit{L'angle~$\psi_0$ étant donné aussi grand qu'on le voudra, on
peut trouver un nombre positif~$R$ tel que, en posant $z=\rho\,\Pow{e}{i\psi}$, la
fonction~$\varphi(z)$ soit holomorphe pour $-\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0$, $\rho\geqq R$ {\upshape(}sauf
peut-être à l'infini{\upshape)}.}

\tertio~\textit{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on
aura, dès que $\rho$~dépassera une certaine limite},
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{\eps\rho} \qquad\textit{pour}\qquad
    -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0.
\]

Ces conditions portent sur \textit{la branche principale} de~$\varphi(z)$, c'est-à-dire
sur celle qui fournit les coefficients de la série donnée.

Nous allons montrer que, \textit{sous les conditions énoncées ci-dessus,
la fonction~$I(x)$ ne saurait présenter, à distance finie, d'autres
points singuliers que l'origine et le point} ($r = 1$, $\theta = 0$).
\smallskip

Désignons par~$I(x,\psi)$ l'intégrale $\dint\varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz$ prise de $0$ à~$\infty$
suivant le rayon formant avec l'axe réel positif l'angle~$\psi$, supposé
compris entre $-\smash{\smfrac{\pi}{2}}$ et~$\smash{\smfrac{\pi}{2}}$. En posant $x = r\,\Pow{e}{i\theta}$, $z = \rho\,\Pow{e}{i\psi}$, on aura
\[
\Abs{\Pow{x}{z}} = \Pow{e}{\rho(\log r \cos\psi - \theta\sin\psi)},
\]
et comme~$\Abs{\varphi(z)}$ croît moins vite que~$\Pow{e}{\eps\rho}$ sur le rayon envisagé, en
vertu de l'hypothèse~\tertio, on en conclut, en raisonnant comme à
la \Pgref{page}{page112}, que~$I(x, \psi)$ représente une fonction analytique holomorphe
dans le domaine $T(\psi)$, défini par les inégalités
\[
\log r\cos\psi - \theta\sin\psi<0, \qquad r>0.
\EqnTag{V}{III}{4}
\]

%% -----File: 145.png---Folio 133-------

Je dis que cette fonction donne le prolongement de la fonction~$I(x)$,
définie par l'intégrale~\Eref{V}{III}{3}, à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} = 1$.
Pour s'en assurer, on n'aura qu'à reprendre le raisonnement donné
\Pgref{page}{page93} et à observer que l'on a sur l'arc~$AB$, pour~$x$ réel et positif,
\[
\Abs{\Pow{x}{z}\, \varphi(z)} < \Pow{e}{-R(\cos\psi\log\fnfrac{1}{x} - \eps)},
\]
d'où il résulte que, si l'on suppose $0 < x < 1$, l'intégrale relative
à cet arc s'évanouit lorsque~$R$ croît indéfiniment.

Le domaine~$T(\psi)$ comprend les points intérieurs à la spirale
\[
r = \Pow{e}{\theta\tang\psi}.
\EqnTag{V}{III}{5}
\]
Pour $\psi=0$, celle-ci se confond avec la circonférence $r = 1$. A
mesure que~$\Abs{\psi}$ augmente, le domaine~$T(\psi)$ s'élargit et embrasse,
pour $\psi = \smfrac{\pi}{2}$, tout point ayant un argument~$\theta > 0$ et, pour~$\psi=-\smfrac{\pi}{2}$,
les points pour lesquels~$\theta<0$, d'où le résultat suivant:

\Theorem{V.III.2}{La fonction~$I(x)$ reste holomorphe de quelque manière qu'on
fasse varier le point~$x$, à condition qu'il ne vienne se confondre
\Erratum{4}%
% [** PP: Added left endpoint; seems to be (0, oo) from context]
ni avec l'origine, ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$\Changenotemark\
du rayon d'argument~$\theta=0$.}
\Changenotetext{4}

\Pagelabel{page133}%
Lorsque $\Abs{\psi}$~croît au delà de~$\smfrac{\pi}{2}$ on doit dans l'expression~$I(x,\psi)$
modifier le chemin d'intégration de manière à éviter les points singuliers
de la fonction~$\varphi(z)$. Pour fixer les idées, convenons de
choisir pour ce chemin le contour~$\Gamma$ qui se compose: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$
de l'axe réel; \secundo~de l'arc de la circonférence~$\Abs{z} = R$
compris entre les points $z = R$ et~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$; \tertio~de la partie du
rayon d'argument~$\psi$ qui s'étend du point~$z = R\,\Pow{e}{i\psi}$ à l'infini. On
suppose $R$~choisi de telle sorte que $\varphi(z)$~soit holomorphe à l'intérieur
et sur le contour de la région comprise entre l'axe réel positif
et le rayon d'argument~$\psi$, et extérieure au cercle~$\Abs{z} = R$.

Dans ces conditions, l'expression
\[
I(x,\psi) \equiv \int_{\Gamma} \varphi(z)\, \Pow{x}{z}\, dz
\]
représentera, pour toute valeur donnée de~$\psi$, une fonction analytique
de~$x$ qui est holomorphe dans le domaine~$T(\psi)$, défini par~\Eref{V}{III}{4},
%% -----File: 146.png---Folio 134-------
et cette fonction donnera constamment le prolongement de la fonction~$I(x)$.
En effet, si les valeurs $\psi'$ et~$\psi''$ sont suffisamment rapprochées,
les domaines $T(\psi')$ et~$T(\psi'')$ auront une portion commune,
et pour tout point~$x$ intérieur à cette portion les expressions
$I(x, \psi')$ et~$I(x, \psi'')$ prendront des valeurs égales, ce qu'on démontre
en raisonnant comme \Pgref{page}{page93}. En intercalant entre $0$ et~$\psi$
une suite de valeurs suffisamment rapprochées et en comparant
entre elles deux à deux les expressions~$I(x, \psi)$ correspondant à
ces valeurs, on arrivera donc au résultat annoncé.

Quant au domaine~$T(\psi)$, sa forme se modifie sans cesse lorsque~$\psi$
varie. Ainsi, lorsque $\smfrac{\pi}{2}<\psi <\smfrac{3\pi}{2}$, de sorte que~$\cos\psi<0$, ce
domaine comprend la portion du plan qui est \textit{extérieure} à la
spirale~\Eref{V}{III}{5}, et, en particulier, pour~$\psi =\pi$, la portion extérieure à la
circonférence~$\Abs{x} = 1$. Pour $\smash[b]{\psi = \smfrac{3\pi}{2}}$, $T(\psi)$~se réduit au domaine
$\theta <0$; pour $\smfrac{3\pi}{2}<\psi<\smfrac{5\pi}{2}$, ce sera de nouveau la portion du plan
intérieure à la spirale~\Eref{V}{III}{5}, laquelle, pour~$\psi= 2\pi$, se confond avec
la circonférence~$\Abs{x} = 1$; et ainsi de suite. Pour les valeurs négatives
de~$\psi$, les choses se passent d'une manière analogue.
\Pagelabel{page134}%

Cette discussion, qui deviendrait plus claire à l'inspection d'une
figure, conduit à la conclusion suivante: partant par exemple d'un
point situé sur le segment $\Segment{0}{1}$ du rayon d'argument~$\theta = 0$, faisons
décrire à la variable~$x$, d'un mouvement uniforme, une
courbe~$S$ qui ne passe ni par l'origine, ni par le point~$(r = 1,\theta = 0)$,
et qui aboutisse à un point quelconque~$x_1$ distinct de ces
deux points; on pourra prescrire à l'angle~$\psi$ une variation continue,
telle que le point~$x$, en décrivant la courbe~$S$, soit à chaque
instant intérieur au domaine~$T(\psi)$ et que, par suite, l'expression~$I(x, \psi)$
soit holomorphe en ce point. Comme $I(x, \,\psi)$~donne le
prolongement de~$I(x)$, d'après ce qui a été dit plus haut, il en
résulte que la fonction~$I(x)$ est holomorphe en tout point de~$S$ et,
en particulier, au point~$x_1$, et comme celui-ci était un point quelconque
distinct des points $x = 0$ et~$(r = 1, \theta = 0)$, la proposition
énoncée au début de ce numéro se trouve donc démontrée.

En se reportant maintenant à la proposition démontrée \Pgref{page}{page131},
on arrive à l'intéressant résultat que voici:

% [*** Page number face may need attention]
\Theorem{V.III.3}{Si les conditions énoncées \Pgref{page}{page129} sont vérifiées, la
%% -----File: 147.png---Folio 135-------
fonction~$F(x)$ ne saurait admettre d'autres points singuliers que
$1$,~$\infty$ et~$0$ {\upshape[}l'origine étant en général point singulier pour toute
branche de~$F(x)$ autre que la branche principale{\upshape]}.}

Pour que ce résultat soit applicable, il suffit d'ailleurs que les
conditions dont il s'agit soient vérifiées pour~$\varphi(n_0 +z)$, $n_0$~étant un
entier positif quelconque.

\Paragraph{64.} Nous indiquerons en quelques mots une généralisation du
résultat qui précède. En conservant les deux premières conditions
du \no\Sref{63}, convenons de remplacer la troisième par la suivante
qui est plus générale:

\Theorem{V.III.4}{Quelque grand que soit~$\psi_0$ et quelque petit que soit~$\eps$, on
aura, à partir d'une certaine valeur de~$\rho$,
\[
\Abs{\varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})} < \Pow{e}{(\vartheta + \eps)\rho}
    \qquad\textit{pour}\qquad -\psi_0\leqq \psi\leqq \psi_0,
\]
$\vartheta$~désignant un nombre positif inférieur à~$\pi$.}

A chaque valeur donnée~$\psi$ on pourra évidemment faire correspondre
un nombre réel~$K(\psi)$, inférieur à~$\vartheta$ et tel que, $\rho$~tendant
vers l'infini, le produit
\[
\Pow{e}{-[K(\psi) + \eps]\rho}\, \varphi(\rho\,\Pow{e}{i\psi})
\]
tende vers zéro ou non, suivant que $\eps >0$ ou~$\eps <0$. En raisonnant
comme au numéro précédent, on en conclut que l'expression~$I(x,\psi)$
représente une fonction holomorphe de~$x$ dans le domaine
\[
\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + K(\psi) < 0,\qquad r > 0,
\EqnTag{V}{III}{6}
\]
et que cette fonction donne le prolongement de~$I(x)$; le théorème
de la \Pgref{page}{page131} nous permet donc d'énoncer le résultat suivant, qui
révèle un rapport intéressant entre les points singuliers de~$F(x)$ et
les propriétés asymptotiques de~$\varphi(z)$:

\Theorem{V.III.5}{Si les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées, les seuls
points singuliers que puisse présenter~$F(x)$ à distance finie, en
dehors de l'origine, sont les points $x \equiv r\,\Pow{e}{i\theta}$ qui restent extérieurs
au domaine~\Eref{V}{III}{6} quel que soit~$\psi$.}

Comme~$K(\psi)<\vartheta$, les points en question vérifieront à plus forte
%% -----File: 148.png---Folio 136-------
raison la condition $\log r\cos\psi-\theta\sin\psi+\vartheta>0$, quel que soit $\psi$,
d'où cette autre conclusion:

\Theorem{V.III.6}{Sous les conditions admises ci-dessus, les points singuliers
de la fonction~$F(x)$, autres que l'origine et le point à l'infini,
sont tous compris à l'intérieur de la courbe fermée
\[
r = \Pow{e}{\pm\sqrt{\Pow{\vartheta}{2} - \Pow{\theta}{2}}}
\]
enveloppe des spirales $\log r\cos\psi - \theta\sin\psi + \vartheta = 0$ correspondant
aux différentes valeurs de l'angle~$\psi$.}
% [** End of Theorem]

Pour $\vartheta=0$, la courbe en question se réduit au seul point~$x = 1$,
de sorte que l'on retrouve le théorème du \no\Sref{63}.

\Paragraph{65.} Reprenons les hypothèses du \no\Sref{63} et les notations du \no\Sref{62};
on aura à l'intérieur du cercle~$\Abs{x} =1$
\[
\overline{F}(x)
  = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x)
    + \int_0^{\infty} \Pow{x}{\tau}\, \varphi(\tau)\, d\tau,
\]
et d'autre part, en désignant, comme à la \Pgref{page}{page126}, par~$\overline{F}_1(x)$ la
branche de la fonction~$F(x)$ qu'on obtient en prolongeant~$\overline{F}(x)$ le
long d'un chemin faisant le tour du point~$x = 1$ dans le sens
\textit{rétrograde}, il résulte des considérations des pages~\pageref{page133}--\pageref{page134} qu'on
aura dans le même cercle
\[
\overline{F}_1(x) = \smfrac{1}{2}\varphi(0) + \overline{H}(x)
  + \int_{\Gamma'} \Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz,
\]
le contour~$\Gamma'$ étant composé: \primo~du segment $\Segment{0}{R}$ de l'axe réel;
\secundo~de la circonférence~$C_R$ de centre~$0$ et de rayon~$R$ (parcourue
dans le sens direct); \tertio~du segment $\Segment{R}{\infty}$ de l'axe réel. Quant
au nombre~$R$, on doit le choisir assez grand pour que la branche
principale de~$\phi(z)$ soit holomorphe pour $0 \leqq \psi\leqq2\pi$, $\rho\geqq R$, ce qui
est possible en vertu des hypothèses du \no\Sref{63}.

Les égalités précédentes mettent en évidence certains cas généraux
où l'on pourra trouver pour la différence~$\overline{F}_1(x)-\overline{F}(x)$ une
expression valable dans tout le plan.
\smallskip

($\alpha$).~\textit{La branche principale de~$\varphi(z)$ est uniforme à l'infini}.~---~Le
nombre~$R$ étant déterminé comme il a été dit, $\varphi(z)$~sera
%% -----File: 149.png---Folio 137-------
uniforme et holomorphe en dehors de~$C_R$ et sur cette circonférence,
d'où l'on déduit
\[
\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x) = \int_{C_R}\Pow{x}{z}\, \varphi(z)\, dz.
\]

Or, d'après le théorème de Laurent, la fonction~$\varphi(z)$  sera représentée
pour $\Abs{z} \geqq R$ par un développement de la forme
\[
\varphi(z) = \sum^{+\infty}_{-\infty} A_\nu \Pow{z}{\nu},
\]
qui reste uniformément convergent sur~$C_R$, et en le substituant
dans l'égalité précédente, on aura
\[
\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x)
  = 2\pi i\sum^{\infty}_1 \frac{A_{-\nu}}{(\nu-1)!}\, \Pow{(\log x)}{\nu-1}.
\]

Le second membre est une fonction entière de~$\log x$. On peut
ainsi étudier la fonction~$F(x)$ dans tout le plan.

($\beta$).~\textit{La fonction~$\varphi(z)$ est uniforme dans tout le plan et ne
présente qu'un nombre fini de points singuliers.}~---~Dans ce
cas, on retrouve un résultat établi au \no\Sref{59}:
\[
\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x)
  = 2\pi i\, \residuesum\bigl(\varphi(x)\bigr)\, \Pow{x}{z}.
\]

% [** PP: Added opening parenthesis]
($\gamma$).~$\varphi(z) = \log R(z)$, $R(z)$~\textit{étant une fonction rationnelle.}~---~Soient
$a_1$,~$a_2$, $\dotsc,~a_n$ les affixes des \emph{zéros} et des pôles de la fonction~$R(z)$,
situés à distance finie, et soient $\mu_1,~\mu_2, \dotsc,~\mu_n$ leurs
ordres respectifs [$\mu_\nu$~étant un entier positif ou négatif suivant que
le point~$a_{\nu}$ est pour~$R(z)$ un \emph{zéro} ou un pôle]. Par une déformation
continue, on pourra ramener le contour~$\Gamma$' défini plus haut à
une suite de lacets, partant de l'origine et renfermant chacun un
seul point~$a$, plus le segment $\Segment{0}{+\infty}$ de l'axe réel. On trouve
ainsi, par un calcul facile que nous devons laisser au lecteur,
\[
\overline{F}_1(x) - \overline{F}(x)
  = -\frac{2\pi i}{\log x}\sum^n \mu_\nu\, \Pow{x}{a_\nu},
\]
%% -----File: 150.png---Folio 138-------
égalité qui met en évidence le caractère des différentes branches
de la fonction donnée.

\Paragraph{66.} En terminant, appliquons les considérations qui précèdent
à un exemple assez important. Faisons~$\varphi(z) = \Pow{z}{-s}$ et supposons la
partie réelle de~$s$ \textit{négative}; $\varphi(z)$~s'annulera à l'origine, et la
fonction~$F(x)$ s'écrira
\[
F(x,s) \equiv \sum^{\infty}_1 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{s}}.
\]

Les conditions du \no\Sref{63} sont vérifiées, sauf que la fonction~$\varphi(z)$
n'est pas holomorphe à l'origine. Mais, comme elle y prend une
valeur finie et déterminée, les résultats précédents seront encore
valables, comme on le voit en appliquant la formule~\Eref{III}{I}{V} de la
\Pgref{page}{eqn:III.I.V} avec~$m = 1$, et en tenant compte de la note de la \Pgref{page}{page60}.

Dans le cas présent, l'intégrale~$I(x)$ se calcule sous forme finie:
\[
I(x) \equiv \int^{\infty}_0 \Pow{x}{\tau}\, \Pow{\tau}{-s}\, d\tau
  = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1},
\]
et l'expression~$H(x)$ s'écrit:
\[
H(x) = -2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\,
    \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
de sorte que l'égalité~\Eref{V}{III}{1} nous donne
\[
F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\left(\log\smfrac{1}{x}\right)}{s-1}
  - 2\int^{\infty}_0 \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\,
    \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1}.
\]

On vérifie aisément sur cet exemple les résultats du \no\Sref{63}. En
particulier, les seuls points singuliers de~$I(x)$ sont l'origine, le
point à l'infini et le point ($r=1$, $\theta =0$). Donc aussi, d'après la
\Pgref{page}{page131}, $F(x,s)$~\textit{n'admet pas d'autres points singuliers que
$1$,~$\infty$ et~$0$.} D'ailleurs l'origine est effectivement point singulier pour
toute branche de~$F(x,s)$ autre que la branche principale.

D'autre part, on constate aisément que \textit{toute branche de~$F(x,s)$
tend vers zéro lorsqu'on s'éloigne indéfiniment de l'origine},
dans une direction déterminée quelconque (\textit{cf.}~le \no\Sref{55}).

La fonction~$H(x)$ étant holomorphe au point~$x = 1$, on peut la
développer en série convergente suivant les puissances ascendantes
%% -----File: 151.png---Folio 139-------
de~$\log x$. Les coefficients de ce développement, qui se présentent
d'abord sous forme d'intégrales définies, peuvent s'exprimer simplement
à l'aide de la fonction~$\zeta(s)$, en vertu de l'égalité~\Eref{V}{I}{8} de la
\Pgref{page}{eqn:V.I.8}. On trouve ainsi\footnotemark
\footnotetext{Ce résultat peut se déduire aussi d'une formule générale très remarquable
  établie par M.~Mellin (\textit{Acta Soc.\ Scient.\ Fenn.},\ t.~XXIV, \no10, p.~39--42
et~t.~XXIX, \no4, p.~42--44).}
% [** End of footnote]
\[
F(x,s) = \Gamma(1-s) \Pow{\Bigl(\log\smfrac{1}{x}\Bigr)}{s-1}
    + \sum^{\infty}_0 \zeta(s-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!}.
\EqnTag{V}{III}{7}
\]

Quel est le domaine de convergence de ce développement? On
pourrait évidemment le déduire des propriétés de la fonction~$\zeta(s)$,
mais nous préférons nous servir de nos résultats généraux. Les
points singuliers de~$H(x)$ sont l'origine et le point à l'infini, ainsi
que le point~$x = 1$ lorsqu'on y arrive après avoir fait le tour de
l'origine, c'est-à-dire avec un argument~$\theta$ qui est un multiple
entier positif ou négatif de~$2\pi$. La plus petite valeur du
module~$\Abs{\log x}$ correspondant à un point singulier de~$H(x)$ ou
de~$\log x$, est donc précisément égale à~$2\pi$, et il en résulte que
le développement~\Eref{V}{III}{7} reste convergent tant que $\Abs{\log x} < 2\pi$,
condition qui est vérifiée dans le domaine limité par les deux
courbes $r=\Pow{e}{\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}} }$ et~$r=\Pow{e}{-\sqrt{4\Pow{\pi}{2}-\Pow{\theta}{2}}}$.

On aura un développement analogue de l'expression~$H(x)$,
avec le même domaine de convergence, toutes les fois que sont
vérifiées les conditions du \no\Sref{62}.

Nous avons supposé jusqu'ici la partie réelle de~$s$ négative, mais
il est facile de lever cette restriction. En effet, en se servant d'un
artifice bien connu dû à Riemann, on arrive à cette nouvelle
expression de~$H(x)$:
\[
H(x) = \frac{2}{1 - \Pow{e}{-2\pi is}}
  \int_C \Pow{t}{-s}\, \sin\left(t\log x - \smfrac{\pi s}{2}\right)\,
    \frac{dt}{\Pow{e}{2\pi t} - 1},
\]
le contour~$C$ se composant, par exemple, des parties suivantes:
\primo~le segment $\Segment{\infty}{k}$ de l'axe réel $(0 < k < 1)$; \secundo~la circonférence~$\Abs{t} = k$,
parcourue dans le sens direct; \tertio~le segment $\Segment{k}{\infty}$,
de l'axe réel. Cette expression est valable pour toutes les valeurs
de~$s$, sauf les valeurs entières, et l'on en conclut que, sous les
%% -----File: 152.png---Folio 140-------
mêmes conditions, la fonction~$H(x)$ est holomorphe dans le
domaine $-2\pi<\theta<2\pi$, $r>0$. Donc, dans tous les cas, $1$,~$\infty$
et~$0$ seront les seuls points singuliers de~$F(x, s)$. D'autre part,
l'expression ci-dessus peut évidemment se développer en série
convergente suivant les puissances ascendantes de~$\log x$, et comme
les coefficients de cette série sont des fonctions analytiques de~$s$ et
qu'ils doivent coïncider avec les coefficients correspondants du
développement~\Eref{V}{III}{7} lorsque la partie réelle de $s$~est négative, il en
résulte que ce dernier développement reste valable pour toutes les
valeurs de~$s$, sauf les valeurs entières et positives.

Substituons maintenant dans la formule~\Eref{V}{III}{7} $s = k + \eps$, $k$~étant
un entier positif supérieur à l'unité. On déduit facilement des propriétés
connues de~$\Gamma(x)$:
\[
\Gamma(1-s) \equiv \Gamma(1-k-\eps)
  = -\smfrac{R}{\eps} + A_0 + A_1\eps + \dotsb,
\]
avec
\[
R  = \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!},\qquad
A_0= \frac{\Pow{(-1)}{k-1}}{(k-1)!}
       \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1} - C\right),
\]
$C$~étant la constante d'Euler, et d'autre part on a, d'après la
\Pgref{page}{page104},
\[
\zeta\bigl[s-(k-1)\bigr] \equiv \zeta(1+\eps)
  = \smfrac{1}{\eps} + C + \dotsb.
\]

En faisant tendre~$\eps$ vers zéro, on trouvera donc pour la
fonction~\Eref{V}{II}{14} (\Pgref{p.}{eqn:V.II.14}) ce nouveau développement\footnotemark
\footnotetext{Ce développement peut se déduire aussi des résultats obtenus par Kummer
(\textit{Journal de Crelle}, t.~21; \emph{voir} en particulier p.~340).}
% [** End of footnote]
\begin{align*}
  \sum^{\infty}_{\nu=1} \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{\nu}{k}}
  &= \frac{\Pow{(\log x)}{k-1}}{(k-1)!}\,
      \left(1 + \smfrac{1}{2} + \dotsb + \smfrac{1}{k-1}
            - \log\log\smfrac{1}{x}\right)  \\
%
  &\quad + \sideset{}{'}\sum^{\infty}_{\nu=0}
      \zeta(k-\nu)\, \frac{\Pow{(\log x)}{\nu}}{\nu!},
\end{align*}
où l'accent affectant la dernière somme signifie que la valeur
$\nu = k - 1$ est exclue. Les coefficients de ce développement, qui
converge pour $\Abs{\log x} < 2\pi$, se simplifient d'ailleurs, grâce aux
relations~\Eref{II}{II}{6} (\Pgref{p.}{eqn:II.II.6}) et~\Eref{IV}{III}{9} (\Pgref{p.}{eqn:IV.III.9}).

%% -----File: 153.png---Folio 141-------

A la fonction~$F(x,s)$ se rattachent d'autres fonctions intéressantes,
par exemple
\[
\sum^{\infty}_1 \sin(\log\nu)\, \Pow{x}{\nu}\quad\text{et}\quad
\sum^{\infty}_1 (\log\nu)\Pow{x}{\nu},
\]
dont la première a été considérée par M.~Hadamard dans sa Thèse.
Notre méthode permettrait de même d'étudier complètement la
fonction plus générale
\[
\sum^{\infty}_0 \frac{\Pow{x}{\nu}}{\Pow{(w + \nu)}{s}}.
\]

Mais nous devons laisser au lecteur à développer ces applications
et bien d'autres qui se déduisent facilement de nos considérations
générales.

\vfil
\begin{center}
  FIN.
\end{center}
\vfil

%% -----File: 154.png---Folio 142-------
%[Blank Page]

%% -----File: 155.png---Folio 143-------

\setlength{\tablelength}{\linewidth}
\settowidth{\lastcol}{Pages. }
\addtolength{\tablelength}{-\lastcol}

\pagestyle{empty}

\noindent\begin{minipage}{\textwidth}
\Pagelabel{ToC}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Table des Matières}{Table des Matières}
\noindent\rule{\linewidth}{0.5pt} \\[6ex]
\begin{center}
\textbf{\LARGE TABLE DES MATIÈRES.}
\vspace*{2ex}

\bigTbreak

%% [** PP: Lots of hard-coded dimensions, OK at current page size]
\begin{tabular}{@{} r@{\:}c@{}l@{}r @{}}
\multicolumn{4}{@{}r@{}}{Pages.}\\
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Preface]{\textsc{Préface}}\dotfill}
&\textsc{\pageref{Preface}}\\[0.5ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[Index]{\textsc{Index}}\dotfill}& \textsc{\pageref{Index}}\\[1ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:I]{\textsc{Chapitre \phantom{I}I.\, ---\;Principes et théorèmes fondamentaux}}\dotfill}&\pageref{chapter:I}\\[1ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:II]{\textsc{Chapitre II.\, ---\;Applications diverses du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:II}\\[0.5ex]
     I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Fonctions symétriques des racines d'une équation. ---\,Dével\-oppe\-ment des fonctions implicites} \dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:II.I}}\\
     II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications aux fonctions méromorphes}\dotfill}& \pageref{section:II.II}\\
    III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Calcul de quelques intégrales définies}\dotfill}&\pageref{section:II.III}\\[1ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=10em \hyperref[chapter:III]{\textsc{Chapitre III.\, ---\;Formules sommatoires tirées du calcul des résidus}}\dotfill}& \pageref{chapter:III}\\[0.5ex]
     I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.8 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Recherches de Cauchy. --- Transformations diverses des formules générales}\dotfill}&\raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:III.I}}\\
       &                 &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Notes historiques}\dotfill.}&\pageref{paragraph:35}\\
    II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Quelques applications des formules précédentes}\dotfill}&\pageref{section:III.II}\\
   III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{La formule sommatoire d'Euler et autres formules analogues}\dotfill}&\pageref{section:III.III}\\[1ex]
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hyperref[chapter:IV]{\textsc{Chapitre IV.\, ---\;Les fonctions} $\Gamma(x)$, $\zeta(s)$, $\zeta(s,w)$}\dotfill.}&\pageref{chapter:IV}\\[0.5ex]
    I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\hangindent=1em \textit{Expressions diverses de $\log \Gamma(x)$ et de ses dérivées sous forme d'intégrales définies}\dotfill}& \raisebox{-2.7ex}{\pageref{section:IV.I}}\\
   II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Développements asymptotiques de} $\log \Gamma(x)$\dotfill}& \pageref{section:IV.II}\\
  III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Les fonctions $\zeta(s)$ et $\zeta(s,w)$}\dotfill}&\phantom{a}\pageref{section:IV.III}\\[1ex]%
\multicolumn{3}{@{}p{\tablelength}}{\hangindent=8em\hyperref[chapter:V]{\textsc{Chapitre V.\, ---\;Applications au prolongement analytique et à l'étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor}}\dotfill}&\raisebox{-5.3ex}{\pageref{chapter:V}}\\[2.8ex] %[** PP: changed ``a l'étude'' to ``à l'étude'']

   I.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Deux théorèmes généraux}\dotfill}&\pageref{section:V.I}\\
  II.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Applications diverses}\dotfill}&\pageref{section:V.II}\\
\phantom{\textsc{Ch}}  III.& --- &\multicolumn{1}{p{0.85 \tablelength}}{\textit{Nouvelle méthode de prolongement analytique}\dotfill}&\pageref{section:V.III}\\[2ex]
\multicolumn{4}{@{}c@{}}{FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.}\\
\end{tabular}
\end{center}
\end{minipage}


\clearpage

%% -----File: 156.png---Folio 144-------

\null\vfil
\begin{center}

\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt}
\bigskip

\textsc{\small 35785 PARIS. --- IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS,}
\smallskip

{\footnotesize Quai des Grands-Augustins, 55.}
\bigskip

\rule[1ex]{0.2\textwidth}{.5pt}

\end{center}
\vfil

\cleardoublepage

%% -----File: 157.png---Folio 145-------
%[Blank Page]

%% -----File: 158.png---Folio 146-------
%[**F1: line breaks, font sizes, line spacing etc will need attention in PP once page dimensions are known]

\enlargethispage{36pt}

\vspace*{-1in}

\begin{center}
\large LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS,\\

\small\textsc{quai des grands-augustins, 55, a paris} (6\ieme).\\[2ex]
\rule{8em}{.4pt}\\[4ex]
\end{center}

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Catalogue}{Catalogue}

\addtolength{\parskip}{1ex} % increase spacing between catalogue entries
\footnotesize

\noindent\hangindent\parindent\hangafter1%
\textbf{BOREL (Émile)}, Maître de Conférences à l'École Normale supérieure. --- % [**F1: to avoid ugly overfull line using default pagewidth]
\textbf{Collection
de monographies sur la Théorie des fonctions}, publiée sous
la direction de \textsc{Émile} \bsc{Borel}. % [**'É' unclear in this whole page]

\medskip
\textit{Leçons sur la théorie des fonctions} (\textit{Éléments de la théorie des ensembles
et applications}), par \textsc{Émile} \bsc{Borel}, 1898\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les fonctions entières}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1900\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les séries divergentes}, par \textsc{Émile} \bsc{Borel}; 1901\Dotfill 4~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les séries à termes positifs}, professées au Collège de France par
\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Robert d'Adhémar}; 1902\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les fonctions méromorphes}, professées au Collège de France par
\textsc{Émile} \bsc{Borel}, recueillies et rédigées par \textit{Ludovic Zoretti}; 1903\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives}, professées
au Collège de France par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}, 1904\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en
séries de polynomes}, professées à l'Ecole Normale supérieure par \textsc{Émile
Borel} et rédigées par \textit{Maurice Fréchet}, avec des Notes par \textsc{Paul Painlevé}
et \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}; 1905\Dotfill 4~fr.\ 50~c.

\textit{Leçons sur les fonctions discontinues}, professées au Collège de France,
par \textsc{René} \bsc{Baire}, rédigées par \textit{A.~Denjoy}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions}, par
\textsc{Ernst} \bsc{Lindelöf}; 1905\Dotfill 3~fr.\ 50~c.

\textit{Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs
variables complexes}, par \textsc{Pierre} \bsc{Cousin}\Dotfill (\textit{En préparation.})

\textit{Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe}, par \textsc{Émile}
\bsc{Borel}\Dotfill (\textit{En préparation.})

\textit{Leçons sur les Correspondances entre variables réelles}, par \textsc{Jules}
\bsc{Drach}\Dotfill (\textit{En préparation.})

\textit{Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini}, par \textsc{Otto}
\bsc{Blumenthal}\Dotfill (\textit{En préparation})


\textit{Leçons sur les séries trigonométriques}, par \textsc{Henri} \bsc{Lebesgue}\Dotfill (\textit{En préparation.})

\medskip

\noindent\hangindent\parindent\hangafter1%
\textbf{HALPHEN (G.-H.)}, Membre de l'Institut. --- \textbf{Traité des fonctions elliptiques
et de leurs applications}. 3 volumes grand in-8, se vendant
séparément:

\addtolength{\leftskip}{3\parindent}
\parindent-1.5\parindent % [**F1: indent the lot and hang the first line to the left; there must be a proper LaTeX way to do this but I can't think of it at the moment]
\footnotesize
I\iere{} \textsc{Partie}: \textit{Théorie des fonctions elliptiques et de leurs développements
en série}; 1886\Dotfill 15~fr.

II\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Applications à la Mécanique, à la Physique, à la Géodésie,
à la Géométrie et au Calcul intégral}; 1888\Dotfill 20~fr.

III\ieme{} \textsc{Partie}: \textit{Fragments.} (\textit{Quelques applications à l'Algèbre et en
particulier à l'équation du 5\ieme degré. Quelques applications à la
théorie des nombres. Questions diverses.}) Publié par les soins de la
Section de Géométrie de l'Académie des Sciences; 1891\Dotfill 8~fr.\ 50~c.
\medskip
\hrule
\smallskip

\noindent\small35785\hfill\tiny
    Paris. --- Imp.\ GAUTHIER-VILLARS, quai des Grands-Augustins, 55\hfill\phantom{35785}

\vfil

\cleardoublepage

%% Transcriber's notes
\normalsize
\begin{minipage}{5in}
\Pagelabel{Notes}%

\begin{center}
  \textsc{Notes sur la Transcription}

  \rule{0.2\textwidth}{0.5pt}  \\[6ex]
\end{center}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Notes sur la Transcription}{Notes sur la Transcription}

Quatre erreurs typographiques ont été corrigée, dénotée dans ce texte
par~$({}^\dagger)$.
\bigskip

\begin{itemize}

% Folio 9 in original
\item[Note~1.] (\ErrNote{1}) Ajouter des parenthèses autour de~$\nu$:
  \[
  f(x) = \sum_0^\infty \frac{\Pow{f}{\nu}(a)}{\nu!}\Pow{(x-a)}{\nu}
  \Change
  f(x) = \sum_{0}^{\infty} \frac{\Pow{f}{(\nu)}(a)}{\nu!} \Pow{(x-a)}{\nu}.
  \]

% Folio 125 in original
\item[Note~2.] (\ErrNote{2}) Ajouter un~$i$ à l'exponent du
  deuxième terme du dénominateur:
  \[
  \Abs{\Phi(x,z)} = \Pow{r}{\alpha}\,
  \dfrac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}{\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi}}
  \Change
  \Abs{\Phi(x,z)}
  = \Pow{r}{\alpha}\, \frac{\Abs{\phi(\alpha + it)}}
                           {\Pow{e}{\pi i} + \Pow{e}{-\pi i}}.
  \]

% Folio 131 in original
\item[Note~3.] (\ErrNote{3}) Dans la condition, remplacer l'égalité
  par~``$\leqq$'':
  \[
  -\smfrac{\pi}{2} = \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}
   \Change
  -\smfrac{\pi}{2} \leqq \psi \leqq \smfrac{\pi}{2}.
  \]

% Folio 133 in original
\item[Note~4.] (\ErrNote{4}) Le bout gauche a été fait~$0$ à la base
  du contexte:
  \begin{quote}
    \dots ni avec un point situé sur le segment $\Segment{0}{\infty}$
    du rayon\dots
  \end{quote}
  Dans original: $\Segment{}{\infty}$

\end{itemize}

\end{minipage}

\cleardoublepage

\fancyhead[C]{{\scshape\small Licensing.}}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG License}{Project Gutenberg License}

{\small
\begin{alltt}
*** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS ***

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beginning of this work.

1.E.4. Do not unlink or detach or remove the full Project Gutenberg-tm
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work or any other work associated with Project Gutenberg-tm.

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prominently displaying the sentence set forth in paragraph 1.E.1 with
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without further opportunities to fix the problem.

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in paragraph 1.F.3, this work is provided to you--`AS-IS', WITH NO
OTHER WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT
LIMITED TO WARRANTIES OF MERCHANTABILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

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warranties or the exclusion or limitation of certain types of
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violates the law of the state applicable to this agreement, the
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limitation permitted by the applicable state law. The invalidity or
unenforceability of any provision of this agreement shall not void the
remaining provisions.

1.F.6. INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
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accordance with this agreement, and any volunteers associated with the
production, promotion and distribution of Project Gutenberg-tm
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additions or deletions to any Project Gutenberg-tm work, and (c) any
Defect you cause.

Section 2. Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of
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exists because of the efforts of hundreds of volunteers and donations
from people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come. In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future
generations. To learn more about the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation and how your efforts and donations can help, see
Sections 3 and 4 and the Foundation information page at
www.gutenberg.org

Section 3. Information about the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non-profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service. The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541. Contributions to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation are tax deductible to the full extent permitted by
U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's business office is located at 809 North 1500 West,
Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887. Email contact links and up
to date contact information can be found at the Foundation's website
and official page at www.gutenberg.org/contact

Section 4. Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without
widespread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine-readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment. Many small donations
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status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
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considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
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International donations are gratefully accepted, but we cannot make
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freely shared with anyone. For forty years, he produced and
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\end{alltt}
\end{document}